高二年级 数学参考答案
一、选择题(每小题5分,共60分)
1 2 3 4 5 6 7 8
D C D D B D B A
多项选择题(每题6分,共18分.全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。)
9 10 11
CD ACD ABD
三、填空题(每小题5分,共15分)
12、 -5 13、
14、
三、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.【详解】(1)方案一:选条件①.
设等差数列的公差为.
因为,,
所以,解得
所以.
方案二:选条件②.
设等差数列的公差为.
因为,,所以,解得
所以.
方案三:选条件③.
设等差数列的公差为,所以.
因为,,所以,,
所以,
所以.
(2)由(1)知,
所以
=<
16.【小问1详解】
解:因为,由正弦定理可得,
即,
又因为,所以,
由,可得,所以,
又由,所以.
【小问2详解】
解:由(1)知,所以的面积为,解得,
因为的外接圆半径,
由正弦定理可得,所以,
又由余弦定理得,即
,
解得,所以,
所以的周长为.
17.【小问1详解】
因为,是的中点,所以,
在直角中,,,所以,
在中,,,所以,得,
又平面,平面,所以,
又,,所以平面,
由平面得,
又,所以平面,
由平面得,平面平面.
【小问2详解】
存在点满足条件,
以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,
设,则,,,
,,
设平面的法向量为,
则,令得,
所以平面的一个法向量为,
易知平面的一个法向量为,
由已知得,解得,即,
所以存在点使平面与平面的夹角为,此时.
18.【详解】(1)
∵抛物线的焦点为,
∴椭圆的半焦距为,
又,得,.
∴椭圆的方程为
(2)
证明:由题意可知,直线的斜率存在且不为0,设直线的方程为,
联立,得.
,即,
设,,
则,,
∴,
∴.
∴为定值
19.【详解】(1)由题意,函数定义域为,
当时,恒成立,故的递增区间为;
当时,在区间,时,时,
所以递增区间为,,递减区间为;
当时,在区间,时,时,
所以的递增区间为,,递减区间为;
综上所述,当时, 的递增区间为;
当时,的递增区间为,,递减区间为;
当时,的递增区间为,,递减区间为;
(2)当时,由,只需证明.
令 ,.
设,则.
当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
∴当时,取得唯一的极小值,也是最小值.
的最小值是 成立.
故成立.德宏州民族第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试
数学试卷
考试时间:120分钟 满分:150分
一、单项选择题(共8题,每题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.设集合,,则( )
A. B. C. D.
2. 已知数列的前项和为,且,,则为( )
A. 1024 B. 2096 C. 1023 D. 2095
3. 已知复数满足,则( )
A. B. C.2 D.
4.老师有6本不同的课外书要分给甲 乙 丙三人,其中甲分得2本,乙 丙每人至少分得一本,则不同的分法有( )
A.248种 B.168种 C.360种 D.210种
5.为了解学生每天的体育活动时间,某市教育部门对全市高中学生进行调查,随机抽取1000名学生每天进行体育运动的时间,按照时长(单位:分钟)分成6组:第一组,第二组,第三组,第四组,第五组,第六组.对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图,则下列结论不正确的是( )
A.频率分布直方图中的
B.估计1000名学生每天体育活动时间的第25百分位数为
C.估计1000名学生每天体育活动时间的众数是55
D.估计1000名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数为400
6.函数(其中常数,)的最小正周期是,若其图像向右平移个单位后,所得图像关于原点中心对称,则原函数的图像( )
A.关于点中心对称 B.关于点中心对称
C.关于直线轴对称 D.关于直线轴对称
7. 设是同一个半径为4的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为( )
A. B. C. D.
8. 记函数定义域为,函数,若不等式对恒成立,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(共3题,每题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。)
9. 已知双曲线的焦点分别为,则下列结论正确的是( )
A.渐近线方程为
B.双曲线与椭圆的离心率互为倒数
C.若双曲线上一点满足,则的周长为28
D.若从双曲线的左 右支上任取一点,则这两点的最短距离为6
10. 下列结论正确的是( )
A.直线与直线互相垂直是的必要不充分条件
B.已知直线和圆,若,则直线l被圆O截得的弦长为4
C.已知直线和圆,则圆心C到直线l的最大距离是.
D.已知直线l过定点且与以为端点的线段有交点,则直线l的斜率k的取值范围是.
11.已知在棱长为1的正方体中,点分别是,,的中点,下列结论中正确的是( )
A.平面 B.平面
C.三棱锥的体积为 D.直线与所成的角为
三、填空题(共3题,每题5分,共15分)
12. 的展开式中含项的系数为___________.
13.设抛物线的焦点为F,A为抛物线上第一象限内一点,满足,P为抛物线准线上任一点,则的最小值为__________.
14.已知函数有三个零点,则实数的取值范围为
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. 在① ,,② ,, ③ , 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并作答.已知等差数列的前项和为且_________.(填写序号)
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求证数列的前项和
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
16. 在中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,且满足.
(1)求大小;
(2)若的面积为,其外接圆半径,求的周长.
17. 如图,在三棱锥中,平面,是线段的中点,是线段上一点,,.
(1)证明:平面平面;
(2)是否存在点,使平面与平面的夹角为?若存在,求;若不存在,说明理由.
18.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合,且其离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,两点,线段的中点为,求证:(为坐标原点)为定值.
19. 已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,证明: (其中e为自然对数的底数).