衡阳市第八中学2024届高三下学期5月模拟数学答案
一、选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．若，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，则，符合题意，
当时，有或，已知当时符合题意，
当时，则，符合题意，故的取值集合为.故选：C.
2．设（是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用复数的除法运算、共轭复数的定义可计算出的值.
【详解】，，则，故选：B.
3．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设圆锥的底面半径为，因为圆锥的侧面展开图的弧长为，所以，得，
因为圆锥母线长为，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为，故选：C
4．已知函数，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称
C．为偶函数 D．的最小正周期为
【答案】C
【详解】，的图象关于点不对称，故A选项不正确.
，的图象关于直线不对称，故B选项不正确.
因为，
又，即，故为偶函数，故C选项正确.
的最小正周期为，故D选项不正确.故选：C.
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为10，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵，为椭圆的两个焦点，∴，，
的周长为，即，
若最小，则最大．又当轴时，最小，此时，
故，解得．故选：C.
6．若的展开式中常数项为，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由二项式展开式性质可计算出，结合基本不等式即可得.
【详解】由，有，
令，即，故，
即，即，则，
当且仅当或时，等号成立，
故的最小值为.故选：C.
7．已知，，．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得，
因为，，则，可得，即，
则，令，
则，整理得，解得或（舍去），
即，解得．故选：B．
8．现随机安排甲、乙等4位同学参加衡阳市第八中学校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有不同的安排方法，
事件“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有种方法；
若跳高比赛安排1人，则有种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有种，则，同理，
若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有种不同的安排方法，所以，因为，事件A与B不相互独立故A错误；
对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A与C不是互斥事件，故B错误；
对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有种，所以，所以，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C
二、选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)
9．衡阳市第八中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分．得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（ ）
A．该次数学史知识测试及格率超过90%
B．该次数学史知识测试得满分的同学有15名
C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D．若八中共有3000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有1800名
【答案】ACD
【详解】由图知，及格率为，故A正确．
该测试满分同学的百分比为，即有名，B错误．
由图知，中位数为80分，平均数为分，故C正确．
由题意，3000名学生成绩能得优秀的同学有，故D正确．故选：ACD
10．给出下列四个命题，其中正确的选项有（ ）
A．
B．若，则
C．若，则为等腰三角形
D．非零向量，满足，则与的夹角是
【答案】CD
【详解】对于A中，因为，，
例如向量与不共线时，一定有，所以A不正确；
对于B中，若，此时满足，但与不一定相等，所以B不正确；
对于C中，由，可得，
即，可得，所以为等腰三角形，所以C正确；
对于D中，由，可得，
可得，可得
又由，可得，所以D正确.故选：CD.
11．已知圆过点，点在线段上，过点作圆的两条切线，切点分别为，以为直径作圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的方程为
B．面积的最小值为2
C．圆的面积的最小值为
D．切点的连线过定点
【答案】ABD
【详解】依题意，圆的圆心在直线上，设，则，
解得，圆，其圆心，半径，A正确；
设，显然四点共圆，该圆的直径是线段，
方程为，整理得，
由消去二次项得直线的方程：，
直线：，由得，即直线过定点，D正确；
显然，当时，弦长最短，此时，
因此以为直径的圆的面积最小值为，C错误；
直线的斜率，当时，直线：与线段平行，
因此点到直线的距离最小值为两条平行直线与间距离，
而此时弦长最短，从而的面积的最小值为，B正确.故选：ABD
12．已知正方体的棱长为1，点P为侧面内一点，则（ ）
A．当时，异面直线CP与AD所成角的正切值为
B．当时，四面体的体积为定值
C．当点P到平面ABCD的距离等于到直线的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分
D．当时，四面体BCDP的外接球的表面积为2π
【答案】BCD
【详解】如图1，以D为坐标原点，分别以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，
设异面直线CP与AD所成角为，
则，故，，A错误；
如图2，因为，且，所以四边形为平行四边形，故，
因为平面，平面，所以平面，
故当点P在上运动时，点P到平面的距离不变，
即当时，四面体的体积为定值，B正确；
如图3，过点P作PE⊥BC于点E，连接，
因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，所以AB⊥EP，
因为，平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，
设，，其中，
当时，，
整理得：，
故当点P到平面ABCD的距离等于到直线的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分，C正确；
如图4，当时，P为的中点，取BD的中点Q，BC的中点N，连接PN，
则PN，故PN⊥平面ABCD，
因为BC⊥CD，故三角形BCD的外心为点Q，则外接球球心O在过点Q且垂直于平面ABCD的直线上，
故OQ⊥平面ABCD，OQPN，
连接OP，QN，OB，过点O作OMQN交PN于点M，设四面体BCDP的外接球的半径为R，
则OB=OP=R，，OQ=MN，其中，设OQ=MN=h，则，
由勾股定理得，
故，解得：，故，，
当时，四面体BCDP的外接球的表面积为2π，D正确.故选：BCD.
三、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．已知函数同时满足以下条件：
①定义域为；②值域为；③，都有.
试写出一个函数解析式 .
【答案】（答案不唯一）
【详解】由题设，是定义域为R，值域为的偶函数，
所以满足.故答案为：（答案不唯一）
14．设为坐标原点，直线与拋物线交于两点，若，则的焦点坐标为 .
【答案】/
【详解】由得：，不妨令，，，，
，，解得：，抛物线，
的焦点坐标为.故答案为：.
15．函数的最大值为 .
【答案】/
【详解】函数，定义域为，当时，，，
在为减函数，此时；
当时，，，
当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，
此时，综上可知，.故答案为：.
16．随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为 ．
【答案】/
【详解】甲投1次，记下数字有10种可能，乙投1次也有10种可能；
丙投1次也有10种可能，
所以甲、乙、丙依次投掷1次，记下数字有种情况，
0~9这10个数字中选3个，能构成等差数列的情况如下：
公差为0的等差数列有：0，0，0；1，1，1；2，2，2；；9，9，9共10种情况；
公差为1的等差数列有：0，1，2；1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8；7，8，9共8种情况；
公差为2的等差数列有：0，2，4；1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共6种情况；
公差为3的等差数列有：0，3，6；1，4，7；2，5，8；3，6，9共4种情况；
公差为4的等差数列有：0，4，8；1，5，9共2种情况；
公差为1，2，3，4的等差数列中的第1项和第3项的数字交换，分别构成公差为，，，的等差数列，所以构成等差数列的可能情况有种，
所以若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为.
故答案为：
四、解答题：(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)如果数列满足，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由题易知.当时，由已知得，
∴，∴， ...........................2分
∴当时，数列是等差数列.设的公差为.
又∵，，
∴，，， ...........................4分
∴，∴. ...........................5分
（2）由（1）可得. ...........................6分
∴数列的前项和，①
.② ...........................7分
②①可得
. ...........................10分
18．(本小题满分12分)为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，衡阳市第八中学校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
奖项组别 个人赛 团体赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖
高一 20 20 60 50
高二 16 29 105 50
(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；
【答案】(1)(2)分布列见解析，
【详解】（1）记“任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A，
“任取1名学生，该生为高一学生"为事件， ...........................1分
， ...........................3分
故； ...........................4分
（2）由己知可得，的可能取值为，
， ...........................6分
， ...........................8分
， ...........................10分
的分布列为
0 1 2
...........................12分
19．(本小题满分12分)如图，在△ABC中，AC⊥BC．延长BA到D，使得AD＝2，且．
(1)若，求△DBC的面积；
(2)当时，求△ACD面积的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）在△ACD中，
∵，则，即 ...........................1分
则 ...........................2分
△ACD的面积 ...........................3分
在Rt△ABC中，，即
...........................4分
△ABC的面积 ...........................5分
△DBC的面积 ...........................6分
（2）在△ACD中，设，
∵，则 ...........................8分
△ACD的面积 ...........................10分
若，则 ...........................11分
则，即△ACD面积的取值范围 ...........................12分
20． (本小题满分12分)如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点.
(1)记平面与平面的交线为，求证：直线平面；
(2)若，点是的中点，求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）因为分别是的中点所以，
又因为平面，平面
所以平面 ...........................2分
又平面，平面与平面的交线为，
所以， ...........................4分
而平面，平面，
所以平面 ...........................5分
（2）如图，因为是圆的直径，点是的中点，
所以，
因为直线平面所以 ...........................6分
所以以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， ...........................7分
则 ，，
所以， ...........................8分
设平面的法向量，则，即
令，则得 ...........................10分
因为直线平面所以为平面的法向量 ...........................11分
所以 所以二面角的正弦值为 ...........................12分
21．(本小题满分12分)已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点两点.
(1)若双曲线的右支上的三个不同的点关于轴的对称点分别为双曲线的左右焦点，试求的值；
(2)设过点的直线交曲线于两点，过作轴的垂线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【详解】（1）设双曲线方程：，显然， ...........................1分
将代入得：，解得， ...........................2分
即双曲线； ...........................3分
设双曲线的右焦点为，由双曲线的对称性可知，，
则
. ...........................5分
（2）设直线，易得.
所以由，即点是线段的中点. ...........................6分
所以，于是的方程：， ...........................7分
下证直线过定点.即证，即证.
即证.
而.
故即证：（1） ...........................8分
由.
，，代入（1）式： ...........................10分
成立，
即证故直线过定点. ...........................12分
22．(本小题满分12分)已知关于的方程有两个不相等的正实根和，且.
(1)求实数的取值范围；
(2)设为常数，当变化时，若有最小值，求常数的值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由且， ...........................1分
可得. 设， ...........................2分
则，令，解得.
当时，，单调递增； ...........................3分
当时，，单调递减； ...........................4分
函数的图象如下：
又趋向于0时趋向，趋向于时趋向0；
要使图象与直线有两个交点，则，故a的取值范围是. ...........................5分
（2）因为，由（1）得，
则，设，则，即，
由有最小值，即有最小值. ...........................6分
设 ，
记，由于， ...........................7分
若，则，可得单调递增，此时，即单调递增，
此时在没有最小值，不符合题意. ...........................8分
若，时，，则在单调递减，
时，，则在单调递增.
又，，且趋向于时趋向，故且唯一，使得.
此时时，，即，此时在上单调递减；
时，，即， 在上单调递增.
所以时，有最小值， ...........................9分
而，即，整理得
此时，由题意知. ...........................10分
设
设.
设，故递增，.
此时递增，有， ...........................11分
令且，则，即在上递增，故，
此时，故在递增，而知，的唯一解是.
故的唯一解是，即.综上所述，. ...........................12分衡阳市第八中学2024届高三下学期5月模拟
数 学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．若，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
2．设（是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称
C．为偶函数 D．的最小正周期为
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为10，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．若的展开式中常数项为，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知，，．若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．现随机安排甲、乙等4位同学参加衡阳市第八中学校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件
C． D．
二、选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)
9．衡阳市第八中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分．得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（ ）
A．该次数学史知识测试及格率超过90%
B．该次数学史知识测试得满分的同学有15名
C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D．若八中共有3000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有1800名
10．给出下列四个命题，其中正确的选项有（ ）
A．
B．若，则
C．若，则为等腰三角形
D．非零向量，满足，则与的夹角是
11．已知圆过点，点在线段上，过点作圆的两条切线，切点分别为，以为直径作圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的方程为
B．面积的最小值为2
C．圆的面积的最小值为
D．切点的连线过定点
12．已知正方体的棱长为1，点P为侧面内一点，则（ ）
A．当时，异面直线CP与AD所成角的正切值为
B．当时，四面体的体积为定值
C．当点P到平面ABCD的距离等于到直线的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分
D．当时，四面体BCDP的外接球的表面积为2π
三、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．已知函数同时满足以下条件：
①定义域为；②值域为；③，都有.
试写出一个函数解析式 .
14．设为坐标原点，直线与拋物线交于两点，若，则的焦点坐标为 .
15．函数的最大值为 .
16．随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为 ．
四、解答题：(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)如果数列满足，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
18．(本小题满分12分)为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，衡阳市第八中学校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
奖项组别 个人赛 团体赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖
高一 20 20 60 50
高二 16 29 105 50
(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；
19．(本小题满分12分)如图，在△ABC中，AC⊥BC．延长BA到D，使得AD＝2，且．
(1)若，求△DBC的面积；
(2)当时，求△ACD面积的取值范围．
20． (本小题满分12分)如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，
直线平面，分别是，的中点.
(1)记平面与平面的交线为，求证：直线平面；
(2)若，点是的中点，求二面角的正弦值.
21．(本小题满分12分)已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点两点.
(1)若双曲线的右支上的三个不同的点关于轴的对称点分别为为双曲线的左右焦点，试求的值；
(2)设过点的直线交曲线于两点，过作轴的垂线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点.
22．(本小题满分12分)已知关于的方程有两个不相等的正实根和，且.
(1)求实数的取值范围；
(2)设为常数，当变化时，若有最小值，求常数的值.
