二项分布
引入
1.回顾本章知识结构：翻开《书》89页
2.二项分布与超几何分布（两类重要的概率模型）
新课
1．伯努利试验
只包含___________________的试验叫做伯努利试验．
n重伯努利试验
(1)定义：将一个伯努利试验___________进行______所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)特征：
①同一个伯努利试验重复做_______
②各次试验的结果_______________
引例：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续3次击中，求中靶次数X的分布列？
3．二项分布
在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0
[微思考] (1)在二项分布的概念中，n，p，k各表示什么意义？
(2)二项分布与两点分布有何关系？
4．二项分布的均值和方差
(1)均值：若X～B(n，p)，则E(X)＝_______
(2)方差：若X～B(n，p)，则D(X)＝__________
三．基本知能小试
1．判断正误
（1）在伯努利试验中，关注的是事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，关注的是事件A发生的次数．( )
（2）n重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果．( )
2.判断下列试验是不是n重伯努利试验：
（1）依次投掷四枚质地不均匀的硬币，3次正面向上
（2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中
（3）100件产品中包含10件次品，不放回地抽取6件
（4）12道四选一的单选题，随机猜结果
四．题型总结
题型一:n重伯努利试验
例题1.某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)
(1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
练习1.已知两名射击运动员的射击水平：甲击中目标靶的概率是0.7，乙击中目标靶的概率是0.6.若让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，则
(1)甲恰好击中目标2次的概率是________；
(2)两名运动员都恰好击中目标2次的概率是________．(结果保留两位有效数字)
题型二 二项分布的均值方差
例题2.一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗， 假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的， 并且概率都是.
①求这位司机遇到红灯数X的期望与方差；
②若遇上红灯， 则需等待30秒， 求司机总共等待时间Y的期望与方差．
练习2.抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X的均值和方差.
题型三 二项分布的应用
例题3.在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为.
(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X，求X的分布列．
练习3.甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队三人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中三人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．
若用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和均值．
课后练习
1．若，则P(X＝2)等于 ________.
2.某运动员投篮投中的概率p＝0.6，则重复5次投篮时投中次数Y的数学期望等于________．
3.设随机变量X的分布列为，k＝0,1,2，…，n，
且E(X)＝24，则D(X)的值为______
4.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率.
（1）质点回到原点； （2）质点位于4的位置.
5. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数.
（1）求X的分布列；（2）求X的均值和方差.
6.甲 乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更看利？
（提示：可以假定赛完所有n局，把n局比赛看成n重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”的概率.）
7．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，均值E(ξ)为3，标准差为.
(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．二项分布
引入
1.回顾本章知识结构：翻开《书》89页
2.二项分布与超几何分布（两类重要的概率模型）
新课
1．伯努利试验
只包含_两个可能结果_的试验叫做伯努利试验．
n重伯努利试验
(1)定义：将一个伯努利试验_独立地重复_进行_n次_所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)特征：
①同一个伯努利试验重复做_n次
②各次试验的结果_相互独立_
引例：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续3次击中，求中靶次数X的分布列？
解：X的可能取值为0,1,2,3. 用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1,2,3)，则A1，A2，A3相互独立，
中靶次数X的分布列：
3．二项分布
在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0[微思考] (1)在二项分布的概念中，n，p，k各表示什么意义？
n：重复试验的次数；p是在一次试验中某事件A发生的概率；
k是在n次独立重复试验中事件A发生的次数．
(2)二项分布与两点分布有何关系？
两点分布是n＝1的二项分布．
两点分布的试验次数为1，二项分布的试验次数为n
两点分布的均值E(X)＝p，方差D(X)＝p(1－p)
4．二项分布的均值和方差
(1)均值：若X～B(n，p)，则E(X)＝np
(2)方差：若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)_
三．基本知能小试
1．判断正误
（1）在伯努利试验中，关注的是事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，关注的是事件A发生的次数．(√)
（2）n重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果．(√ )
2.判断下列试验是不是n重伯努利试验：（①可在相同条件下重复进行②试验结果相互独立）
（1）依次投掷四枚质地不均匀的硬币，3次正面向上.×（试验条件不同）
（2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中.√
（3）100件产品中包含10件次品，不放回地抽取6件.×（试验结果不相互独立）
（4）12道四选一的单选题，随机猜结果.√
四．题型总结
题型一:n重伯努利试验
例题1.某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)
(1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
解：设X为预报准确的次数，则X～B(5，0.8)
(1)P(X=2)=C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，
(2)P(X≥2)=1-P(X≤1）=1-C×0.25-C×0.8×0.24≈0.99.
(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．
∴所求概率为C×0.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02.
练习1.已知两名射击运动员的射击水平：甲击中目标靶的概率是0.7，乙击中目标靶的概率是0.6.若让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，则
(1)甲恰好击中目标2次的概率是0.44；
(2)两名运动员都恰好击中目标2次的概率是0.19．(结果保留两位有效数字)
设X为甲击中目标的次数，Y为乙击中目标的次数，由题意得X～B(3，0.7)，Y～B(3，0.6)
(1)P(X=2)=C×0.72×0.3≈0.44.
(2)甲、乙两人恰好都击中2次的概率是[C×0.72×0.3]×[C×0.62×0.4]≈0.19.
题型二 二项分布的均值方差
例题2.一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗， 假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的， 并且概率都是.
①求这位司机遇到红灯数X的期望与方差；
②若遇上红灯， 则需等待30秒， 求司机总共等待时间Y的期望与方差．
①易知司机遇上红灯次数X服从二项分布，且X～B，
∴E(X)＝6×＝2，D(X)＝6××＝.
②由已知Y＝30X，∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1 200.
练习2.抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X的均值和方差.
X～B(30，)，E（X)=30×=10，D(X)=30××（1-）=
题型三 二项分布的应用
例题3.在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为.
(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X，求X的分布列．
解：(1)设A=“甲选做第14题”，B=“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB∪ ”，且事件A，B相互独立．
所以P(AB∪ )＝P(A)P(B)＋P()P()
＝×＋×＝.
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.且X～B.
所以P(X＝k)＝Ck4－k＝C4(k＝0,1,2,3,4)．
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
练习3.甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队三人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中三人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．
若用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和均值．
解：由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且ξ～B，则有
P(ξ＝0)＝C×3＝，
P(ξ＝1)＝C××2＝，
P(ξ＝2)＝C×2×＝，
P(ξ＝3)＝C×3＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
由于随机变量ξ～B，则有E(ξ)＝3×＝2.
课后练习
若，则P(X＝2)等于 ________.
P(X＝2)＝C2×4＝15××＝.
某运动员投篮投中的概率p＝0.6，则重复5次投篮时投中次数Y的数学期望等于________．
∵Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，∴E(Y)＝np＝5×0.6＝3，
即重复5次投篮时投中次数Y的数学期望为3
3.设随机变量X的分布列为，k＝0,1,2，…，n，
且E(X)＝24，则D(X)的值为______
由题意可知X～B，∴E(X)＝n＝24.∴n＝36.∴D(X)＝36××＝8.
4.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率.
（1）质点回到原点；
（2）质点位于4的位置.
【详解】设质点向右移动的次数为，又质点每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，
共移动6次，且每次移动是相互独立，则.
（1）质点回到原点，则，，所以质点回到原点的概率是；
（2）当质点位于4的位置时，则，，
所以质点位于4的位置的概率是.
5. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数.
（1）求X的分布列；（2）求X的均值和方差.
解：一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为，
且每次是否正面朝上是相互独立，所以，
，
所以X的分布列为：
（2）根据（1），
所以.
6.甲 乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更看利？
（提示：可以假定赛完所有n局，把n局比赛看成n重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”的概率.）
解：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则.甲最终获胜的概率为
.
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则.甲最终获胜的概率为
.
因，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.
7．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，均值E(ξ)为3，标准差为.
(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．
解：由题意知，ξ～B(n，p)，P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1，…，n.
(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝，
得1－p＝，从而n＝6，p＝.
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4 5 6
P
(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)，
得P(A)＝＋＋＋＝，
所以需要补种沙柳的概率为.