广东省东莞高级中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2024高二下·东莞月考）抛物线x2=4y在点（2，1）处的切线的斜率为（ ）
A．－1 B． C． D．1
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，即，则，
可得，可知 抛物线x2=4y在点（2，1）处的切线的斜率为 1.
故答案为：D.
【分析】将 抛物线 方程化为，求导，利用导数求切线斜率.
2．（2024高二下·东莞月考）如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
【答案】D
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：分上、下两条线路，可知：
上线路中有2条，下线路中有条.
所以不同的线路可以有条.
故答案为：D
【分析】分上、下两条线路，结合分类加法计数原理和分类乘法计数原理运算求解.
3．（2024高二下·东莞月考）若，则（ ）
A．－4 B．4 C．2 D．－2
【答案】B
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：因为
，
即.
故答案为：4.
【分析】根据题意结合导数的定义分析求解.
4．（2024高二下·东莞月考）如图所示的是的导函数的图象，下列四个结论，
①在区间上是墙函数； ②足的极小值点；
③的条点为－1和4；④是的极大值点．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③④
【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由的图象可知：
当时，，当时，，
可知在区间上单调递减，在上单调递增，故①正确，②正确；
又因为和是的零点，并不一定是的零点，故③错误
由的单调性可知不是的极大值点，故④错误；
故答案为：A.
【分析】根据的图象判断的单调性和极值，进而逐项分析判断.
5．（2024高二下·东莞月考）若的展开式中含项的系数为10，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为，
且的展开式的通项为，
可知的展开式中含项的系数为，
即，解得或（舍）.
故答案为：B.
【分析】由题意可知：，结合二项展开式可得，运算求解即可.
6．（2024高二下·东莞月考）函数在的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为的定义域为 ，
且，
可知为偶函数，图象关于y轴对称，故C，D错误；
又因为，构建，
则在内恒成立，可知在内单调递增，
则，即在内恒成立，
可知在内单调递增，故A正确，B错误；
故选：A.
【分析】根据函数奇偶性排除CD，再利用导数判断函数单调性，排除B.
7．（2024高二下·东莞月考）某高中安排4名同学（不同姓）到甲、乙、丙3个小区参加垃圾分类宣传活动，若每名同学只去一个小区，每个小区至少安排1名同学，其中张同学不去乙小区，则不同的分配方案种数为（ ）
A．36 B．24 C．48 D．12
【答案】B
【知识点】基本计数原理的应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：张同学单独一组，由于张同学不去乙小区，所以先排张同学共有种，
再将其余三人分成两组共有，再分配到另外两个小区共有，
此种情况共有种；
张同学与其他同学在一组，先排张同学共有种，
其余三人三组全排列共有，此种共有12种，
所以不同的分配方案共有种.
故答案为：B
【分析】分类讨论张同学是否单独一组，结合排列数、组合数分析求解.
8．（2024高二下·东莞月考）已知函数，若对任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：因为， 整理得，
且 ，可知在上单调递增，
由题意可知 ，
当时，则，解得；
当时，则，
因为，，则，
可知在上单调递增，符合题意；
且，解得或，
综上所述： 实数的取值范围是 .
故答案为：A.
【分析】根据题意可知在上单调递增，分和，利用导数结合分段函数单调性分析求解.
二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2024高二下·东莞月考）若m，n为正整数且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】排列数公式的推导；组合数公式的推导
【解析】【解答】解：对于A：因为，故A正确；
对于B：因为 ，即，故B错误；
对于C：因为，故C错误；
对于D：因为
，
所以，故D正确；
故答案为：AD.
【分析】对于AC：根据组合数公式分析判断；对于B：根据排列数、组合数公式分析判断；对于D：根据排列数公式分析判断.
10．（2024高二下·东莞月考）已知函数，则（ ）
A．的值域为 B．存两个极值点
C．有两个零点 D．方程有三个根
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为的定义域为，
且，
当或时，，当时，，
可知在上单调递增，在上单调递减，
则有两个极值点，B正确；
可得，，
且当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于；
由此可作出的图象：
结合图象可知函数的值域为，故A错误；
令，则，解得或，
所以有两个零点，故C正确；
因为，结合图象可知与的图象有3个交点，
所以方程有三个根，D正确，
故答案为：BCD.
【分析】求导，利用导数判断的单调性和极值，作出图象，进而可判断AB；令运算求解，即可判断C；因为，结合图象分析判断D.
11．（2024高二下·东莞月考）已知函数，且关于的方程有3个不相等实数根，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值是 B．在上单调递减
C．的取值范围是 D．的取值范围是
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意可知的定义域为，且，
当时，，当时，，
可知函数在上单调递增，在上单调递减，
则，故A，B均正确；
当趋近于时，趋近于0，当趋近于时，趋近于，
可得的图象如图所示：
令，整理可得，
设方程的两根为，
若是方程的根，则，方程为仅有1根，不合题意；
因为方程有3个不等的根，
所以或，
当时，，解得，所以，不合题意；
当时，有，解得，
所以的取值范围为.故C错误，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对于AB：求导，利用导数判断的单调性和最值；对于CD：令，整理可得，结合的图象结合二次方程的零点分布运算求解.
三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分，请将答案填写在答题卡相应的位置上．
12．（2024高二下·东莞月考）在（2x2+1）6的展开式中，x2的系数为 ．（用数字作答）
【答案】12
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式通项为，
令，解得，可得的系数为.
故答案为：12.
【分析】根据题意结合二项展开式的通项可得，令，运算求解即可.
13．（2024高二下·东莞月考）2023年10月11日，习近平总书记在江西省上饶市考察，他来到婺源县秋口镇王村石门自然村了解推进乡村振兴等情况，其中婺源“晒秋”展开的是一幅乡村振兴新图景。当地百姓不仅要晾晒农产品使其得到更好的保存和售卖，更要考虑晒出独一无二的“中国最美的符号”。当地百姓现将“金色南瓜”“白色扁豆”“红色辣椒”“黄色皇菊”四种农产品全部晒入如图所示的5个小区域中，规定每个区域只能晒一种农产品，且相邻区域的农产品不能相同，则不同的晾晒方案种数为 ．数字作答）
【答案】48
【知识点】基本计数原理的应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：中间区域可从四种农产品中选一种，有种选择，
剩余的4个区域只能选择剩余的3种农产品，可知有1种农产品重复，
将重复的农产品选出，有种选择，
将重复的农产品放入相对的两个区域内晾晒，有种选择，
剩余的农产品放入剩余的两个区域，有种选择，
所以共有种方案.
故答案为：48
【分析】先从中间区域开始，可知剩余的4个区域有1种农产品重复，再排重复的农产品，结合排列数、组合数运算求解.
14．（2024高二下·东莞月考）已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=－1时有极值为0，则= ．
【答案】11
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为，
由题意可得，解得或，
若，则，
可知在R上单调递增，不合题意；
若，则，
当时，，当或时，，
可知在内单调递减，在内单调递增，
则函数在时取得极小值，符合题意；
综上所述：，可得.
故答案为：11．
【分析】求导，根据极值列式求得，并代入检验.
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·东莞月考）已知函数，且．
（1）求曲线在点处的切线方程：
（2）求函数的单调区间．
【答案】（1）解：由题设，则，
所以且，则，
所以点处的切线方程为，即
（2）解：由（1），
当，即或，当，即
故在区间上递增，在区间上单调递减，
所以的增区间为；减区间为
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求导，根据． 可得，进而可得，即可求切线方程；
(2) 求导，利用导数的符号求原函数的单调区间.
16．（2024高二下·东莞月考）已知，展开式中二项式系数的最大值为7m．
（1）求m的值；
（2）求的值（结果可以保留指数形式）．
【答案】（1）解：因展开式中共有8项，最中间两项的二项式系数最大，即和，依题知，解得；
（2）解：由（1）可得，
当时，①，
当时，①，
由①－②：，
即得：
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】 (1) 根据二项式系数最大值可得，运算求解即可；
（2）赋值令和，运算求解即可.
17．（2024高二下·东莞月考）从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，排成一个无重复数字的五位数。求：
（1）共有多少个五位数？
（2）其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？
（3）其中两个偶数不相邻的有多少个？
【答案】（1）解：依题意，从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，共有（种）情况，共有（个）五位数．
（2）解：把选出的偶数捆绑在一起，把选出的奇数也捆绑在一起，再全排列，故其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有（个）．
（3）解：先排3个奇数，2个偶数插空，故其中两个偶数不相邻的共有（个）．
【知识点】基本计数原理的应用；排列与组合的综合
【解析】【分析】 (1) 先选择数字，再进行排列即可，结合排列数运算求解；
(2) 利用捆绑法，结合排列数运算求解；
（3）先排3个奇数，2个偶数插空，结合排列数运算求解.
18．（2024高二下·东莞月考）设函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数的图象总在直线的下方，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
令，解得或．在上单调递增，在上单调递减．
所以函数的单调增区间为，减区间为；
（2）解：法一：函数的图象总在直线的下方，可知，，
当时，在上单调递增，无最大值，故不成立；
当时，令，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故为函数的唯一极大值点，
所以函数的最大值为，
由题意，有，解得，
所以实数的取值范围为．
法二：函数的图象总在直线的下方，可知
即
令，
时，时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，所以实数的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 求导，利用导数求原函数单调区间；
(2) 法一：由题意可知，求导，分和两种情况，结合导数判断单调性和最值，分析求解；根据题意可得，构建，求导，利用导数判断的单调性和最值，即可得结果.
19．（2024高二下·东莞月考）已知函数．
（1）讨论的单调性，
（2）若方程有两个不相等的根，且的导函数为，证明：．
【答案】（1）解：，则，．
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：因为方程有两个不等的根，且，
由（1）知，，
令，则，
所以函数在上单调递增，
所以
，
又在上单调递增，
所以，又，
所以，所以，
又，所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 求导，分和两种情况，利用导数求原函数单调性；
(2) 由题意结合（1）可知：，构建令，利用导数判断原函数单调性，进而可知，结合的单调性 可得，进而可得，即可得结果.
1 / 1广东省东莞高级中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2024高二下·东莞月考）抛物线x2=4y在点（2，1）处的切线的斜率为（ ）
A．－1 B． C． D．1
2．（2024高二下·东莞月考）如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
3．（2024高二下·东莞月考）若，则（ ）
A．－4 B．4 C．2 D．－2
4．（2024高二下·东莞月考）如图所示的是的导函数的图象，下列四个结论，
①在区间上是墙函数； ②足的极小值点；
③的条点为－1和4；④是的极大值点．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③④
5．（2024高二下·东莞月考）若的展开式中含项的系数为10，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2024高二下·东莞月考）函数在的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二下·东莞月考）某高中安排4名同学（不同姓）到甲、乙、丙3个小区参加垃圾分类宣传活动，若每名同学只去一个小区，每个小区至少安排1名同学，其中张同学不去乙小区，则不同的分配方案种数为（ ）
A．36 B．24 C．48 D．12
8．（2024高二下·东莞月考）已知函数，若对任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2024高二下·东莞月考）若m，n为正整数且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·东莞月考）已知函数，则（ ）
A．的值域为 B．存两个极值点
C．有两个零点 D．方程有三个根
11．（2024高二下·东莞月考）已知函数，且关于的方程有3个不相等实数根，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值是 B．在上单调递减
C．的取值范围是 D．的取值范围是
三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分，请将答案填写在答题卡相应的位置上．
12．（2024高二下·东莞月考）在（2x2+1）6的展开式中，x2的系数为 ．（用数字作答）
13．（2024高二下·东莞月考）2023年10月11日，习近平总书记在江西省上饶市考察，他来到婺源县秋口镇王村石门自然村了解推进乡村振兴等情况，其中婺源“晒秋”展开的是一幅乡村振兴新图景。当地百姓不仅要晾晒农产品使其得到更好的保存和售卖，更要考虑晒出独一无二的“中国最美的符号”。当地百姓现将“金色南瓜”“白色扁豆”“红色辣椒”“黄色皇菊”四种农产品全部晒入如图所示的5个小区域中，规定每个区域只能晒一种农产品，且相邻区域的农产品不能相同，则不同的晾晒方案种数为 ．数字作答）
14．（2024高二下·东莞月考）已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=－1时有极值为0，则= ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·东莞月考）已知函数，且．
（1）求曲线在点处的切线方程：
（2）求函数的单调区间．
16．（2024高二下·东莞月考）已知，展开式中二项式系数的最大值为7m．
（1）求m的值；
（2）求的值（结果可以保留指数形式）．
17．（2024高二下·东莞月考）从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，排成一个无重复数字的五位数。求：
（1）共有多少个五位数？
（2）其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？
（3）其中两个偶数不相邻的有多少个？
18．（2024高二下·东莞月考）设函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数的图象总在直线的下方，求实数的取值范围．
19．（2024高二下·东莞月考）已知函数．
（1）讨论的单调性，
（2）若方程有两个不相等的根，且的导函数为，证明：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，即，则，
可得，可知 抛物线x2=4y在点（2，1）处的切线的斜率为 1.
故答案为：D.
【分析】将 抛物线 方程化为，求导，利用导数求切线斜率.
2．【答案】D
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：分上、下两条线路，可知：
上线路中有2条，下线路中有条.
所以不同的线路可以有条.
故答案为：D
【分析】分上、下两条线路，结合分类加法计数原理和分类乘法计数原理运算求解.
3．【答案】B
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：因为
，
即.
故答案为：4.
【分析】根据题意结合导数的定义分析求解.
4．【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由的图象可知：
当时，，当时，，
可知在区间上单调递减，在上单调递增，故①正确，②正确；
又因为和是的零点，并不一定是的零点，故③错误
由的单调性可知不是的极大值点，故④错误；
故答案为：A.
【分析】根据的图象判断的单调性和极值，进而逐项分析判断.
5．【答案】B
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为，
且的展开式的通项为，
可知的展开式中含项的系数为，
即，解得或（舍）.
故答案为：B.
【分析】由题意可知：，结合二项展开式可得，运算求解即可.
6．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为的定义域为 ，
且，
可知为偶函数，图象关于y轴对称，故C，D错误；
又因为，构建，
则在内恒成立，可知在内单调递增，
则，即在内恒成立，
可知在内单调递增，故A正确，B错误；
故选：A.
【分析】根据函数奇偶性排除CD，再利用导数判断函数单调性，排除B.
7．【答案】B
【知识点】基本计数原理的应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：张同学单独一组，由于张同学不去乙小区，所以先排张同学共有种，
再将其余三人分成两组共有，再分配到另外两个小区共有，
此种情况共有种；
张同学与其他同学在一组，先排张同学共有种，
其余三人三组全排列共有，此种共有12种，
所以不同的分配方案共有种.
故答案为：B
【分析】分类讨论张同学是否单独一组，结合排列数、组合数分析求解.
8．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：因为， 整理得，
且 ，可知在上单调递增，
由题意可知 ，
当时，则，解得；
当时，则，
因为，，则，
可知在上单调递增，符合题意；
且，解得或，
综上所述： 实数的取值范围是 .
故答案为：A.
【分析】根据题意可知在上单调递增，分和，利用导数结合分段函数单调性分析求解.
9．【答案】A,D
【知识点】排列数公式的推导；组合数公式的推导
【解析】【解答】解：对于A：因为，故A正确；
对于B：因为 ，即，故B错误；
对于C：因为，故C错误；
对于D：因为
，
所以，故D正确；
故答案为：AD.
【分析】对于AC：根据组合数公式分析判断；对于B：根据排列数、组合数公式分析判断；对于D：根据排列数公式分析判断.
10．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为的定义域为，
且，
当或时，，当时，，
可知在上单调递增，在上单调递减，
则有两个极值点，B正确；
可得，，
且当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于；
由此可作出的图象：
结合图象可知函数的值域为，故A错误；
令，则，解得或，
所以有两个零点，故C正确；
因为，结合图象可知与的图象有3个交点，
所以方程有三个根，D正确，
故答案为：BCD.
【分析】求导，利用导数判断的单调性和极值，作出图象，进而可判断AB；令运算求解，即可判断C；因为，结合图象分析判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意可知的定义域为，且，
当时，，当时，，
可知函数在上单调递增，在上单调递减，
则，故A，B均正确；
当趋近于时，趋近于0，当趋近于时，趋近于，
可得的图象如图所示：
令，整理可得，
设方程的两根为，
若是方程的根，则，方程为仅有1根，不合题意；
因为方程有3个不等的根，
所以或，
当时，，解得，所以，不合题意；
当时，有，解得，
所以的取值范围为.故C错误，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对于AB：求导，利用导数判断的单调性和最值；对于CD：令，整理可得，结合的图象结合二次方程的零点分布运算求解.
12．【答案】12
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式通项为，
令，解得，可得的系数为.
故答案为：12.
【分析】根据题意结合二项展开式的通项可得，令，运算求解即可.
13．【答案】48
【知识点】基本计数原理的应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：中间区域可从四种农产品中选一种，有种选择，
剩余的4个区域只能选择剩余的3种农产品，可知有1种农产品重复，
将重复的农产品选出，有种选择，
将重复的农产品放入相对的两个区域内晾晒，有种选择，
剩余的农产品放入剩余的两个区域，有种选择，
所以共有种方案.
故答案为：48
【分析】先从中间区域开始，可知剩余的4个区域有1种农产品重复，再排重复的农产品，结合排列数、组合数运算求解.
14．【答案】11
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为，
由题意可得，解得或，
若，则，
可知在R上单调递增，不合题意；
若，则，
当时，，当或时，，
可知在内单调递减，在内单调递增，
则函数在时取得极小值，符合题意；
综上所述：，可得.
故答案为：11．
【分析】求导，根据极值列式求得，并代入检验.
15．【答案】（1）解：由题设，则，
所以且，则，
所以点处的切线方程为，即
（2）解：由（1），
当，即或，当，即
故在区间上递增，在区间上单调递减，
所以的增区间为；减区间为
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求导，根据． 可得，进而可得，即可求切线方程；
(2) 求导，利用导数的符号求原函数的单调区间.
16．【答案】（1）解：因展开式中共有8项，最中间两项的二项式系数最大，即和，依题知，解得；
（2）解：由（1）可得，
当时，①，
当时，①，
由①－②：，
即得：
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】 (1) 根据二项式系数最大值可得，运算求解即可；
（2）赋值令和，运算求解即可.
17．【答案】（1）解：依题意，从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，共有（种）情况，共有（个）五位数．
（2）解：把选出的偶数捆绑在一起，把选出的奇数也捆绑在一起，再全排列，故其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有（个）．
（3）解：先排3个奇数，2个偶数插空，故其中两个偶数不相邻的共有（个）．
【知识点】基本计数原理的应用；排列与组合的综合
【解析】【分析】 (1) 先选择数字，再进行排列即可，结合排列数运算求解；
(2) 利用捆绑法，结合排列数运算求解；
（3）先排3个奇数，2个偶数插空，结合排列数运算求解.
18．【答案】（1）解：当时，，
令，解得或．在上单调递增，在上单调递减．
所以函数的单调增区间为，减区间为；
（2）解：法一：函数的图象总在直线的下方，可知，，
当时，在上单调递增，无最大值，故不成立；
当时，令，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故为函数的唯一极大值点，
所以函数的最大值为，
由题意，有，解得，
所以实数的取值范围为．
法二：函数的图象总在直线的下方，可知
即
令，
时，时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，所以实数的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 求导，利用导数求原函数单调区间；
(2) 法一：由题意可知，求导，分和两种情况，结合导数判断单调性和最值，分析求解；根据题意可得，构建，求导，利用导数判断的单调性和最值，即可得结果.
19．【答案】（1）解：，则，．
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：因为方程有两个不等的根，且，
由（1）知，，
令，则，
所以函数在上单调递增，
所以
，
又在上单调递增，
所以，又，
所以，所以，
又，所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 求导，分和两种情况，利用导数求原函数单调性；
(2) 由题意结合（1）可知：，构建令，利用导数判断原函数单调性，进而可知，结合的单调性 可得，进而可得，即可得结果.
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