2024年高二下期末考试数学模拟试题一
第Ⅰ卷 选择题（共 58分）
一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．）
1. Cm m 2 2 2 2若 12 C12 ，则C3 C4 Cm的值为（ ）
A. 35 B. 34 C. 56 D. 55
m m 2
【答案】D【详解】因为C12 C12 ，所以m m 2 12 m 7，
C2 C2 C2 C2+C2 C2 C2 3所以 3 4 m 2 3 4 7 1 C8 1 55，故选：D.
2. 若点 P是曲线 y x2 ln x上任意一点，则点 P到直线 y x 4的最小距离为（ ）
A. 2 B. 2 2 C. 2 D. 8
【答案】B【详解】直线 y x 4的斜率 k 1，函数 y x2 ln x定义域为 (0, )，
点 P是曲线 y x2 ln x上任意一点，设 P(x0 , y0 )(x0 0) y 2x
1
，求导得 ，
x
令 y |
1
x x 2x0 1x ，而
x0 0，解得 x0 0 1，此时 y0 1，
0
曲线 y x2 ln x上与直线 y x 4平行的切线的切点为 P(1,1)，
所以曲线 y x2 ln x上点 P到直线 y x 4的最小距离，为点 P(1,1)到直线 y x 4的距
d |1 1 4 |离 2 2 .故选：B
2
3. 已知离散型随机变量 的分布列为
0 1 2 3
4 2
P m n
9 9
若 E( ) 1，则D(3 1) （ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 7
【答案】C【详解】由题意知m n 1 4 2 3 ，
9 9 9
由 E 1 0 m 1 4 2 1 8得 2 3n 1，解得 n ,m ，
9 9 27 27
故D 0 1 2 8 1 1 2 4 2 1 2 2 1 2 3 1 2 ，
27 9 9 27 3
故D 3 1 9D 6，故选：C
4. 已知函数 f (x)及其导数 f (x)，若存在 x0使得 f (x0 ) f (x0 )，则称 x0是 f (x)的一个
“巧值点”．则下列函数中没有“巧值点”的函数是（ ）
A. f (x) x2 B. f (x) e x C. f (x) ln(2x) D. f (x) cos x
【答案】B
【详解】对于 A， f x0 x20 , f x0 2x 20，由 x0 2x 0 ，则 x0 0或x 2，不满足0
题意；
B f x e x0 , f x e x对于 ， 0 ，由 e x0 x00 0 e ，而该方程无解，满足题意；
1
f x 2ln x , f x 1 1 1对于 C， 0 0 0 ，由 2ln x0 ，则 ln 2xx x 0 0，0 0 x0
令 h x ln 2x 1 , x 0 ，则 h x 1 1 2 0，x x x
所以 h x h 1 ln 2 1 0,h 2 ln 4 1 1 1在定义域内单调递增，而 1 0 ，
2 2 2
1
所以 x0 1,2 ，有 h x0 0，即方程 ln 2x0 0x 有解，不满足题意；0
对于 D， f x0 cos x , f x sin x cos x sin x x
3π
0 0 0，由 0 0 ，显然 0 是该方程的4
解，不满足题意. 故选：B.
5．为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积 x（单位：dm2）与水生植物的株数 y（单位：
株）之间的相关关系，收集了 4组数据，用模型 y cekx (c 0)去拟合 x与 y的关系，设
z lny, x与 z的数据如表格所示：得到 x与 z的线性回归方程 z 1.2x a ，则 c （ ）
x 3 4 6 7
z 2 2.5 4.5 7
A． 2 B． 1 C． e 2 D． e 1
【答案】C
3 4 6 7
【详解】由已知可得， x 5， z
2 2.5 4.5 7
4，
4 4
所以，有 4 1.2 5 a ，解得 a 2，所以， z 1.2x 2，
由 z ln y，得 ln y 1.2x 2，所以， y e1.2x 2 e 2 e1.2x，则 c e 2 .故选：C.
6. 质数（prime number）又称素数，一个大于 1的自然数，除了 1和它本身外，不能被其他
自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为 2的两个素数叫做“孪生素数”.在不超过 30
的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件 A “这两个数都是素数”；事件 B “这两个
数不是孪生素数”，则 P(B | A) （ ）
11 37 41 43
A. B. C. D.
15 45 45 45
【答案】C
【详解】不超过 30的自然数有 31个，其中素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29
共 10个，孪生素数有 3和 5，5和 7，11和 13，17和 29，共 4组．
C2 45 C2
所以 P(A)
4 41
10 102 2 ， P(AB) 2 ，C31 C31 C
2
31 C31
41
P AB 2
P B|A C 31 41所以 ．故选：C．P A 45 45
C231
7.若 (2x 1)2024 a0 a1x a x
2
2 a x
2024
2024 (x R)，
1 a2 a3 a则 2 3
2024
2 2 a 2 a 22024
（ ）
1 1 a1
1 1 1 1
A. B. C. D.
4048 2024 4048 2024
【答案】A
【详解】二项式 2x 1 2024展开式的通项为T Crr 1 2024 2x
2024 r 1 r （0 r 2024且
2
r N），令 2024 r 1，解得 r 2023，所以 a C2023 21 1 20231 2024 4048，
2x 1 2024又 a0 a1x a x2 a 20242 2024x x R ，
令 x 0可得 a 1 2024 1 a a a 1，令 x 可得 a 1 2 20240 0 2 2024 0，2 2 2 2
a1 a 2 a 2024
1 a
1 1
a a
2 2024
1
所以 ，所以 2 2024 2 22 22024
，
a1 2 2 2 4048
1 a
2
a
3
a
2024
1
即 2 22a 23a 22024
a 4048 .故选：A1 1 1
8. 2已知函数 f (x) x m与函数 g(x) ln 1 1 x, x [ , 2]的图象上恰有两对关于 x轴对
x 2
称的点，则实数m的取值范围是（ ）
A. (0,2 ln 2] 1B. (0, ln 2]
4
1
C. [ ln 2,2 ln 2) 1D. (ln 2, ln 2]
4 4
【答案】B
【详解】若函数 f x x2 m g x ln 1 1与函数 x, x , 2
的图象上恰有两对关于 xx 2
1
轴对称的点，则 f x g x 对于 x , 2 恰有两个不等式的实根， 2
1
即 x2 1 m ln x 0对于 x
x
, 2 恰有两个不等式的实根， 2
1
可得m x2 ln 1 x x 对于 , 2
恰有两个不等式的实根，x 2
令 h x x2 ln 1 x，
x
则 y m h x x2 1 1与 ln x 两个函数图象在 x , 2
有两个不同的交点，
x 2
2
h x 2x 1 1 2x x 1 2x 1 x 1 ，
x x x
由 h x 0可得1 x 2，由 h x 0 1可得 x 1，
2
所以 h x x2 1 1 ln x 在 ,1 单调递减，在 1,2 单调递增，x 2
所以 h x 图象如图所示：
3
当 x 1时， h 1 1 ln1 1 0，
1 1 1 1 1
当 x 时， h ln 2 ln 2，2 2 4 2 4
2 1
若 y m与 h x x ln 1 x 两个函数图象在 x , 2 有两个不同的交点，x 2
1
由图知0
1
m ln 2 ，所以实数m的取值范围是 0, ln 2 ，故选：B4 4
二、多选题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分）
1
9. 2 n已知 (ax ) (a 0)的展开式中第 5项与第 7项的二项式系数相等，且展开式的各
x
项系数之和为 1024，则下列说法正确的是（ ）
A. a 1 B. 展开式中奇数项的二项式系数和为 256
C. 展开式中第 6项的系数最大 D. 展开式中第 8项为常数项
【答案】AC
4 6
【详解】对于 A，由已知得，Cn Cn，故 n 10，
令 x 1， a 1 10 1024，解得 a 1，故 A正确；
对于 B，由二项式定理可知，展开式中奇数项的二项式系数和为 210 1 29 512，故 B错
误；
对于 C，根据二项式定理可知，展开式的通项为
20 5 k
T Ck (x 2)10 k 1 k k 2k 1 10 ( ) C10x ,k 1,2, ,10 ，x
5
显然，系数最大为C10，即展开式中第 6项的系数最大，故 C正确；
5
D 20 k 0 k = 8 T C8 x0对于 ，当 时，即 时，
2 9 10
45，
所以展开式的第 9项为常数项，故 D错误；
故选：AC．
10. 甲袋子中有 5个黑球，4个白球，乙袋子中有 3个黑球，4个白球．假设这些球除了颜
色外其他都相同，分两次从袋子中取球，第一次先从甲袋子中随机取出一球放入乙袋子，分
别用事件 A1，A2表示由甲袋子取出的球是黑球，白球：第二次再从乙袋子中随机取出两球，
分别用事件M ， N 表示从乙袋子取出的球是“两球都为黑球”，“两球为一黑一白”，则下列
结论中正确的是（ ）
3 5
A. P(M | A1) B. P(N | A2 ) 14 28
4
C. P(A2M )
1
D. P(N ) 5
7 9
【答案】AD
C1 5 C1 4
【详解】由题意得： P A1 51 ， P A2 41 ，C9 9 C9 9
5 C2
4
P MA 2
P M A 1 9 C8 31 ，A正确；P A1 5 14
9
4 C1C1
3 5
2
P N A P NA2 9 C 8 15 ，B错误；2 P A 42 28
9
2
P A2M P A2 P M
4 C 1
32 ，C错误；9 C8 21
P N P A P N A P A P N A 5 4 4 15 5 1 1 2 2 ，D正确.9 7 9 28 9
故选：AD
11. 已知 f (x) x(ex 2)， g(x) (x 2)lnx ，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 g(x)在 (0, )上存在极大值
B. 函数 f (x)没有最值
C. 2若对任意 x e，不等式 f (ax) f ((x 2x)lnx)恒成立，则实数 a的最大值为2 e
f (x ) g(x ) n(n 0) lnn 1D. 若 1 2 ，则 的最大值为x1(x2 2) e
【答案】BCD
2 2 2 1 x 2
【详解】对于 A项，g x 1 +lnx，设h(x) 1 +lnx，则 h (x) 2 2 ，x x x x x
当0 x 2时， h (x) 0，即函数 h(x) g (x)在 (0,2)上单调递减；
当 x 2时， h (x) 0，即函数 h(x) g (x)在 (2, )上单调递增.
故 g (x) g (2) 2 ln 2 0，则 g x x 2 lnx在 (0, )上单调递增，故函数 g x
无极大值，即 A项错误；
对于 B项， f x (x 1)ex 2，令 (x) (x 1)e x 2 ，则 (x) (x 2)e x ，
当 x< 2时， (x) 0，即函数 (x)在 ( , 2)上单调递减；
当 x 2时， (x) 0，即函数 (x) 在 ( 2, )上单调递增.
故 (x) ( 2) 2 1 2 0 ，则函数 f x 在 R上单调递增，故函数 f x 没有最值，即e
B项正确；
对于 C项，由 B项知，函数 f x 在 R上单调递增，
2
于是对任意 x e，不等式 f ax f x 2x lnx 等价于 ax (x2 2x)lnx，
则有，对任意 x e，a (x 2)lnx，
由 A项可得， g x x 2 lnx在[e, )上单调递增，故 g x g(e) 2 e，
则 a 2 e，故实数 a的最大值为 2 e，即 C项正确；
5
对于 D项，若 f x1 g x2 n n 0 x，则 x1(e 1 2) (x2 2) ln x2 n，
(ex即 1 2) ln ex1 (x2 2) ln x2 n，因 n 0，则 x1 0, x2 1，
由 A项得， g x x 2 lnx在[1, )上单调递增，
lnn ln n ln n
于是 x e x1 2 ， x1 > 0，故 x1 x2 2 x1 ex1 2 n ，
令 (n) ln n (n) 1 ln n ，则 ，
n n2
当0 n e时， (n) 0，则函数 (n)在 (0,e)上递增；
当 n e时， (n) 0，则函数 (n)在 (e,+ )上递减，
1 lnn
从而， (n)max (e)
1
,故 x x 2 的最大值为 ，即 D项正确.e 1 2 e
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：本题主要考查函数的极值和参数的最值问题，属于难题.
一般地，已知函数 y f (x), x [a,b],
（1）若 x [a,b]，总有 f (x) k 成立，则 f (x)max k；
（2）若 x [a,b]，总有 f (x) k成立，则 f (x)min k ；
（3）若 x [a,b]，使得 f (x) k 成立，则 f (x)min k ；
（4）若 x [a,b]，使得 f (x) k成立，则 f (x)max k .
第Ⅱ卷 非选择题（共 92分）
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12. 2某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩 X ~ N (90, )，且
P(X 60) 0.1，规定这次测试的数学成绩高于 120分为优秀．若该校有 1200名高三学
生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是______．
【答案】120
【详解】由 X ~ N 90, 2 ，得正态分布曲线的对称轴为 x 90，
因为 P X 60 0.1，所以P X 120 0.1，
则数学成绩为优秀的人数是1200 0.1 120，故答案为：120．
13. 有5位大学生要分配到 A,B,C三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单
位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A单位实习，则这5位学生
实习的不同分配方案有__________种．（用数字作答）
【答案】50
【详解】根据特殊元素“甲同学”分类讨论，
1 3 2 2 2
当A单位只有甲时，其余四人分配到 B,C，不同分配方案有C4C3A2 C4C2 14种；
C1C1 2
A 4 3
C2 3
当 单位不只有甲时，其余四人分配到 A,B,C，不同分配方案有 A
A2 3
36种；
2
合计有50种不同分配方案，
故答案为：50 .
14. 若直线 y 2x为曲线 f (x) eax b的一条切线，则 ab的最大值为__________.
2 ax b ax b
【答案】 2 ## 2e
2【详解】 f x e ，则 f x ae ，
e
ax b ax b
设切点为 x0 , e 0 ，则 f x 00 ae ，
6
y eax0 b则切线方程为 aeax0 b x x ax b0 ，整理可得 y ae 0 x 1 ax eax0 b0 ，
1 ax0 eax0 b 0 1 ax b 1 b
所以 ax ，解得 x ,ae 0 ae 2，
ae 0
b 2 0 a
a 2 2b 2x 2 1 x 所以
e1 b
，所以 ab 1 b ，设 g x 1 x ，则 g x ，e e e1 x
当 x ,1 时， g x 0, g x 单调递增，
当 x (1, )时， g x 0, g x 单调递减，
2 2 2
所以当 x 1时， g x 取得最大值 g 1 2 ，所以 ab的最大值为 2 .故答案为：e e e2
四、解答题（本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤．）
15. x已知函数 f (x) ae 2x 1．
（1）当 a 1时，求曲线 y f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程；
（2）当 x 0时，若曲线 y f (x)在直线 y x的上方，求实数 a的取值范围．
解：【小问 1 详解】
当 a 1 x x时， f x e 2x 1，则 f x e 2，
0
所以切线斜率 k f 0 e 2 1，又因为 f (0) 0，
所以曲线 y f (x)在点 (0,0)处的切线方程为 y x，即 x y 0；
【小问 2 详解】
x 1
由题意可知，当 x 0时， aex 2x 1 x恒成立，即当 x 0时， a x 恒成立，e
设 g(x) x 1 ， x 0, ，则 g x x x 0ex ，e
所以 g(x)在 0, 上单调递减，所以 g(x) g(0) 1，所以 a 1，
即实数 a的取值范围为 1, ．
16.在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行 5局 3胜制．根
3
据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是 ．
5
（1）求中国队以3:0的比分获胜的概率；
（2）求中国队在先失 1局的前提下获胜的概率；
（3）假设全场比赛的局数为随机变量 X ，在韩国队先胜第一局的前提下，求 X 的分布列
和数学期望 E X ．
解：【小问 1 详解】
3
设中国队以3:0 3 27的比分获胜的事件为A，所以概率为： P A .
5 125
【小问 2 详解】
设中国队在先失一局的前提下获胜的事件为 B，
则有 2种情况：
3
3 P 3 27①中国队连胜 局，此时的概率为： 1 ；
5 125
②中国队在 2到 4局中胜 2局，再胜第 5局，
7
2
此时概率为： P 22 C3×
3 3 3 162
1 ；所以 P B
27 162 297
.
5 5 5 625 125 625 625
【小问 3 详解】
2
X 3,4,5 3 4由题意知 ，则 P X 3 1 5
，
25
3
P X 4 C12×
1 3 3 3 3 51
1
5
，
5 5 5 125
3 2 2P X 5 C1× 1 3 3 2 3 3 3 543 1 C3× × 1 ，
5 5 5 5 5 5 125
所以 X 的分布列为：
X 3 4 5
4 51 54
P
25 125 125
所以 X 的数学期望为：
E X 3 4 4 51 5 54 534 .
25 125 125 125
17. 第 40届中国洛阳牡丹文化节以“花开洛阳、青春登场”为主题，紧扣“颠覆性创意、
沉浸式体验、年轻化消费、移动端传播”，组织开展众多文旅项目，取得了喜人的成绩，使
洛阳成为最热门的全国“网红打卡城市”之一．其中“穿汉服免费游园”项目火爆“出
圈”，倍受广大游客喜爱，带火了以“梦里隋唐尽在洛邑”为主的汉服体验活动为了解汉服
体验店广告支出和销售额之间的关系，在洛阳洛邑古城附近抽取 7家汉服体验店，得到了广
告支出与销售额数据如下：
体验店 A B C D E F G
广告支出/万元 3 4 6 8 11 15 16
销售额/万元 6 10 15 17 23 38 45
对进入 G体验店的 400名游客进行统计得知，其中女性游客有 280人，女性游客中体验汉
服的有 180人，男性游客中没有体验汉服的有 80人．
（1）请将下列 2×2列联表补充完整，依据小概率值 0.001的独立性检验，能否认为体
验汉服与性别有关联；
是否体验汉服
性别 合计
体验汉服 没有体验汉服
女 180 280
男 80
合计 400
（2）设广告支出为变量 x（万元），销售额为变量 y（万元），根据统计数据计算相关系数 r，
并据此说明可用线性回归模型拟合 y与 x的关系（若 r 0.75，则线性相关程度很强，可用
线性回归模型拟合）；
8
（3）建立 y关于 x的经验回归方程，并预测广告支出为 18万元时的销售额（精确到 0.1）．
7 7 7
2 2
附：参考数据及公式： xi 727， yi 4648， xi yi 1827， 14 3.74，
i 1 i 1 i 1
10 3.17， 7 2.64，
n
xi yi nx y
相关系数 r i 1n n ，
x2
2 2
i nx y2i ny
i 1 i 1
n
xi yi nx y
在线性回归方程中$y $bx $a中，b i 1n ，$a y $bx．
x2
2
i nx
i 1
2 n ad bc
2
， n a b c d．
a b c d a c b d
0.05 0.01 0.001
x 3.841 6.635 10.828
解：【小问 1 详解】
根据题意，列联表完成如下：
是否体验汉服
性别 合计
体验汉服 没有体验汉服
女 180 100 280
男 40 80 120
合计 220 180 400
假设为H0 ：性别与体验汉服之间无关联.
根据列联表数据，经计算得到
2 400 180 80 100 40
2
32.516 10.828 x ，
280 120 220 180 0.001
根据小概率值 0.001的独立性检验，推断H0 不成立.
即认为体验汉服与性别之间有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001 .
【小问 2 详解】
x 3 4 6 8 11 15 16由数据可知，因为 9，
7
y 6 10 15 17 23 38 45 22，
7
9
i 1
xi yi 7x y
r 7 1827 7 9 22 441
i 1 i 1
x2 7x 2 y2 7y 2 727 7 9
2 4648 7 222 160 1260
i i
7 7
441
0.98，因为0.98 0.75，
120 14
所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合 y与 x的关系.
【小问 3 详解】
i 1
xi yi 7x y
7 441
由数据及公式可得：b i 1 2.8，
x2 7x 2 160i
7
a y b x 22 2.8 9 3.2，
故 y关于 x的经验回归方程为 y 2.8x 3.2，
当 x 18万元时，销售额预计为 y 2.8 18 3.2 47.2万元.
18. 已知函数 f (x) ax 2ln x．
（1）试讨论函数 f (x)的单调性；
（2）a 0时，求 f (x)在[1,e]上的最大值；
（3）当 x 1时，不等式 f (x) (x 2) ln x 2x a 1恒成立，求整数 a的最大值．
解：【小问 1 详解】
由函数 f x ax 2ln x可得 f x a 2 ax 2 x 0 ，
x x
当 a 0时， f x 0恒成立，
所以 f x 的单调递减区间是 0, ；无单调递增区间.
当 a 0时，令 f x 0解得 x 2 ，
a
令 f x 0，解得 x 2 0, ；令 f x 0 x
2
，解得 ,
，
a a
所以 f x 0, 2 2 的单调递减区间是 ；单调递增区间是 , ，
a a
综上所述：当 a 0时， f x 的单调递减区间是 0, ；无单调递增区间，
a 0 f x 当 时， 的单调递减区间是 0,
2 2
；单调递增区间是 ,
.
a a
【小问 2 详解】
a 0 f x 0, 2 2 由（1）知当 时， 在 上单调递减；在 , a a 上单调递增，
当 2 e，即0 a 2 时， f (x)在[1,e]上单调递减，
a e
所以 f x f 1 a，即 f xmax 在 1,e 上的最大值是 a，
2
当 1，即 a 2时， f x 在 1,e 上单调递增，
a
10
所以 f x f e ae 2max ，即 f x 在 1,e 上的最大值是 ae 2，
1 2 2当 e，即 a 2时， f x 2 2 在 1, 上单调递减；在 , e 上单调递增，a e a a
所以最大值可能在 x 1或 x e处取得，
f 1 a， f e ae 2，
当 a ae 2 2，即 a 2 时， f x f 1 a f x 1,e a
e e 1 max
，即 在 上的最大值是 ，
2
当 a ae 2，即 a 2时， f x f e ae 2
e 1 max
，
即 f x 在 1,e 上的最大值是 ae 2，
2
综上所述：当0 a 时， f x 在 1,e 上的最大值是 a；
e 1
a 2当 时， f x 在 1,e 上的最大值是 ae 2 .
e 1
【小问 3 详解】
当 x 1时，不等式 f x x 2 ln x 2x a 1恒成立，
即 ax 2ln x x 2 ln x 2x a 1，即 ax 2ln x x ln x 2ln x 2x a 1，
ax x ln x 2x a 1， a x 1 x ln x 2x 1， a x 1 x ln x 2 x 1 1，
x ln x 2 x 1 1 x ln x 1 x ln x 1a ，即 a 2，令 g x 2，
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
1 ln x x 1 x ln x
g x 1 x ln x 2 2 ， x 1 x 2 2 1 x 1
h x x ln x 2 h x 1 1 x 1令 ， 0，
x x
所以 h x 在区间 1, 上单调递增，因为 h 3 1 ln3 0， h 4 2 ln 4 0，
所以存在唯一一点 x0 3,4 ，使 h x0 0，即 x0 ln x0 2 0，所以 ln x0 x0 2，
所以当 x 1, x0 时，h x 0，即 g x 0，当 x x0 , 时，h x 0，即 g x 0，
所以 g x 在区间 1, x0 上单调递减；在区间 x0 , 上单调递增；
g x g x x0 ln x 1 x x 2
2
所以 0
0 2 0 0 1 x0 1min 2 x 1x0 1 x0 1
， ， ，
x0 1 x0 1 x0 1
0
因为 x0 3,4 ，所以 x0 1 4,5 ，即 g x 4,5min ，
所以 a 4，所以整数 a的最大值是 4.
19. 已知函数 f (x) alnx x 1 （ a为正实数）.
x
（1）讨论函数 f (x)极值点的个数；
（2）若 f (x)有两个不同的极值点 x1, x2 (x1 x2 ) .
（i）证明： f (x1) f (x2 ) 0；
（ii）设 f (x)恰有三个不同的零点 t1, t2 , t3(t1 t2 t3) .若0 m n，且
m(1 lnm) n(1 lnn)，证明：m t1t2t3n e .
11
f x a 1 1 x
2 ax 1
解：（1） , x 0,a 0 ，设 g x x 2 ax 1，
x x2 x2
因为 g x 开口向下， a2 4，所以当 0 a 2时， g x 0恒成立，即 f x 0，
所以 f x 在 0, 上单调递减，无极值点；
2 2 2
a 2 g x 0 x a a 4 a a 4 a a 4当 时，令 ，解得 ，且 1，
2 2 2
f x a a
2 4 2, a a 4
a a2 4
所以 在 上单调递增；在
0,
和
2 2 2
a a 2 4
, 上单调递减；此时 f x 有两个极值点，
2
综上，当0 a 2时， f x 无极值点；当 a 2时， f x 有两个极值点.
（2）（i）证明：由题意及（1）可知 a 2，且 x1x2 1，
1 1 1 1
又因为 f a ln x a ln x x f x ，
x x x x
所以 f x1 f x2 f x1 f
1
0 .
x
1
（ii）证明：由（1）知， a 2， t1 x1 t2 1 x2 t3 ，
由 f t1 f t3 0及（i）知 t1t3 1，所以 t1t2t3 1.
n
若证m t1t2t3n e，即证m n e，不妨设 n mt，则 t 1，m
由m 1 lnm n 1 lnn 得 lnm 1 t ln t ，
t 1
要证m n e，只需证 1 t m e，再两边去对数得 ln 1 t lnm 1，
ln 1 t 1 t ln t ln 1 t 1 ln t即 ，即证 ，
t 1 t t 1
ln 1 s s ln 1 s
令 h s ,s 0, ，则
s h s s 1
，
s2
1 1
再令 p s s ln 1 s ，则 p s 2 0
1 s 1 s 1 s ，
所以 p s 在 0, 内单调递减，
又 p s p 0 0，则 h s 在 0, 单调递减，
由 t 1, 得 t 1 0, ，且 t t 1，
h s h s 1 ln t 1 ln t所以 ，即 ，综上，m t t t n e .
t t 1 1 2 3
12两江中学校2024年高二下期末考试数学模拟试题一
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 若，则的值为（ ）
A. 35 B. 34 C. 56 D. 55
2. 若点是曲线上任意一点，则点到直线最小距离为（ ）
A. B. C. 2 D. 8
3. 已知离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3
若，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 7
4. 已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．则下列函数中没有“巧值点”的函数是（ ）
A. B. C. D.
5．为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设与的数据如表格所示：得到与的线性回归方程，则（ ）
3 4 6 7
2 2.5 4.5 7
A． B． C． D．
6. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”；事件“这两个数不是孪生素数”，则（ ）
A. B. C. D.
7.若，
则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数与函数的图象上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 展开式中奇数项的二项式系数和为256
C. 展开式中第6项的系数最大 D. 展开式中第8项为常数项
10. 甲袋子中有5个黑球，4个白球，乙袋子中有3个黑球，4个白球．假设这些球除了颜色外其他都相同，分两次从袋子中取球，第一次先从甲袋子中随机取出一球放入乙袋子，分别用事件，表示由甲袋子取出的球是黑球，白球：第二次再从乙袋子中随机取出两球，分别用事件，表示从乙袋子取出的球是“两球都为黑球”，“两球为一黑一白”，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数在上存在极大值
B. 函数没有最值
C. 若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为
D. 若，则的最大值为
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是______．
13. 有位大学生要分配到三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这位学生中的甲同学分配在单位实习，则这位学生实习的不同分配方案有__________种．（用数字作答）
14. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，若曲线在直线的上方，求实数的取值范围．
16.在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行5局3胜制．根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是．
（1）求中国队以的比分获胜的概率；
（2）求中国队在先失1局的前提下获胜的概率；
（3）假设全场比赛的局数为随机变量，在韩国队先胜第一局的前提下，求的分布列和数学期望．
17. 第40届中国洛阳牡丹文化节以“花开洛阳、青春登场”为主题，紧扣“颠覆性创意、沉浸式体验、年轻化消费、移动端传播”，组织开展众多文旅项目，取得了喜人的成绩，使洛阳成为最热门的全国“网红打卡城市”之一．其中“穿汉服免费游园”项目火爆“出圈”，倍受广大游客喜爱，带火了以“梦里隋唐尽在洛邑”为主的汉服体验活动为了解汉服体验店广告支出和销售额之间的关系，在洛阳洛邑古城附近抽取7家汉服体验店，得到了广告支出与销售额数据如下：
体验店 A B C D E F G
广告支出/万元 3 4 6 8 11 15 16
销售额/万元 6 10 15 17 23 38 45
对进入G体验店的400名游客进行统计得知，其中女性游客有280人，女性游客中体验汉服的有180人，男性游客中没有体验汉服的有80人．
（1）请将下列2×2列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为体验汉服与性别有关联；
性别 是否体验汉服 合计
体验汉服 没有体验汉服
女 180 280
男 80
合计 400
（2）设广告支出为变量x（万元），销售额为变量y（万元），根据统计数据计算相关系数r，并据此说明可用线性回归模型拟合y与x的关系（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；
（3）建立y关于x的经验回归方程，并预测广告支出为18万元时的销售额（精确到0.1）．
附：参考数据及公式：，，，，，，
相关系数，在线性回归方程中中，，．
，．
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10828
18. 已知函数．
（1）试讨论函数的单调性；
（2）时，求在上的最大值；
（3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值．
19. 已知函数（为正实数）.
（1）讨论函数极值点的个数；
（2）若有两个不同的极值点.
（i）证明：；
（ii）设恰有三个不同的零点.若，且，证明：.
