4.(x+y-1)的展开式中2的系数为
2024年高三年级模拟考试（三）
A.-20
B.20
数学试卷
C.-30
D.30
(考试时间：下午3：00一5：00)
5.已知△ABC中，A=120°，D是BC的中点，且AD=1,则△ABC面积的最大值
注意事项：
A.V3
B.2V3
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
C.1
D.2
2.回答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试编号填写在答题卡上。
3.回答第】卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
6.已知函数/e)=asins+cox的图象关于直线x=君对称，则函数gx)=sinr+acsr的
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
图象关于
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A点（石0）对称
B.点（写0）对称
第I卷
长
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
c点1号0)对称
D点（石0）对称
合题目要求的
7.已知定义域是R的函数f(x)满足对于任意x,y∈R都有f(xy+1)=∫(x)f)-f(x)-2y+3,
1.(护=
且f0)=2,则
1
f(k)f(k+1)=
A.-i
B.i
+器
B.2025
c.-1
D.1
“2026
2.已知全集U=R,A={xlx>1},B={xlgx<1,则(CA)nB=
C.2024
6081
0225
676
A(0,1]
B.[1,2)
8.已知点F,F,分别是椭圆C的左、右焦点，P(4,3)是C上一点，△PF,F,的内切圆的圆心
C.[-1,1]
D.[-1,2)
为1(m,1),则椭圆C的标准方程是
3.数据1,5,4,3,6,5,2,6的第25百分位数为
+=1
A.2
B.2.5
D.
C.3
D.45
c+若=1
高三数学（三）第1页（共8页）
高三数学（三）第2页（共8页）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9.已知曲线C:x2+y2cosa=1(0
A.曲线C可能是直线
B.曲线C可能是圆
C.曲线C可能是椭圆
D.曲线C可能是双曲线
10.已知x,是函数f(x)=x3+mx+n(m<0)的极值点，若f(x)=f(x)(x,*x,则下列结论
正确的是
A.f(x)的对称中心为(0，n)
B.f(-x)>f(x:)
C.2x1+x2=0
D.x1+x2>0
11.已知正方体ABCD中，E是A,B,的中点，点F是线段A,C上的动点，则下列结论正确的是
A.三棱锥B-C,EF的体积为定值
D
B.存在点F,使得DF⊥平面BC,E
C.不存在点F,使得BC∥平面AEF
D.不存在点F,使得AEF⊥平面BC,E
高三数学（三）第3页（共8页）
高三数学（三），第4页（共8页）太原市 2024 年高三年级模拟考试（三） 数学
参考答案及评分建议
一、选择题: CABDADCB
二、选择题: 9.ACD 10.AC 11.AB
三、填空题: 12. 13.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分.
15. 解: (1) 设数列 的公比为 ,
由 也是等比数列得 ,
或 (舍去), .5 分
. 分
(2) 由 (1) 得 , -9 分
,(1)
,(2)
(1)-(2)得 ,
. 13 分
16. 解: (1) 由题意得
疫苗 流感 合计
感染 未感染
接种 130 570 700
未接种 70 230 300
合计 200 800 1000
………4 分
零假设为 : 接种流感疫苗与感染流感无关, 分
根据列联表中的数据, 经计算得到
根据小概率值 的独立性检验,推断 不成立,即认为接种流感疫苗与感染流感有 关, 此推断犯错误的概率不超过 0.10 ; 分
接种流感疫苗中未感染流感和感染流感的频率分别为 和 ,未接种流感疫苗中未感染流 感和感染流感的频率分别为 和 ,根据频率稳定于概率的原理,可以认为接种疫苗时未 感染流感的概率大; 分
(2) 设 “某人流感检测结果为阳性”, “此人感染流感”,
由题意得 ,
, ,
. 分
17. (1) 证明: 底面 ,
,
,
, ………3 分
平面 ,
平面 平面 ; 分
(2) 由 (1) 知 ,
以 为原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴,建立如图所示的空间直角 坐标系,设 ,则 ,
设 是平面 的一个法向量,则
取 ,则 , ………7 分
,
与平面 所成角的正弦值为 ; 分
(3) 设 是平面 的一个法向量,则
取 ,则 , ……12 分
,
平面 与平面 夹角的余弦值为 . 分
18. 解: (1) 由题意得 ,
则 ; (5) 分
(2) 由 (1) 得 ,设直线 的方程为 ,则 ,
由 得 , 9 分
直线 的方程为 ,令 ,则 ,
, .12 分
三点共线. 17 分
19. (1) 解: 由题意得 , 分
,
令 ,则 ; 令 ,则 ,
在 上单调递减,在 上单调递增; (4 分
,
实数 的取值范围 . (6 分
(2) 由 (1) 得 在 上单调递减,在 上单调递增,
, (.8 分
令 ,
则 , 分
设 ,则 ,
, 在 上递增,
当 时,则 ,即 , 11 分
在 上递减, , 13 分
, 15 分
在 上单调递增, . .17 分
注: 以上各题其它解法请酌情赋分.太原市 2024 年高三年级模拟考试（三）
数学参考答案及评分建议
一．选择题： C A B D A D C B
二. 选择题： ACD AC AB
3
三．填空题: 12. (0,1) 13. 3 14.
2
四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分.
2
15.解:（1）设数列{an}的公比为 q，由{Sn 1}也是等比数列得 (S2 1) (S1 1)(S3 1)，
(q 2)2 2 (q2 q 2)， q 2或 q 0（舍去）， ………5 分
an a
n 1
1q 2
n 1(n N*) . ………7分
n 1 n 1 *
（2）由（1）得 an 2 ，bn an log2 an 1 n 2 (n N )， ………9 分
T b 0 2n 1 b2 bn 1 2 2 2 3 2 n 2
n 1
，①
2Tn 1 2 2 2
2 3 23 n 2n ，②
2 n 1 n
①-②得 Tn 1 2 2 2 n 2 ，
Tn (n 1) 2
n 1. ………13 分
16.解：（1）由题意得
流感
疫苗 感染 未感染 合计
接种 130 570 700
未接种 70 230 300
合计 200 800 1000
………4 分
零假设为H 0：接种流感疫苗与感染流感无关， ………5 分
根据列联表中的数据，经计算得到
2 1000 (570 70 130 230)
2 125
2.976 2.706 x ，
700 300 800 200 42 0.10
根据小概率值 0.10的独立性检验，推断H 0不成立，即认为接种流感疫苗与感染流感有
关，此推断犯错误的概率不超过0.10； ………8 分
57 13
接种流感疫苗中未感染流感和感染流感的频率分别为 和 ，未接种流感疫苗中未感染流
70 70
23 7
感和感染流感的频率分别为 和 ，根据频率稳定于概率的原理，可以认为接种疫苗时未
30 30
感染流感的概率大； ………10 分
（2）设 A “某人流感检测结果为阳性”，B “此人感染流感”，
由题意得P(B) 0.2，P(B) 0.8，P(A | B) 0.95，P(A | B) 0.01，
P(AB) P(B)P(A | B) 0.2 0.95 0.19，
{#{QQABRYSUogAAAJIAABhCEwFiCEIQkACCAAoGgEAMIAAAyRFABAA=}#}
P(A) P(B)P(A | B) P(B)P(A | B) 0.2 0.95 0.8 0.01 0.198，
P(B | A) P(AB) 0.19 0.96. ………15 分
P(A) 0.198
17.（1）证明： A1D 底面 ABCD , A1D AD, A1D BD，
AB 2AD， DAB 60 2 2 2， BD AB AD 2AB AD cos DAB 3AD2，
AB2 BD2 AD2 4AD2，
ADB 90 ， AD BD， ………3 分
BD 平面 ADD1A1，
平面 BDD1B1 平面 ADD1A1； ………5分
（2）由（1）知 A1D AD, A1D BD， AD BD，
以D为原点，DA,DB,DA1所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴，建立如图所示的空间直角
坐标系，设 AD 1，则D(0,0,0)， A(1,0,0)，B(0, 3,0)， A1(0,0,1)，D1( 1,0,1)，
B1( 1, 3,1)，C( 1, 3,0)，
m (x , y , z ) BDD B m DB, 3y1 0,设 1 1 1 是平面 1 1的一个法向量，则
m DD , x1 z1 0,1
取 z1 1，则 x1 1, y1 0， m (1,0,1)， ………7 分
AB ( 2, 3,1) cos m, AB m AB 1 11 ， 11 ，
|m || AB1 | 2 8 4
AB1与平面 BB1D1D
1
所成角的正弦值为 ； ………10 分
4
x z 0,
（3）设n (x , y , z ) n AA , 2 22 2 2 是平面 AA
1
1B1B的一个法向量，则
n AB, x2 3y2 0,
取 y2 1，则 x2 z2 3， n ( 3,1, 3)， ………12 分
cos m,n m n 2 3 42 ，
|m || n | 2 7 7
42
平面 AA1B1B与平面 BB1D1D夹角的余弦值为 . ………15 分7
18.解：（1）由题意得 A( a,0),B(a,0)，
9 2
a2
2 1,b a2 3, x2 y 2则 1； ………5 分
2 2
2 3
2,
b 1,
3 a 3 a
（2）由（1）得 A( 3,0),B( 3,0)，
{#{QQABRYSUogAAAJIAABhCEwFiCEIQkACCAAoGgEAMIAAAyRFABAA=}#}
设直线MN 的方程为 x ty 3(t 3)，M (x1, y1),N (x2 , y2 )，则 BN (x2 3, y2 )，
x ty 3,
2 (t 2
6t 6
由 x 得 3)y
2 6ty 6 0, y y ，y y ， ………9 分
y
2 1 1 2 t 2 3 1 2 t 2 3
3
直线 AM y的方程为 y 1 (x 3) y，令 x 1，则 y 1 (1 3)，
x1 3 x1 3
Q(1, (1 3)y 1 )， BQ (1 3, (1 3)y 1 )， ………12 分
x1 3 x1 3
(x 3) (1 3)y 12 1 (1 3)y [(x 3) (1 3)y (1 3)(x 3)y ]x1 3
2 x1 3
2 1 1 2
1
[(ty2 3 3) (1 3)y1 (1 3)(ty1 3 3)y2 ]x1 3
1 [(ty 3 3) (1 2 3 2 3)y ( 3 1)(ty 3 3)y ] (ty y y y )x1 3
1 1 2 x 3 1 2 1 21
2 3 ( 6t 6t 2 2 ) 0， BN // BQ ， B,N ,Q 三点共线. ………17 分x1 3 t 3 t 3
19.（1）解：由题意得 f (x) 1 1 (1 x)( x )， x 0， ………2 分e x
x 0 e x， x 0 1 1， 0，
e x x
令 f (x) 0，则 0 x 1；令 f (x) 0，则 x 1，
f (x)在 (0,1)上单调递减, 在 (1, )上单调递增； ………4 分
f (x) f (1) 1 1 k 0 1， k 1，
e e
1
实数 k的取值范围 ( , 1] . ………6分
e
（2）由（1）得 f (x)在 (0,1)上单调递减, 在 (1, )上单调递增，
f (x1) f (x2 )， 0 x1 1 x2， ………8 分
令 g(x) f (x) f (2 x)，0 x 1，
则 g (x) f (x) f (2 x) (1 1 1 1 1 x)[( x ) ( 2 x )]， ………9 分e x e 2 x
1 1 e xh(x) x 0 h (x) x
2
设 x ， ，则 ，e x x2e x
ex x2 1 x 1 x2 1 x3 x2 1 x[(x 3)2 15 e
x x2
] 0， h (x) 2 x 0，2 6 6 2 4 x e
{#{QQABRYSUogAAAJIAABhCEwFiCEIQkACCAAoGgEAMIAAAyRFABAA=}#}
h(x) 1 1 x 在 (0, )上递增，e x
当0 x 1时，则 h(x) 1 1 1 1 h(2 x)，即 x 2 x ， ………11 分e x e 2 x
g (x) 0， g(x)在 (0,1)上递减， g(x) g(1) 0， ………13 分
g(x1) f (x1) f (2 x1) 0， f (x2) f (x1) f (2 x1)， ………15 分
f (x)在 (1, )上单调递增, x2 2 x1， x1 x2 2. ………17 分
注：以上各题其它解法请酌情赋分.
{#{QQABRYSUogAAAJIAABhCEwFiCEIQkACCAAoGgEAMIAAAyRFABAA=}#}山西省太原市2024年高三年级模拟考试(三)数学试卷
(考试时间: 下午 )
注意事项:
1. 本试卷分第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分, 第 I 卷 1 至 4 页, 第 II 卷 5 至 8 页。
2. 回答第 I 卷前, 考生务必将自己的姓名、考试编号填写在答题卡上。
3. 回答第 1 卷时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号, 写在本试卷上无效。
4. 回答第 II 卷时, 将答案写在答题卡相应位置上, 写在本试卷上无效。
5. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.
1.
A. B. C. -1 D. 1
2. 已知全集 ,则
A. B. C. D.
3. 数据 的第 25 百分位数为
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4.5
4. 的展开式中 的系数为
A. -20 B. 20 C. -30 D. 30
5. 已知 中, 是 的中点,且 ,则 面积的最大值
A. B. C. 1 D. 2
6. 已知函数 的图象关于直线 对称,则函数 的 图象关于
A. 点 对称 B. 点 对称 C. 点 对称 D. 点 对称
7. 已知定义域是 的函数 满足对于任意 都有 , 且 ,则
A. B. C. D.
8. 已知点 分别是椭圆 的左、右焦点, 是 上一点, 的内切圆的圆心 为 ,则椭圆 的标准方程是
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题 目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知曲线 ,则下列结论正确的是
A. 曲线 可能是直线 B. 曲线 可能是圆
C. 曲线 可能是椭圆 D. 曲线 可能是双曲线
10. 已知 是函数 的极值点,若 ,则下列结论 正确的是
A. 的对称中心为 B.
C. D.
11. 已知正方体 中, 是 的中点,点 是线段 上的动点,则下列结论正确的是
A. 三棱雉 的体积为定值
B. 存在点 ,使得 平面
C. 不存在点 ,使得 平面
D. 不存在点 ,使得 平面
山西省太原市 2024 年高三年级模拟考试(三)
数学试卷
第 II 卷(非选择题 共 90 分)
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 抛物线 的焦点坐标为
13. 已知直线 过点 ,且直线 的一个方向向量为 ,则坐标原点 到 直线 的距离为_______
14. 赵爽是我国古代数学家、天文学家, 大约在公元 222 年, 赵爽为《周牌算经》一书作序时, 介绍了 “勾股圆方图”, 亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”, 构造如图所示的图形, 它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的 一个大等边三角形,且 ,点 在 上, ,点 是 内 (含边界)一点,若 ,则 的最大值 为_____.
四、解答题: 本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
已知等比数列 的前 项和为 ,且 也是等比数列.
(1)求 的通项公式;
(2) 若 ,求数列 的前 项和 .
16. (本小题满分 15 分)
为预防季节性流感, 某市防疫部门鼓励居民接种流感疫苗. 为了进一步研究此疫苗的预 防效果, 该防疫部门从市民中随机抽取了 1000 人进行检测, 其中接种疫苗的 700 人中有 570 人未感染流感, 未接种疫苗的 300 人中有 70 人感染流感. 医学统计研究表明, 流感的检测结 果存在错检现象, 即未感染者其检测结果为阳性或感染者其检测结果为阴性. 已知未感染者 其检测结果为阳性的概率为 0.01, 感染者其检测结果为阳性的概率为 0.95 . 将上述频率近似 看成概率.
(1) 根据所给数据,完成以下列联表,并依据 的独立性检验,能否认为接种流感 疫苗与预防流感有关
疫苗 流感 合计
感染 未感染
接种
未接种
合计
(2) 已知某人流感检测结果为阳性, 求此人感染流感的概率 (精确到 0.01 ).
附: ;
0.10 0.05 0.01
x 2.706 3.841 6.635
17. (本小题满分 15 分)
如图,四棱柱 的底面 是平行四边形, 底面 . .
(1) 求证: 平面 平面 ;
(2) 求 ,与平面 所成角的正弦值;
(3) 求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. (本小题满分 17 分)
已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ,点 在 上, 且直线 与 的斜率之和为 .
(1) 求双曲线 的方程;
(2)过点 的直线与 交于 两点 (均异于点 ),直线 与直线 交于点 , 求证: 三点共线.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1) 若 恒成立,求实数 的取值范围;
(2) 设 满足 ,证明: .