2024年高二下期末考试数学模拟试题二
第Ⅰ卷 选择题（共 58分）
一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 设函数 f (x)在 x x lim f (x0 x) f (x )0处存在导数为 2，则 0 （ ） x 0 3 x
A. 2 B. 1 C. 2 D. 3
3
【答案】A【详解】由依题意，知 f x0 2，
f x0 x f x0 1 f x0 x f x lim lim 0 1 2则 f x .故选：A.
x 0 3 x 3 x 0 x 3 0 3
2. 在 (1 x)5(2x 1)的展开式中，含 x3项的系数为（ ）
A. 25 B. 5 C. 10 D. 25
【答案】C
(1 x)5 T Ck ( x)k【详解】 的通项为 k 1 5 (k 0,1 5)，
x3 C3( x)3 1 C2 ( x)2 2x 10x3所以，含 的项为 5 5 ，即含 x3项的系数为10 .故选：C.
1
3. f (x) x2已知函数 a ln x x在[1, )上单调递增，则实数 a的取值范围是（ ）
2
A. a 0 B. 0 a 1 C. a 2 D. a 2
【答案】C
a
【详解】由题, f ' x x 1 0 在 1, 上恒成立.即 a x2 x在 1, 上恒成立.
x
又 y x2 x,x 1, ,其导函数 y ' 2x 1 0恒成立.故 y x2 x,x 1, 的最小
值为 y 12 1 2 .故 a 2 .故选：C
4. 某高三班级有校级优秀毕业生 8 人，其中男生 6 人、女生 2人，从这 8 人中随机选取 2
人作为班级代表发言．若选取的第一位是女生，则第二位是男生的概率为（ ）
6 12 3 3
A. B. C. D.
7 13 14 4
【答案】A
【详解】记事件A为“选取的 2人中第一位是女生”，事件 B为“选取的 2人中，1男 1女”，
C1C1 1 C1 1
则 P(A) 2 72 ,P(AB)
2C6 3 P(AB) 6 2 ，所以 P(B | A) P(A) 7 .故选：A.A8 4 A8 14
5. 某市的 5个区县A， B，C，D，E地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域
只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（ ）
A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种
【答案】D
【详解】当 B，E同色时，共有 4 3 2 2 48种不同的染色方案，
当 B，E不同色时，共有 4 3 2 1 1 24种不同的染色方案，
所以共有 72种不同的染色方案.故选：D
6. 丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的
凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数 f (x)在 (a,b)上的导函数为 f (x)，
f (x)在 (a,b)上的导函数为 f (x)，在 (a,b)上 f (x) 0恒成立，则称函数 f (x)在 (a,b)
上为“凹函数”.则下列函数在 (0,2 )上是“凹函数”的是（ ）
A. f (x) x sin x B. f (x) ex x ln x
C. f (x) x ln x D. f (x) x2 sin x
【答案】D
【详解】对 A， f x 1 cos x, f x sin x ，当 x , 2 时， f x 0，所以 A
错误；
1
对 B， f x ex ln x 1， f x ex 1 f 1 ，因为 e e e 0，所以 B错误．；x e
C f 对 ， x 1 1 ， f x 1 2 0，所以 C错误；x x
对 D， f x 2x cos x， f x 2 sin x 0在 0,2 上恒成立，所以 D正确
故选：D．
7. 设0 m 1，且随机变量 X 的分布列是：
X 0 m 1
1 1 1
P
3 3 3
则D(X )的最小值为（ ）
1 1 1
A. 0 B. C. D.6 4 2
【答案】B
1 1 1 1 m
【详解】由分布列得 E X 0 m 1 ，
3 3 3 3
2 2
D X 0 1 m 1 m 1 m 1 1 1 m
2 2
1 2 1 1
则 3
m ，
3 3 3 3 3 9 2 6
1 1
当m 时，D X 取得最小值 .故选：B.
2 6
8. 若 x (1, )时，关于 x的不等式 axa 1 ln x ex 0恒成立，则 a的取值范围为（ ）
1 1 1
A. ( , ] B. ( ,e] C. (0, ] D. ( ,e]
e e e
【答案】B
【解析】
a
【分析】依题意可得 ln xaeln x xex 在 x 1, 上恒成立，设 f (x) xe x，则 f (ln xa ) f (x)
在 (1, )上恒成立，利用导数说明 f x 的单调性，再分a 0和 a 0两种情况讨论，当
a 0时需 ln xa x在 (1, )上恒成立，参变分离可得 a
x
在 (1, )上恒成立，令
ln x
g(x) x ， x (1, )，利用导数求出 g x 的最小值，即可求出参数 a的取值范围.
ln x
【详解】由 axa 1 ln x ex 0在 x 1, 上恒成立，
可得 axa ln x xex 在 x 1, 上恒成立，即 xa ln xa xex 在 x 1, 上恒成立，
即 ln xaeln x
a
xex 在 x 1, 上恒成立，
设 f (x) xe x，则 f (ln xa ) f (x)在 (1, )上恒成立，又 f (x) ex xex (x 1)ex ，
所以当 x 1时 f (x) 0，当 x 1时 f (x) 0，
所以函数 f (x)在 ( , 1)上单调递减，在 (1, )上单调递增，
且当 x 0时， f (x) 0，当 x 0时， f (x) 0，
当 a 0时，由于 x (1, )，则 a ln x 0，
此时 f (a ln x) 0， f (x) 0，满足 f (ln xa ) f (x)在 (1, )上恒成立；
当 a 0时，由于 x (1, )，则 a ln x 0，要使 f (ln xa ) f (x)在 (1, )上恒成立，
x
则需 ln xa x在 (1, )上恒成立，即 a 在 (1, )上恒成立，ln x
g(x) x
ln x 1
设 ， x (1, )，则 g (x)
ln x ln x
2 ，
易知当 x 1,e 时， g (x) 0， g(x)单调递减，当 x (e, )时， g (x) 0， g(x)单调
递增，
所以 g(x)min g e e，则 a e，又 a 0，所以0 a e
综上，实数 a的取值范围为 ,e ．故选：B．
二、多选题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若随机变量 X 服从两点分布， P(X 1) 2P(X 0)，则 P(X 0)
1
3
8
B. 若随机变量 X ~ B(4, 1)，则 P(X 1)
3 81
C. 若随机变量 X N (2， 2)， P(X 4) 0.8，则 P(0 X 2) 0.3
15
D. 若随机变量 X H (8，3，5)，则 P(X 2)
28
【答案】ACD
【详解】A：设 P(X 0) x，因为随机变量 X 服从两点分布，所以
P(X 1) P(X 0) 1，
1
所以 2x x 1 x ，因此本选项说法正确；
3
1 1 1
B 1 3
32
：因为随机变量 X B(4， )，所以P(X 1) C4 ( ) (1 ) ,3 3 3 81
C：因为随机变量 X N (2， 2)，所以 P(X 2) 0.5，
而 P(X 4) 0.8，所以 P(2 X 4) 0.8 0.5 0.3，因此 P(0 X 2) 0.3，
故本选项说法正确；
3 2
D：因为随机变量 X H (8，3，5)，所以 P(X 2)
C5 C 3 155 ，因此本选项说法正确；C8 28
故选：ACD
8
10. 已知 2 x a0 a x a x 2 a x81 2 8 ，则（ ）
A. a0 2
8 B. a1 a2 a8 1
C. a 81 a2 a3 a8 3 D. a1 2a2 3a3 8a8 8
【答案】AD
8
【详解】由 2 x a 20 a1x a2x a8x8，
令 x 0得 a0 2
8
，A选项正确.
令 x 1得 a0 a1 a2 a8 1,a1 a2 a8 1 2
8
，B选项错误.
二项式 2 x 8 r r展开式的通项公式为Cr 8 r8 2 x 1 28 r Cr8 xr，
由此可知 a1,a3 ,a5 ,a7 是负数， a2 ,a4 ,a6 ,a8为正数，
所以令 x= 1得 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a
8
8 3 ，
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 3
8 28 ，
即 a1 a2 a3 a8 3
8 28，C选项错误
2 x 8由 a0 a1x a2x 2 a x88 ，
两边求导得 8 2 x 7 a1 2a2x 3a x23 8a 78x ，
令 x 1得 a1 2a2 3a3 8a8 8，所以 D选项正确.
故选：AD
e
x 2x 111. 设函数 f x ，则（ ）
x
A. f 1 2e
1 1
B. 函数 f x 的图象过点 1, e 的切线方程为 y e
C. 函数 f x 既存在极大值又存在极小值，且其极大值大于其极小值
f x k 0, 1 D. 方程 有两个不等实根，则实数 k的取值范围为 e 4 e,
【答案】AD
【详解】由题意可知 e
x 2x 1 x ex 2x 1 x x
f (x) e2 x x2
(2x 1)(x 1),
x 1
对于 A，由 f (x) e (2x 1)(x 1), 得 f 2 (1)
e
2 (2 1 1)(1 1) 2e ，故 A正确；x 1
1 e x0x
对于 B，设切点为 (x0 , e 0 (2 )),k f (x0 ) 2 (2x 1)(x 1),x 0 00 x0
1 e x0x
切 线 方 程 y e 0 (2 ) 2 (2x0 1)(x0 1)(x x0),
1
代 入 点 1,x x e
， 得
0 0
1 ex (2 1 ) e
x0
0 2 (2 x0 1)( x0 1)( 1 x0) ， 化 简 整 理 得e x0 x0
ex0 (2x3 20 x0 x0 1)
1
x20 0，令 h(x ) e
x0
0 (2x
3
0 x
2
0 x 1)
1
x20 0 ,h( 1) 0,e e
f x 1, 1 1所以函数 在 的切线方程为 y ，
e e
1 1 1
因为 h( ) e 0,h(1) e 0,函数 h(x0 )图象连续不断，2 4e e
1
所以存在 x0 ,1
使得 h(x0 ) 0，
2
1 1, 1 所以过点 的直线与函数 f x 在 ,1 之间存在切点，
e
2
所以过点 1,
1
的切线不止一条，故 B错误；
e
对于 C， f x 的定义域为 ,0 U 0,
ex
令 f (x) 0,即 (2x 1)(x 1) 0，解得 x
1
1,或 x ,
x2 2
当 x , 1 1 ,
时， f (x) 0, x 1,0
0, 1 当 时， f (x) 0,
2 2
所以 f x 1在 , 1 和 ,
1 上单调递增，在 1,0 和 0, 上单调递减.
2 2
e 1 2 1 1
当 x 1,时， f x 1取得极大值为 f 1 ， 1 e
1
e2 2 1 1
x 1 , f x f 1
当 时， 取得极小值为
2
2
1 4 e
，
2
2
1
因为 4 e,所以极大值小于极小值，故 C错误；
e
对于 D，由 C选项知，作出 f x 的图象如图所示
要使方程 f x k 有两个不等实根，只需要 y k 与 f x 有两个交点，由图可知，
k 0,
1
4 e, e
1
所以实数 k的取值范围为 0, 4 e, .故 D正确.故选：AD.
e
第Ⅱ卷 非选择题（共 92分）
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
m
12. 设 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 为 P(X k) (k 1,2,3,4,5) ， 则
k(k 1)
P(3 7 x ) _____．
2 2
3
【答案】
10
m
【详解】∵随机变量 X的概率分布为 P(X k) (k 1,2,3,4,5) ，
k(k 1)
∴
P(X 1) P(X 2) P(X 3) P(X 4) P(X 5) m 1 1 1 1 1
1
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
，
m 6解得： ，
5
3 7
∴ P( X ) P(X 2) P(X 3)
6 1 1 3 3
2 2 5
．故答案为： ．
2 3 3 4 10 10
13. 用模型 y aebx拟合一组数据组 xi , yi i 1,2, ,7 ，其中 x1 x2 x7 6 .设
z lny，变换后的线性回归方程为 z x 5，则 y1y2 y7 _________.
【答案】 e41
【详解】因为线性回归方程为 z x 5恒过 x, z ，
因为 x1 x x 6
x x x
，所以 x 1 2 7 62 7 ， z
6
x 5 5 41 ，
7 7 7 7
z ln y1 ln y2 ... ln y7
ln y1y2...y7 41即 ，
7 7 7
41
所以 ln y1y2 y7 41，即 y1y2 y e .故答案为： e417
14. 若直线 y kx b是曲线 y ln x 2的切线，也是曲线 y ex的切线，则
b ___________．
【答案】0或 1
【详解】直线与 y ln x 2的切点为 x ,y ，与 y ex1 1 的切点 x ,y2 2 ．
1 ex2 ex2 ln x1 2 1 1 故 且 x ，消去x 得到 1 ln x1 1 0，x x 21 2 1 x1 x1
1
1 x x 1
故 x1 或 x1 1
1 1
，故 e 或 ，故切线为 y ex或 y x 1，所以b 0或者e y 1 y1 2 1
b 1．填 0或1．
四、解答题（本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤．）
15．（2023春·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）对飞机进行射击，按照受损伤影响
的不同，飞机的机身可分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个部分.要击落飞机，必须在Ⅰ部分命中一次，或
1
在Ⅱ部分命中两次，或在Ⅲ部分命中三次.设炮弹击落飞机时，命中Ⅰ部分的概率是 ，命
6
1 1
中Ⅱ部分的概率是 ，命中Ⅲ部分的概率是 2 ，射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均3
击中飞机，且每次射击相互独立.
(1)求恰好在第二次射击后击落飞机的概率；
(2)求击落飞机的命中次数 X 的分布列、数学期望和方差.
【详解】（1）设恰好在第二次射击后击落飞机为事件 A，满足事件 A的情况有连续命中Ⅱ部
分两次，或者第一次击中Ⅱ部分或Ⅲ部分，第二次命中Ⅰ部分，
P(A) 5 1 1 1则 ( ) 2 .
6 6 3 4
（2）依题意， X 的可能取值为 1，2，3，4，
P(X 1) 1 ，P(X
1
2) ，
6 4
P(X 3) C1 1 1 (1 1 2 ) (
1
)2 (1 1 ) 1 ， P(X 4) C1
1
3 (
1) 2 1 1 ，
3 2 6 3 2 6 2 3 3 2 4
所以 X 的分布列为：
X 1 2 3 4
1 1 1 1
P
6 4 3 4
X 的数学期望 E X 1 1 1 1 8 1 2 3 4 .
6 4 3 4 3
X 2 1 4 9 16
1 1 1 1
P
6 4 3 4
E X 2 1 1 4 1 1 9 16 1 49
6 4 3 4 6
D(X ) E X 2 (E(X ))2 49 64 19X 的方差
6 9 18
16．（2023秋·四川绵阳·高二统考期末）如图是某采矿厂的污水排放量 y（单位：吨）与矿
产品年产量 x（单位：吨）的折线图：
(1)依据折线图计算 x， y的相关系数 r，并据此判断是否可用线性回归模型拟合 y与 x的关
系 （若 r 0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
(2)若可用线性回归模型拟合 y与 x的关系，请建立 y关于 x的线性回归方程，并预测年产量
为 20吨时的污水排放量.
n
xi x yi y
r i 1相关公式： n 2 n 2
xi x yi y
i 1 i 1
n
xi x yi y
回归方程$y $bx $a中，b i 1 ，$ $n 2 a y bx .
xi x
i 1
x 1 2 3 4 5 3 y 3 7 9 10 11【详解】（1） ， 8，
5 5
5
2
5 2 5
因为 xi x 10， yi y 40， xi x yi y 19，
i 1 i 1 i 1
5
xi x yi y
所以 r
i 1 19 19 0.95 0.75
5 2 5 2
10 40
20 ，
xi x yi y
i 1 i 1
所以可用线性回归模型拟合 y与 x的关系.
5
xi x yi y
2 b i 1
19
（ ）∵ 2 1.95 10 ，
xi x
i 1
x 1 1 2 1 3 4 5 3， y 3 7 9 10 11 8，5 5
∴ a 8 1.9 3 2.3 .∴ y关于 x的线性回归方程为 y 1.9x 2.3，
将 x = 20代入线性回归方程可得， y 1.9 20 2.3 40.3，
∴当年产量为 20（吨）时，污水排放量为 40.3（吨）.
17. f x x3 a 2 x2已知函数 bx a2．
（1）当 a b 1时，求曲线 y f x 在 1, f 1 处的切线方程；
（2）若函数 y f x 在 x= 1处有极值为 2时：
①求 a b的值；
②若 f x 的导函数为 f x ，讨论方程 f x 2x
2
e
x t的零点的个数．
解：【小问 1详解】
2
由题知定义域为R， f x 3x 2 a 2 x b，
当 a b 1时， f x x3 x2 x 1， f x 3x2 2x 1
f 1 4， f 1 0 切线方程为 y 0 4 x 1 即4x y 4 0；
【小问 2详解】
f 1 1 a 2 b a2 2 a 2 a 1
①由题意得 ，解得 或 ，
f 1 3 2 a 2 b 0
b 3
b 3
令 f x 3x2 2 a 2 x b 0，
a 2
当 时，Δ 4 a 2 2 12b 36 0，符合题意；
b 3
a 1
当 时，Δ 0，此时 f x 3 x 1 2 0恒成立，不符合题意，
b 3
故 a b 2 ( 3) 1．
a 2
②由①得 f x x3 3x 4 f x 3x2 3
b 3
设 g x f x 2x
2
e
x x2 3 ex
则 g x 2xex x2 3 ex x2 2x 3 ex x 3 x 1 ex
令 g x 0，得 x 3或 x 1
当 x , 3 和 x 1, 时， g x 0， g x 单调递增；
在 x 3,1 时， g x 0， g x 单调递减.
g x 6 g 3 g x g 1 2e
极大 e3
， ,
极小
又 x 时， g x 0 ； x 时， g x ，如图所示.
所以，当 t 2e 2 x时，方程 f x 2x e t没有零点；
6
当 t 2e或 t 时，方程 f x 2x
2
e
x t
3 有一个零点；e
当 t 6 3 或 2e t 0时，方程 f x 2x
2 x e t有两个零点；e
6 2 x
当0 t 时，方程 f x 2x e t有三个零点．
e3
18. 陶瓷历史已逾千年，始于春秋，兴于辽金，盛于明清.目前某省有 53家陶瓷企业，某陶
瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧
制合格后才可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第
3 7 3
一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 ， ， ，经过第二次烧制后，甲、
5 8 4
5 4 2
乙、丙三件产品合格概率依次为 ， ， .
6 7 3
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，如果陶瓷合格则可以上市销售，每件陶器可获利 100元；如果
陶器不能合格，则每件陶器亏损 80元，求这 3件陶器最终盈亏Y 的分布列和数学期望.
（3）A，B，C三位学徒跟师傅学习制作某种陶器，经过一段时间的学习后，他们各自能
制作成功该陶器的概率分别为 p1， p2， p3，且0 p3 p2 p1 1，现需要他们三人制
作一件该陶器，每次只有一个人制作且每个人只制作一次，如果有一个人制作失败则换下一
2
个人重新制作，若陶器制作成功则结束.按A， B，C的顺序制作陶器，若 p1p2 ，9
p 2 1 ,1 ，求制作陶器人数 X 的数学期望的最大值. 3
解：【小问 1详解】
分别记甲 乙 丙经第一次烧制后合格的事件分别为 A1, A2 , A3，
设 E表示第一次烧制后恰有一件产品合格的事件，则
P(E) P(A1A2A3) P(A1A2A3) P(A1A2A3)
3 (1 7) (1 3 ) (1 3 ) 7 (1 3 ) (1 3 ) (1 7 3 23 ) ；
5 8 4 5 8 4 5 8 4 160
【小问 2详解】
分别记甲 乙 丙三件产品经过两次烧制后合格的为事件 A,B,C，
则 P A 3 5 7 4 0.5， P B 0.5，P C 3 2 0.5 .
5 6 8 7 4 3
设经过两轮烧制后合格品的件数为 ，则 B(3,0.5)，
由题意Y 100 80 (3 ) 180 240，即Y 的可能取值为 240, 60,120,300，
由于 P( 0) (1 0.5)3 1 ； P( 1) C1 33 0.5 (1 0.5)
2 ；
8 8
P 2 C23 0.52 1 0.5
3
P 3 0.53 1， .
8 8
P(Y 1 3 3 1所以 240) ；P(Y 60) ； P(Y 120) ， P(Y 300) ，
8 8 8 8
所以随机变量Y 的分布列为
Y 240 60 120 300
1 3 3 1
P
8 8 8 8
故随机变量Y 的数学期望 E(Y ) 180E( ) 240 180 3 0.5 240 30，
【小问 3详解】
由题意，制作陶器人数 X 的可能值为 1，2，3.
于是 P X 1 p1， P X 2 1 p1 p2， P X 3 1 p1 (1 p2 )，
则随机变量 X的分布列为
X 1 2 3
P p1 1 p1 p2 1 p1 (1 p2 )
所以 E(X ) p1 2 1 p1 p2 3 1 p1 1 p2 3 2p1 p2 p1p2，
2
又 p1p2 ，则 E(X ) 3 2p
29 2
1 p2 p1p2 2p1 ，9 9 9p
1
h x 2x 2 , x 2设 2
9x
,1 ， h x 2
3 9x2
0，
所以 h x 2在 ,1
2 5
上单调递增，则h x h ，
3 min 3 3
所以 E X 29 h 2 14
2 14
，所以当 p1 时， E X 的最大值为 .9 3 9 3 9
19. 已知函数 f (x) x ln x ax a．
（1）若 a (1, )，求函数 f (x)在[1,e]上的最小值；
（2）若 g(x) x2 f (x)，当 x (1, )时， g(x) 0恒成立，求整数 a的最小值．
（参考数据 ln2 0.7, ln3 1.1）
解：【详解】（1） f ' x lnx 1 a(x 0)，
令 f ' x 0则 x ea 1， a 1 x ea 1 1，
①当1 a 2时 1 ea 1 e，
当1 x ea 1时 f x 0， 当 ea 1 x e时 f x 0，
f x 1,ea 1 ea 1在 上递减 ，在 ,e 上递增，
f x f ea 1 ea 1 amin
②当 a 2时，则 ea 1 e，
f ' x 0对一切1 x e恒成立， f x 在 1,e 上递减，
fmin x f e e ae a
综上：当1 a 2 f a 1 a 1时 min x f e e a；
当 a 2时 fmin x f e e ae a
g x x2（2） xlnx ax a 0对一切 x 1恒成立
a xlnx x
2
对一切 x 1恒成立
x 1
2 2
h x xlnx x (x 1) h x x 3x lnx 1令 (x 1)
x 1 x 2 1
x x2 3x lnx 1(x 1) 2x 1 x 1令 x (x 1)
x
当 x 1时， x 0 x 在 1, 上递减
1 =1 0, 2 1 9 11 9又（） ln2 0, ln 0
4 16 4
x 9 2, 0 使得 （x0 ) 0，即 h x 24 0 0此时 lnx0 x0 3x 0
1
当1 x x0 时 h ' x 0，当 x x0时 h x 0
h x 在 1, x0 上递增 在 x0 , 上递减
3 2
h x h x x0 2x0 x0max 0 x x 1 x0 1 0 0
又 2 x 9 450 h x0 2，4 16
又 a Z amin 2 .
2
另解: g x x xlnx ax a 0对一切 x 1恒成立.
取 x e则 e2 e ae a 0 a e，
又 a Z ，取 a 2，此时 g x x2 xlnx 2x 2，
令 h x x lnx 2 2(x 1)，
x
2
h ' x x x 2
x 2 x 1
(x 1) ，
x2 x2
当1 x 2时h ' x 0，当 x 2时 h ' x 0，
h x 在 1,2 上递减，在（2，+ ）上递增， hmin x h 2 1 ln2 0，
h x x lnx 2 2 0对一切x 1恒成立，
x
又 x 1 2， 当a 2时，g x x xlnx 2x 2 0恒成立，
故 amin 2 .两江中学校2024年高二下期末考试数学模拟试题二
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 设函数在处存在导数为2，则（ ）
A. B. C. D. 3
2. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 在的展开式中，含项的系数为（ ）
A. B. C. D.
4. 某高三班级有校级优秀毕业生8人，其中男生6人、女生2人，从这8人中随机选取2人作为班级代表发言．若选取的第一位是女生，则第二位是男生的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（ ）
A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种
6. 丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（ ）
A. B. C. D.
7. 设，且随机变量的分布列是：
0 1
则的最小值为（ ）
A 0 B. C. D.
8. 若时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若随机变量服从两点分布，，则
B. 若随机变量，则
C. 若随机变量，，则
D. 若随机变量，则
10. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 设函数，则（ ）
A.
B. 函数的图象过点的切线方程为
C. 函数既存在极大值又存在极小值，且其极大值大于其极小值
D. 方程有两个不等实根，则实数的取值范围为
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设随机变量X的概率分布为，则_____．
13. 用模型拟合一组数据组，其中.设，变换后的线性回归方程为，则_________.
14. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则___________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个部分.要击落飞机，必须在Ⅰ部分命中一次，或在Ⅱ部分命中两次，或在Ⅲ部分命中三次.设炮弹击落飞机时，命中Ⅰ部分的概率是，命中Ⅱ部分的概率是，命中Ⅲ部分的概率是，射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立.
(1)求恰好在第二次射击后击落飞机的概率；
(2)求击落飞机的命中次数的分布列、数学期望和方差.
16. 如图是某采矿厂的污水排放量（单位：吨）与矿产品年产量（单位：吨）的折线图：
(1)依据折线图计算，的相关系数，并据此判断是否可用线性回归模型拟合与的关系 （若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
(2)若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测年产量为20吨时的污水排放量.
相关公式：，回归方程中，，.
17. 已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数在处有极值为时：
①求的值；
②若的导函数为，讨论方程的零点的个数．
18. 陶瓷历史已逾千年，始于春秋，兴于辽金，盛于明清.目前某省有53家陶瓷企业，某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后才可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为，，.
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，如果陶瓷合格则可以上市销售，每件陶器可获利100元；如果陶器不能合格，则每件陶器亏损80元，求这3件陶器最终盈亏的分布列和数学期望.
（3）三位学徒跟师傅学习制作某种陶器，经过一段时间的学习后，他们各自能制作成功该陶器的概率分别为，，，且，现需要他们三人制作一件该陶器，每次只有一个人制作且每个人只制作一次，如果有一个人制作失败则换下一个人重新制作，若陶器制作成功则结束.按的顺序制作陶器，若，，求制作陶器人数的数学期望的最大值.
19. 已知函数．
（1）若，求函数在上的最小值；
（2）若，当时，恒成立，求整数的最小值．
（参考数据）
