备课资料
备用习题
1.如图15，P是△ABC所在平面外的一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心.
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图15
（1）求证：平面ABC∥平面A′B′C′；
（2）求△A′B′C′与△ABC的面积之比.
证明：（1）连接PA′、PB′、PC′并延长交BC、AC、AB于D、E、F，连接DE、EF、DF.
∵A′、C′分别是△PBC、△PAB的重心,
∴PA′=，PC′=.
∴A′C′∥DF.∵A′C′平面ABC，DF平面ABC,
∴A′C′∥平面ABC.同理,A′B′∥平面ABC.
又A′C′∩A′B′=A′，A′C′、A′B′平面A′B′C′,
∴平面ABC∥平面A′B′C′.
（2）由（1）知A′C′，又DF，∴A′C′AC.
同理,A′B′，B′C′.∴△A′B′C′∽△ABC.
∴S△A′B′C′∶S△ABC=1∶9.
2.已知：如图16，α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β.
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图16
求证：AB=CD.
证明：∵AB∥CD，
∴过AB、CD的平面γ与平面α和β分别交于AC和BD.
∵α∥β，∴BD∥AC.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD.
3.如图17，已知平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，E、F分别为AB、CD的中点.
求证：EF∥α，EF∥β.
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图17
证明：当AB、CD共面时，平面ABCD∩α=AC，平面ABCD∩β=BD.
∵α∥β，∴AC∥BD.
∵E、F分别为AB、CD的中点，∴EF∥AC.
∵ACα，EFα，∴EF∥α.同理,EF∥β.
当AB、CD异面时，∵ECD，
∴可在平面ECD内过点E作C′D′∥CD，与α，β分别交于C′，D′.
平面AC′BD′∩α=AC′，平面AC′BD′∩β=BD′，
∵α∥β，∴AC′∥BD′.
∵E是AB中点，∴E也是C′D′的中点.
平面CC′D′D∩α=CC′，平面CC′D′D∩β=DD′，∵α∥β，
∴CC′∥DD′.
∵E、F分别为C′D′、CD的中点，∴EF∥CC′，EF∥DD′.
∵CC′α，EFα,∴EF∥α.同理,EF∥β.
(设计者：释翠香)2.2.2 平面与平面平行的判定
2.2.4 平面与平面平行的性质
整体设计
教学分析
空间中平面与平面之间的位置关 ( http: / / www.21cnjy.com )系中，平行是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面平行的判定定理给出了由线面平行转化为面面平行的方法；面面平行的性质定理又给出了由面面平行转化为线线平行的方法，所以本节在立体几何中占有重要地位.本节重点是平面与平面平行的判定定理及其性质定理的应用.
三维目标
1.通过图形探究平面与平面平行的判定定理及其性质定理.
2.熟练掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用.
3.进一步培养学生的空间想象能力,以及逻辑思维能力.
重点难点
教学重点:平面与平面平行的判定与性质.
教学难点:平面与平面平行的判定.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(情境导入)
大家都见过蜻蜓和直升飞机在天空 ( http: / / www.21cnjy.com )飞翔，蜻蜓的翅膀可以看作两条平行直线，当蜻蜓的翅膀与地面平行时，蜻蜓所在的平面是否与地面平行？直升飞机的所有螺旋桨与地面平行时，能否判定螺旋桨所在的平面与地面平行？由此请大家探究两平面平行的条件.
思路2.(事例导入)
三角板的一条边所 ( http: / / www.21cnjy.com )在直线与桌面平行，这个三角板所在的平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？下面我们讨论平面与平面平行的判定问题.
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆空间两平面的位置关系.
②欲证线面平行可转化为线线平行，欲判定面面平行可如何转化？
③找出恰当空间模型加以说明.
④用三种语言描述平面与平面平行的判定定理.
⑤应用面面平行的判定定理应注意什么？
⑥利用空间模型探究：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？
⑦回忆线面平行的性质定理，结合模型探究面面平行的性质定理.
⑧用三种语言描述平面与平面平行的性质定理.
⑨应用面面平行的性质定理的难点在哪里？
⑩应用面面平行的性质定理口诀是什么？
活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
问题①引导学生回忆两平面的位置关系.
问题②面面平行可转化为线面平行.
问题③借助模型锻炼学生的空间想象能力.
问题④引导学生进行语言转换.
问题⑤引导学生找出应用平面与平面平行的判定定理容易忽视哪个条件.
问题⑥引导学生画图探究，注意考虑问题的全面性.
问题⑦注意平行与异面的区别.
问题⑧引导学生进行语言转换.
问题⑨作辅助面.
问题⑩引导学生自己总结，把握面面平行的性质.
讨论结果：①如果两个平面没有公共点，则两平面平行若α∩β=,则α∥β.
如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若α∩β=AB,则α与β相交.
两平面平行与相交的图形表示如图1.
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图1
②由两个平面平行的定义可知：其中一 ( http: / / www.21cnjy.com )个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行.这是因为在这些直线中，如果有一条直线和另一平面有公共点，这点也必是这两个平面的公共点，那么这两个平面就不可能平行了.
另一方面，若一个 ( http: / / www.21cnjy.com )平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行，否则，这两个平面有公共点，那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面.
由此将判定两个平面平行的问 ( http: / / www.21cnjy.com )题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，但事实上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一平面，到底要多少条直线（且直线与直线应具备什么位置关系）与另一面平行，才能判定两个平面平行呢？
③如图2,如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行，两个平面不一定平行.
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图2
例如：AA′平面AA′D′D,AA′∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′=DD′.
如图3,如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，两个平面也不一定平行.
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图3
例如：AA′平面AA′D′D,EF平面AA′D′D,AA′∥平面DCC′D′,EF∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′=DD′.
如图4,如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面一定平行.
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图4
例如：A′C′平面A′B′C′D′,B′D′平面A′B′C′D′,A′C′∥平面ABCD,B′D′∥平面ABCD;直线A′C′与直线B′D′相交.
可以判定,平面A′B′C′D′∥平面ABCD.
④两个平面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
以上是两个平面平行的文字语言，另外面面平行的判定定理的符号语言为：
若aα，bα，a∩b=A,且a∥α,b∥β，则α∥β.
图形语言为：如图5,
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图5
⑤利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：
(Ⅰ)有两条直线平行于另一个平面;
(Ⅱ)这两条直线必须相交.
尤其是第二条学生容易忽视，应特别强调.
⑥如图6,借助长方体模型，我们看 ( http: / / www.21cnjy.com )到，B′D′所在的平面A′C′与平面AC平行，所以B′D′与平面AC没有公共点.也就是说，B′D′与平面AC内的所有直线没有公共点.因此，直线B′D′与平面AC内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线.
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图6
⑦直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
因为，直线B′D′与平面AC内的所 ( http: / / www.21cnjy.com )有直线要么是异面直线，要么是平行直线，只要过B′D′作平面BDD′B′与平面AC相交于直线BD，那么直线B′D′与直线BD平行.
如图7.
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图7
⑧两个平面平行的性质定理用文字语言表示为：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
两个平面平行的性质定理用符号语言表示为：a∥b.
两个平面平行的性质定理用图形语言表示为：如图8.
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图8
⑨应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面.
⑩应用线面平行性质定理的口诀：“见到面面平行，先过某些直线作两个平面的交线.”
应用示例
思路1
例1 已知正方体ABCD—A1B1C1D1，如图9,求证：平面AB1D1∥平面BDC1.
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图9
活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视学生的解答，发现问题及时纠正,并及时评价.
证明：∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，
∴D1C1∥A1B1,D1C1=A1B1.
又∵AB∥A1B1,AB=A1B1,
∴D1C1∥AB,D1C1=AB.
∴四边形ABC1D1为平行四边形.
∴AD1∥BC1.
又AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1.
同理，BD∥平面AB1D1.
又BD∩BC1=B，∴平面AB1D1∥平面BDC1.
变式训练
如图10,在正方体ABCD—EFGH中，M、N、P、Q、R分别是EH、EF、BC、CD、AD的中点，求证：平面MNA∥平面PQG.
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图10
证明：∵M、N、P、Q、R分别是EH、EF、BC、CD、AD的中点，∴MN∥HF,PQ∥BD.∵BD∥HF,
∴MN∥PQ.
∵PR∥GH,PR=GH;MH∥AR,MH=AR,∴四边形RPGH为平行四边形，四边形ARHM为平行四边形.
∴AM∥RH,RH∥PG.∴AM∥PG.
∵MN∥PQ,MN平面PQG,PQ平面PQG,∴MN∥平面PQG.
同理可证，AM∥平面PQG.又直线AM与直线MN相交，
∴平面MNA∥平面PQG.
点评：证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，所以关键是证线线平行.
例2 证明两个平面平行的性质定理.
解：如图11,已知平面α、β、γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,求证:a∥b.
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图11
证明：∵平面α∥平面β,
∴平面α和平面β没有公共点.
又aα，bβ,
∴直线a、b没有公共点.
又∵α∩γ=a，β∩γ=b,
∴aγ，bγ.∴a∥b.
变式训练
如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
解：已知α∥β，γ∥β，求证：α∥γ.
证明：如图12，作两个相交平面分别与α、β、γ交于a、c、e和b、d、f,
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图12
.
点评：欲将面面平行转化为线线平行，先要作平面.
知能训练
已知：a、b是异面直线，a平面α,b平面β，a∥β，b∥α.
求证：α∥β.
证明：如图13,在b上任取点P，显然Pa.于是a和点P确定平面γ，且γ与β有公共点P.
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图13
设γ∩β=a′，∵a∥β，∴a′∥a.∴a′∥α.
这样β内相交直线a′和b都平行于α，∴α∥β.
拓展提升
1.如图14，两条异面直线AB、CD与三个平行平面α、β、γ分别相交于A、E、B及C、F、D，又AD、BC与平面的交点为H、G.
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图14
求证：EHFG为平行四边形.
证明：AC∥EG.同理,AC∥HF.
EG∥HF.同理,EH∥FG.故EHFG是平行四边形.
课堂小结
知识总结：利用面面平行的判定定理和面面平行的性质证明线面平行.
方法总结：见到面面平行,利用面面平行的性质定理转化为线线平行,本节是“转化思想”的典型素材.
作业
课本习题2.2 A组7、8.
设计感想
面面关系是直线与平 ( http: / / www.21cnjy.com )面关系中比较复杂的关系，它是学生学习的一个难点，也是高考考查的重点，因此它在立体几何中占有比较重要的地位.本节选用了大量的经典习题作为素材，对于学生学好面面平行的判定与性质一定会有很大的帮助，本节的引入也别具一格，相信这是一节大家喜欢的精彩课例.2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
整体设计
教学分析
空间里直线与平面之间的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com )中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用较多，而且是学习平面与平面平行的基础.空间中直线与平面平行的定义是以否定形式给出的用起来不方便，要求学生在回忆直线与平面平行的定义的基础上探究直线与平面平行的判定定理.本节重点是直线与平面平行的判定定理的应用.
三维目标
1.探究直线与平面平行的判定定理.
2.直线与平面平行的判定定理的应用.
重点难点
如何判定直线与平面平行.
课时安排
1课时
教学过程
复习
复习直线与平面平行的定义：如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.
导入新课
思路1.(情境导入)
将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？
思路2.(事例导入)
观察长方体（图1），你能发 ( http: / / www.21cnjy.com )现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面的位置关系吗？
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图1
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆空间直线与平面的位置关系.
②若平面外一条直线平行平面内一条直线，探究平面外的直线与平面的位置关系.
③用三种语言描述直线与平面平行的判定定理.
④试证明直线与平面平行的判定定理.
活动：问题①引导学生回忆直线与平面的位置关系.
问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.
问题③引导学生进行语言转换.
问题④引导学生用反证法证明.
讨论结果：①直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.
②直线a在平面α外，是不是能够断定a∥α呢？
不能！直线a在平面α外包含两种情形：一是a与α相交，二是a与α平行，
因此，由直线a在平面α外，不能断定a∥α.
若平面外一条直线平行平面内一条直线，那么平面外的直线与平面的位置关系可能相交吗？
既然不可能相交，则该直线与平面平行.
③直线与平面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
符号语言为： ( http: / / www.21cnjy.com ).
图形语言为：如图2.
图2
④证明：∵a∥b，∴a、b确定一个平面，设为β.
∴aβ，bβ.
∵aα，aβ，∴α和β是两个不同平面.
∵bα且bβ，
∴α∩β=b.假设a与α有公共点P,
则P∈α∩β=b，即点P是a与b的公共点，这与已知a∥b矛盾.
∴假设错误.故a∥α.
应用示例
思路1
例1 求证空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.
已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.
求证：EF∥面BCD.
活动：先让学生思考或讨论，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
证明：如图3,连接BD,
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图3
( http: / / www.21cnjy.com )EF∥面BCD.所以,EF∥面BCD.
变式训练
如图4,在△ABC所在平面 ( http: / / www.21cnjy.com )外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法.
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图4
画法：过点N在面ABC内作NE∥BC交AB于 ( http: / / www.21cnjy.com )E，过点M在面PBC内作MF∥BC交PB于F，连接EF，则平面MNEF为所求，其中MN、NE、EF、MF分别为平面MNEF与各面的交线.
证明：如图5,
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图5
.
所以,BC∥平面MNEF.
点评：“见中点，找中点”是证明线线平行常用方法，而证明线面平行往往转化为证明线线平行.
例2 如图6，已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点.
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图6
求证：AC∥平面EFG，BD∥平面EFG.
证明：连接AC、BD、EF、FG、EG.
在△ABC中，
∵E、F分别是AB、BC的中点,∴AC∥EF.
又EF面EFG，AC面EFG,
∴AC∥面EFG.
同理可证BD∥面EFG.
变式训练
已知M、N分别是△ADB和△ADC的重心，A点不在平面α内，B、D、C在平面α内，求证：MN∥α.
证明：如图7,连接AM、AN并延长分别交BD、CD于P、Q，连接PQ.
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图7
∵M、N分别是△ADB、△ADC的重心，
∴=2.∴MN∥PQ.
又PQα，MNα,∴MN∥α.
点评：利用平面几何中的平行线截比例线段定理,三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.
思路2
例题 设P、Q是边长为a的正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心,如图8,
（1）证明PQ∥平面AA1B1B；
（2）求线段PQ的长.
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图8
(1)证法一：取AA1,A1B1的中点M,N,连接MN,NQ,MP,
∵MP∥AD,MP=,NQ∥A1D1,NQ=,
∴MP∥ND且MP=ND.
∴四边形PQNM为平行四边形.
∴PQ∥MN.
∵MN面AA1B1B,PQ面AA1B1B,
∴PQ∥面AA1B1B.
证法二：连接AD1,AB1,在△AB1D1中,显然P,Q分别是AD1,D1B1的中点,
∴PQ∥AB1,且PQ=.
∵PQ面AA1B1B,AB1面AA1B1B,
∴PQ∥面AA1B1B.
(2)解:方法一:PQ=MN=.
方法二：PQ=.
变式训练
如图9，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E=BF.
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图9
求证：EF∥平面BB1C1C.
证明：连接AF并延长交BC于M，连接B1M.
∵AD∥BC,∴△AFD∽△MFB.
∴.
又∵BD=B1A，B1E=BF,∴DF=AE.
∴.
∴EF∥B1M，B1M平面BB1C1C.
∴EF∥平面BB1C1C.
知能训练
已知四棱锥P—ABCD的底面为平行四边形,M为PC的中点,求证:PA∥平面MBD.
证明：如图10,连接AC、BD交于O点,连接MO,
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图10
∵O为AC的中点,M为PC的中点,
∴MO为△PAC的中位线.
∴PA∥MO.
∵PA平面MBD,MO平面MBD,
∴PA∥平面MBD.
拓展提升
如图11，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于AC,M是线段EF的中点.
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图11
求证:AM∥平面BDE.
证明：设AC∩BD=O，连接OE，
∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是平行四边形，
∴四边形AOEM是平行四边形.
∴AM∥OE.
∵OE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.
课堂小结
知识总结：利用线面平行的判定定理证明线面平行.
方法总结：利用平面几何中的平行线截比例线段定理，三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.
作业
课本习题2.2 A组3、4.
设计感想
线面关系是线线关系 ( http: / / www.21cnjy.com )和面面关系的桥梁和纽带，线面平行的判定是高考考查的重点，多年来，高考立体几何第一问往往考查线面平行的判定.本节不仅选用了大量的传统经典题目，而且还选取了近几年的高考题目.学生通过这些优秀题目的训练，不仅可以熟练掌握线面平行的判定，而且将大大增强学好数学的信心.备课资料
备用习题
如图12,在正四棱锥S—ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中,P在SC上,Q在SB上,R在SD上,且SP∶PC=1∶2, SQ∶SB=2∶3,SR∶RD=2∶1,求证:SA∥平面PQR.
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图12
证明：连接AC、BD,设交于O,连接SO,连接RQ交SO于M,取SC中点N,连接ON,那么ON∥SA.
∵,∴RQ∥BD.
∴.而,
∴.∴PM∥ON.
∵SA∥ON,∴SA∥PM.
∵PM平面PQR,∴SA∥平面PQR.
点评：利用平面几何中的平行线截比例线段定理,三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.
(设计者:侯继美)2.2.3 直线与平面平行的性质
整体设计
教学分析
上节课已学习了直线与平面平行 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定定理,这节课将通过例题让学生体会应用线面平行的性质定理的难度，进而明确告诉学生：线面平行的性质定理是高考考查的重点，也是最难应用的两个定理之一.本节重点是直线与平面平行的性质定理的应用.
三维目标
1.探究直线与平面平行的性质定理.
2.体会直线与平面平行的性质定理的应用.
3.通过线线平行与线面平行转化,培养学生的学习兴趣.
重点难点
教学重点：直线与平面平行的性质定理.
教学难点：直线与平面平行的性质定理的应用.
课时安排
1课时
教学过程
复习
回忆直线与平面平行的判定定理：
（1）文字语言：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.
（2）符号语言为： ( http: / / www.21cnjy.com )
（3）图形语言为：如图1.
图1
导入新课
思路1.(情境导入)
教室内日光灯管所在的直线与地面平行，是不是地面内的所有直线都与日光灯管所在的直线平行？
思路2.(事例导入)
观察长方体（图2），可以发现长 ( http: / / www.21cnjy.com )方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面平行，你能在侧面C′D′DC所在平面内作一条直线与A′B平行吗？
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图2
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆空间两直线的位置关系.
②若一条直线与一个平面平行，探究这条直线与平面内直线的位置关系.
③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理.
④试证明直线与平面平行的性质定理.
⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么？
⑥总结应用线面平行性质定理的要诀.
活动:问题①引导学生回忆两直线的位置关系.
问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.
问题③引导学生进行语言转换.
问题④引导学生用排除法.
问题⑤引导学生找出应用的难点.
问题⑥鼓励学生总结，教师归纳.
讨论结果：①空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面.
②若一条直线与一个平面平行，这条直线与平 ( http: / / www.21cnjy.com )面内直线的位置关系不可能是相交（可用反证法证明）,所以，该直线与平面内直线的位置关系还有两种，即平行或异面.
怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢（排除异面的情况）？经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
这个定理用符号语言可表示为：
这个定理用图形语言可表示为：如图3.
( http: / / www.21cnjy.com )
图3
④已知a∥α，aβ，α∩β=b.求证：a∥b.
证明： ( http: / / www.21cnjy.com )
⑤应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面.
⑥应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线”.
应用示例
思路1
例1 如图4所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.
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图4
(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？
(2)所画的线与面AC是什么位置关系？
活动:先让学生思考、讨论再回答，然后教师加以引导.
分析：经过木料表面A′C′内的一点 ( http: / / www.21cnjy.com )P和棱BC将木料锯开,实际上是经过BC及BC外一点P作截面,也就是找出平面与平面的交线.我们可以由线面平行的性质定理和公理4、公理2作出.
解：（1）如图5，在平面A′C′内，过点P作直线EF,使EF∥B′C′，
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图5
并分别交棱A′B′、C′D′于点E、F.连接BE、CF.
则EF、BE、CF就是应画的线.
(2)因为棱BC平行于面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC∥B′C′.
由（1）知，EF∥B′C′，
所以EF∥BC.因此
BE、CF显然都与平面AC相交.
变式训练
如图6，a∥α,A是α另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD交α于E、F、G点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.
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图6
解：Aa，∴A、a确定一个平面，设为β.
∵B∈a，∴B∈β.
又A∈β，∴ABβ.
同理ACβ，ADβ.
∵点A与直线a在α的异侧,
∴β与α相交.
∴面ABD与面α相交，交线为EG.
∵BD∥α，BD面BAD，面BAD∩α=EG,
∴BD∥EG.
∴△AEG∽△ABD.
∴.(相似三角形对应线段成比例)
∴EG=.
点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，直线与交线平行，如果再需要过已知点，这个平面是确定的.
例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.如图7.
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图7
已知直线a,b,平面α,且a∥b,a∥α,a,b都在平面α外.
求证：b∥α.
证明：过a作平面β,使它与平面α相交,交线为c.
∵a∥α,aβ,α∩β=c,
∴a∥c.
∵a∥b,∴b∥c.
∵cα,bα,∴b∥α.
变式训练
如图8,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别交BC、CD于F、G.求证：EH∥FG.
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图8
证明：连接EH.
∵E、H分别是AB、AD的中点,
∴EH∥BD.
又BD面BCD，EH面BCD,
∴EH∥面BCD.
又EHα、α∩面BCD=FG,
∴EH∥FG.
点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，则直线与交线平行.
思路2
例1 求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.如图9.
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图9
已知a∥b,aα，bβ，α∩β=c.
求证：c∥a∥b.
证明：
变式训练
求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.
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图10
已知：如图10,a∥α,a∥β,α∩β=b，
求证：a∥b.
证明：如图10，过a作平面γ、δ，使得γ∩α=c，δ∩β=d，那么有
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点评：本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路.
例2 如图11，平行四边形EFGH ( http: / / www.21cnjy.com )的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH.
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图11
证明：∵EFGH是平行四边形
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变式训练
如图12，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB.
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图12
（1）求证：EFGH是矩形；
（2）设DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面积.
(1)证明：∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD=EF,
∴CD∥EF.同理HG∥CD,∴EF∥HG.
同理HE∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形.
由CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF为CD和AB所成的角.
又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.
∴四边形EFGH为矩形.
（2）解：由（1）可知在△BCD中EF∥CD，DE=m，EB=n,
∴.又CD=a,∴EF=.
由HE∥AB,∴.
又∵AB=b,∴HE=.
又∵四边形EFGH为矩形,
∴S矩形EFGH=HE·EF=.
点评：线面平行问题是平行问题的重点，有着广泛应用.
知能训练
求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行.
已知：a、b是异面直线.
求证：过b有且只有一个平面与a平行.
证明：(1)存在性.如图13，
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图13
在直线b上任取一点A，显然Aa.
过A与a作平面β,
在平面β内过点A作直线a′∥a,
则a′与b是相交直线，它们确定一个平面，设为α,
∵bα，a与b异面，∴aα.
又∵a∥a′，a′α，∴a∥α.
∴过b有一个平面α与a平行.
(2)唯一性.
假设平面γ是过b且与a平行的另一个平面,
则bγ.∵A∈b，∴A∈γ.
又∵A∈β，∴γ与β相交，设交线为a″，则A∈a″.
∵a∥γ，aβ，γ∩β=a″,∴a∥a″.又a∥a′，∴a′∥a″.
这与a′∩a″=A矛盾.
∴假设错误，故过b且与a平行的平面只有一个.
综上所述，过b有且只有一个平面与a平行.
变式训练
已知：a∥α，A∈α，A∈b，且b∥a.求证：bα.
证明：假设bα，如图14，
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图14
设经过点A和直线a的平面为β，α∩β=b′, ∵a∥α，∴a∥b′(线面平行则线线平行).
又∵a∥b，∴b∥b′,这与b∩b′=A矛盾.
∴假设错误.故bα.
拓展提升
已知：a,b为异面直线,aα,bβ,a∥β,b∥α,求证:α∥β.
证明：如图15，在b上任取一点P，由点P和直线a确定的平面γ与平面β交于直线c，则c与b相交于点P.
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图15
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变式训练
已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点，过E、F作平面α∥AB.
（1）求证：CD∥α;
（2）若AB=4，EF=，CD=2，求AB与CD所成角的大小.
（1）证明：如图16，连接AD交α于G，连接GF,
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图16
∵AB∥α，面ADB∩α=GFAB∥GF.
又∵F为BD中点,
∴G为AD中点.
又∵AC、AD相交，确定的平面ACD∩α=EG,E为AC中点，G为AD中点,∴EG∥CD.
（2）解：由（1）证明可知：
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∵AB=4,GF=2,CD=2,∴EG=1,EF=.
在△EGF中，由勾股定理,得∠EGF=90°,即AB与CD所成角的大小为90°.
课堂小结
知识总结:利用线面平行的性质定理将直线与平面平行转化为直线与直线平行.
方法总结:应用直线与平面平行的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质定理需要过已知直线作一个平面,是最难应用的定理之一;应让学生熟记:“过直线作平面，把线面平行转化为线线平行”.
作业
课本习题2.2 A组5、6.
设计感想
线面关系是线线关系和 ( http: / / www.21cnjy.com )面面关系的桥梁和纽带，线面平行的判定是高考考查的重点.本节的难点是应用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行，本节在选题时始终围绕这个中心展开，针对性强，因此这节课目的突出，是一个精彩课例.另外，本节总结了应用线面平行性质定理的口诀，对学生的学习一定有很大帮助.备课资料
备用习题
1.如果a、b是异面直线，且a∥平面α，那么b与α的位置关系是( )
A.b∥α B.b与α相交
C.bα D.不确定
答案：D
2.如果一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定
答案：D
3.下面给出四个命题，其中正确命题的个数是( )
①若a∥α、b∥α，则a∥b ②若a∥α，bα，则a∥b ③若a∥b，bα，则a∥α ④若a∥b，b∥α，则a∥α
A.0 B.1 C.2 D.4
答案：A
4.下列说法正确的是( )
A.若直线a平行于面α内的无数条直线，则a∥α
B.若直线a在平面α外，则a∥α
C.若直线a∥b，直线bα，则aα
D.若直线a∥b，直线bα，则直线a平行于平面α内的无数条直线
答案：D
5.下列命题中，正确的是( )
A.如果直线l与平面α内无数条直线成异面直线，则l∥α
B.如果直线l与平面α内无数条直线平行，则l∥α
C.如果直线l与平面α内无数条直线成异面直线，则lα
D.如果一条直线与一个平面平行，则该直线平行于这个平面内的所有直线
E.如果一条直线上有无数个点不在平面内，则这条直线与这个平面平行
答案：C
(设计者:侯继美)
