第二十八章 锐角三角函数 单元练习题 （含答案） 人教版九年级数学下册

第二十八章　锐角三角函数
一、单项选择题
1．tan45°的值等于( )
A．2 B．1 C． D．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinB＝，则AC的长为( )
A．3 B．4 C．9 D．12
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线，BD＝4，AD＝2，则tan ∠CAD的值是( )
A．2 B． C． D．
4．已知45°＜∠A＜90°，则下列各式中成立的是( )
A．sinA＝cosA B．sinA＞cosA C．sinA＞tanA D．sinA＜cosA
5．如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为3，AC＝4，则sinB＝( )
A． B． C． D．
6．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L·cosα，阻力臂L2＝l·cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是( )
A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
7．如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有( )
A．h1＝h2 B．h1＜h2 C．h1＞h2 D．以上都有可能
8．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6 m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为( )
A．(4＋3sinα)m B．(4＋3tanα)m C．(4＋)m D．(4＋)m
二、填空题
9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB的值是____．
10．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为____．
11．如图，菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，∠ABD＝α，则tanα＝____．
12．已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB＝4，BC＝6，则tanα＝____．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AC上，且DE⊥AC，BD＝CD＝4，若tanA＝，则DE＝___________．
14．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为_________．
15．如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m(即小明的眼睛与地面的距离)，那么旗杆的高度是________m．
16．如图，校园内有一棵枯死的大树AB，距树12米处有一栋教学楼CD，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶D处，测得点B的仰角为45°，点A的俯角为30°.则AB≈____米．(精确到0.1米，参考数值：≈1.7，≈1.4)
三、解答题
17．已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝.计算－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋()－1的值．
18．如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB＝AD，BD平分∠ABC，若CD＝3，BD＝2，sin∠DBC＝，求对角线AC的长．
19．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC＝5，OB＝3，且cos∠BOE＝.求证：BC是⊙O的切线．
20．如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB＝AD，BD平分∠ABC，若CD＝3，BD＝2，sin∠DBC＝，求对角线AC的长．
21．如图，点C是半圆O的半径OB上的动点，作PC⊥AB于点C，点D是半圆上位于PC左侧的点，连接BD交线段PC于点E，且PD＝PE.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为4，PC＝8，设OC＝x，PD2＝y.
①求y关于x的函数关系式；
②当x＝时，求tan B的值．
22．为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A.B点在A点的南偏东25°方向3 km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°.
(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；
(2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号).
23．王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1∶3(点E，C，B在同一水平线上).
(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
(2)求大树AB的高度(结果保留根号).
答案
一、
1-8 BCABD AAB
二、
9.
10.
11.
12.
13. 2
14.
15. (5＋)
16. 18.8
三、
17. 解：由α是锐角，且sin(α＋15°)＝，得α＝45°，
∴原式＝2－4cos45°－1＋tan45°＋3＝2－4×－1＋1＋3＝3
18. 解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠E＝90°，∵sin∠DBC＝，BD＝2，∴DE＝2， BE＝4，∵CD＝3，∴CE＝1，∴BC＝3，∴BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，
同理AD∥BC，∴四边形ABCD是菱形，连接AC交BD于点O，
则AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝，∴OC＝＝，∴AC＝2
19. 证明：连接OD，可得OB＝OD，∵AB＝AD，∴AE垂直平分BD，
在Rt△BOE中，OB＝3，cos∠BOE＝，∴OE＝，
根据勾股定理得BE＝＝，CE＝OC－OE＝，
在Rt△CEB中，BC＝＝4，∵OB＝3，BC＝4，OC＝5，∴OB2＋BC2＝OC2，
∴∠OBC＝90°， 即BC⊥OB，∴BC为⊙O的切线
20. 解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠E＝90°，
∵sin ∠DBC＝，BD＝2，∴DE＝2， BE＝4，∵CD＝3，∴CE＝1，∴BC＝3，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，同理AD∥BC，∴四边形ABCD是菱形，连接AC交BD于点O，则AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝，∴OC＝＝，∴AC＝2
21. 解：(1)连接OD，证∠PDO＝90°即可
(2)①连接OP，OP2＝OC2＋PC2＝x2＋192，PD2＝OP2－OD2＝x2＋144，
∴y＝x2＋144(0≤x≤4)　②当x＝时，y＝147，∴PD＝7，∴PE＝PD＝7，∴EC＝，∴tan B＝＝
22. 解：(1)由题意得∠NAC＝80°，∠BAS＝25°，
∴∠CAB＝180°－∠NAC－∠BAS＝75°.∵∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC＝60°，
∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°
(2)过点A作AD⊥BC，垂足为D.在Rt△ABD中，∵AB＝3 km，∠ABC＝45°，
∴AD＝AB·sin 45°＝3×＝3(km)，BD＝AB·cos 45°＝3×＝3(km).在Rt△ADC中，∵∠ACB＝60°，∴CD＝＝＝(km)，
∴BC＝BD＋CD＝(3＋)km，∴检查点B和C之间的距离为(3＋)km
23. 解：(1)过点D作DH⊥CE于点H，由题意知CD＝2米，
∵斜坡CF的坡比为i＝1∶3，∴＝，设DH＝x米，CH＝3x米，∵DH2＋CH2＝DC2，∴x2＋(3x)2＝(2)2，∴x＝2，∴DH＝2米，CH＝6米，
答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米　
(2)过点D作DG⊥AB于点G，设BC＝a米，∵∠DHB＝∠DGB＝∠ABC＝90°，
∴四边形DHBG为矩形，∴DH＝BG＝2米，DG＝BH＝(a＋6)米，∵∠ACB＝45°，
∴BC＝AB＝a米，∴AG＝(a－2)米，∵∠ADG＝30°，∴＝tan30°＝，
∴＝，∴a＝6＋4，∴AB＝(6＋4)米．
答：大树AB的高度是(6＋4)米