第40讲 与圆有关的计算与证明题 课件(共74张ppt) 2024年中考数学总复习专题突破

复习讲义
第二篇 专题突破
第十部分 解答题重难类型
第40讲 与圆有关的计算与证明题
类型一 圆与全等三角形问题
当关于圆的题目中图形较复杂（如含三角形、四边形等），需要
求线段长度或证明线段、角度相等时，通常会出现全等三角形，因此
可得相等的边、相等的角，为解题提供条件.解题时，要注意切线长定
理的应用.
典题精析
图1
例1 （2022·南京）如图1，在 △???????????? 中， ????????=???????? ，
点 ???? ， ???? 在 ???????? 上， ????????=???????? ．过 ???? ， ???? ， ???? 三点作
⊙???? ，连接 ???????? 并延长，交 ???????? 于点 ???? ．
?
（1）求证： ????????⊥???????? .
?
思路点拨 已知 ????????=???????? ，只要证明 ????????=???????? ，就可得到点 ???? ， ???? 在 ????????
的垂直平分线上，即 ????????⊥???????? .根据条件可以证明 △????????????≌△???????????? ，从
而得到 ????????= ???????? .
?
图128
证明：如图128，连接 ???????? ， ???????? ， ???????? ， ????????.
∵ ????????=???????? ， ∴ ∠????=∠???? .
在 △???????????? 和 △???????????? 中， &????????=????????，&∠????=∠????，&??????????=????????，?∴ △????????????≌△????????????SAS.
∴ ????????=???????? .
又 ∵ ????????=???????? ， ∴ ???????? 垂直平分 ???????? ，即 ????????⊥???????? .
?
（2）若 ????????=10 ， ????????=12 ， ????????=2 ，求 ⊙???? 的半径．
?
图1
思路点拨 由（1）知 ????????⊥???????? ，因此可在 Rt△????????????
中利用勾股定理列方程求解.
?
解： ∵ ????????=???????? ， ????????⊥???????? ， ∴ ????????=????????=12????????=6.
∴ ????????=????????2?????????2=102?62=8.
∵ ????????=2 ， ∴ ????????=4 .
设 ????????=????????=???? ，则 ????????=?????????????????=8?????.
∵ ????????2=????????2+????????2 ， ∴ ????2=8?????2+42.
∴ ????=5.∴ ⊙???? 的半径为5．
?
针对训练
图2
1.（2022·衡阳）如图2， ???????? 为 ⊙???? 的直径，过圆上一
点 ???? 作 ⊙???? 的切线 ???????? 交 ???????? 的延长线于点 ???? ，过点 ????
作 ????????//???????? 交 ???????? 于点 ???? ，连接 ???????? ．
?
（1）直线 ???????? 与 ⊙???? 相切吗？请说明理由.
?
图129
解：直线 ???????? 与 ⊙???? 相切.
理由如下：如图129，连接 ????????.
∵ ???????? 与 ⊙???? 相切于点 ???? ， ∴ ∠????????????=90? .
∵ ????????//???????? ， ∴ ∠????????????=∠???????????? ， ∠????????????=∠????????????.
∵ ????????=???????? ， ∴ ∠????????????=∠????????????.
∴ ∠????????????=∠???????????? .
又 ∵ ????????=???????? ， ????????=???????? ， ∴ △????????????≌????????????SAS.
∴ ∠????????????=∠????????????=90? .
∵ ???????? 是 ⊙???? 的半径， ∴ 直线 ???????? 与 ⊙???? 相切.
?
图2
（2）若 ????????=2 ， ????????=4 ，求 ???????? 的长．
?
解：设 ⊙???? 的半径为 ???? .
在 Rt△???????????? 中， ????????2+????????2=????????2 ， ∴ ????2+42=????+22.
∴ ????=3.
∴ ????????=2????=6.
∴ ????????=????????+????????=2+6=8 .
由（1）得， △????????????≌△???????????? ， ∴ ????????=???????? .
在 Rt△???????????? 中， ????????2+????????2=????????2 ， ∴ 82+????????2=4+????????2.
∴ 64+????????2=4+????????2.
∴ ????????=6 .
?
图3
2.（2022·鄂尔多斯）如图3，以 ???????? 为直径的
⊙???? 与 △???????????? 的边 ???????? 相切于点 ???? ，且与 ???????? 边
交于点 ???? ，点 ???? 为 ???????? 的中点，连接 ???????? ， ???????? ，
???????? .
?
（1）求证： ???????? 是 ⊙???? 的切线.
?
图130
证明：如图130，连接 ????????.
∵ ???????? 与 ⊙???? 相切于点 ???? ， ∴ ∠????????????=90? .
∵ ???????? 为 ⊙???? 的直径， ∴ ∠????????????=∠????????????=90? .
∵ ???? 是 ???????? 的中点， ∴ ????????=????????=????????=12???????? .
在 △???????????? 和 △???????????? 中， ∵ ????????=???????? ， ????????=???????? ， ????????=???????? ， ∴ △????????????≌△????????????SSS.
∴ ∠????????????=∠????????????=90? .
∴ ????????⊥????????.
∵ 点 ???? 在 ⊙???? 上， ∴ ???????? 是 ⊙???? 的切线.
?
图3
（2）若 ????????=5 ， cos?∠????????????=45 ，求 ???????? 的长.
?
解： ∵ ∠????????????=90? ， ∴ ∠????????????+∠????????????=90? .
由（1）知， ????????=2????????=10 ， ∠????????????=90? ，
∴ ∠????+∠????????????=90? .
∴ ∠????=∠????????????.
∴ cos??????=cos??∠????????????=45 .
∴ 在 Rt△???????????? 中，????????=????????cos?????=1045=252 .
∵ ????????=???????? ， ????????=???????? ， ∴ ????????=12????????=254 .
?
类型二 圆与相似三角形问题
由于圆中很容易找到直角或其他相等的角，因此对于圆中判定三
角形相似的问题，通常用证明“两角相等”来解决.利用相似三角形的对
应边成比例和圆的半径相等，可实现线段之间的转化，为解题提供条
件.因此，当题目要求线段的长、线段的比值，或要证明线段间的数量
关系时，通常可以利用圆的性质构造相似三角形解决.
典题精析
图4
例2 （2023·无锡）如图4， ???????? 是 ⊙???? 的直径， ????????
为 ⊙???? 的切线， ???????? 与 ???????? 相交于点 ???? ， ????????//???????? ，
交 ???????? 的延长线于点 ???? ， ????????=???????? .
?
（1）求 ∠???? 的度数.
?
思路点拨 已知 △???????????? 是等腰三角形，因此求出 ∠???????????? ，就可求出 ∠???? .
已知 ???????? 为 ⊙???? 的切线， ????????//???????? ，则可知 ∠????????????=90? ，因此利用圆
周角定理，可求 ∠???????????? .
?
图131
解：如图131，连接 ????????.
∵ ???????? 为 ⊙???? 的切线， ∴ ∠????????????=90? .
∵ ????????//???????? ， ∴ ∠????????????=180??∠????????????=90? .
∴ ∠????????????=12∠????????????=45? .
又 ∵ ????????=???????? ， ∴ ∠????=∠????????????=180??45?2=67.5? .
?
图4
（2）若 ?????????????????=8 ，求 ⊙???? 的半径．
?
思路点拨 只要证明 △????????????∽△???????????? ，就可根据对应边成比例和已知等式得出 ????????2 的值.然后在 Rt△???????????? 中利用勾股定理列方程，就可求出 ⊙???? 的半径.
?
图4
解：∵ ????????=???????? ， ∠????????????=90? ， ∴ ∠????????????=45? .
∵ ∠????????????=45? ， ∴ ∠????????????=∠???????????? .
又 ∵ ∠????????????=∠???????????? ， ∴ △????????????∽△????????????.
∴ ????????????????=???????????????? .
∴ ????????2=?????????????????=8 .
又 ∵ ????????>0 ， ∴ ????????=22 .
∵ ????????2+????????2=2????????2=????????2=8 ， ????????>0 ， ∴ ????????=2 ，即 ⊙???? 的半径为2．
?
针对训练
图5
3.如图5， ???????? 是 ⊙???? 的直径，点 ???? 是 ⊙???? 上异于
???? ， ???? 的点，连接 ???????? ， ???????? ，点 ???? 在 ???????? 的延长线
上，且 ∠????????????=∠???????????? ，点 ???? 在 ???????? 的延长线上，
且 ????????⊥???????? .
?
（1）求证： ???????? 是 ⊙???? 的切线.
?
图5
图132
证明:如图132，连接 ????????.
∵ ????????=???????? ， ∴ ∠????????????=∠???????????? .
又 ∵ ∠????????????=∠???????????? ， ∴ ∠????????????=∠???????????? .
又 ∵ ???????? 是 ⊙???? 的直径， ∴ ∠????????????=90? .
∴ ∠????????????+∠????????????=90? .
∴ ∠????????????+∠????????????=90? ，即 ∠????????????=90? .
∴ ????????⊥???????? .
又 ∵ ???????? 是 ⊙???? 的半径， ∴ ???????? 是 ⊙???? 的切线.
?
图5
（2）若 ????????????????=23 ， ????????=3 ，求 ???????? 的长．
?
解: ∵ ????????????????=23 ，且 ????????=???????? ， ∴ 设 ????????=????????=2???? ，则 ????????=3????.
∴ ????????=????????+????????=5????.
∴ ????????????????=35 .
又 ∵ ????????⊥???????? ， ????????⊥???????? ， ∴ ????????//????????.
∴ △????????????∽△????????????.
∴ ????????????????=????????????????=35 .
又 ∵ ????????=3 ， ∴ ????????=95 . ∴ 2????=95 . ∴ ????=910 .
∴ ????????=?????????????????=????=910 ，即 ???????? 的长为 910．
?
图6
4.（2023·营口）如图6，在 △???????????? 中， ????????=???????? ，
以 ???????? 为直径作 ⊙???? 与 ???????? 交于点 ???? ，过点 ???? 作
????????⊥???????? ，交 ???????? 延长线于点 ???? ，垂足为点 ???? ．
?
（1）求证： ???????? 为 ⊙???? 的切线.
?
图133
证明：如图133，连接 ???????? ， ????????.
∵ ???????? 是 ⊙???? 的直径， ∴ ∠????????????=90? ，即 ????????⊥???????? .
又 ∵ ????????=???????? ， ∴ ????????=???????? .
又 ∵ ????????=???????? ， ∴ ???????? 是 △???????????? 的中位线.
∴ ????????//????????.∵ ????????⊥???????? ， ∴ ????????⊥????????.
∵ ???????? 是 ⊙???? 的半径， ∴ ???????? 是 ⊙???? 的切线.
?
（2）若 ????????=3 ， cos?????=45 ，求 ???????? 的长．
?
图6
解：在 Rt△???????????? 中， cos?????=????????????????=45 ，可设
????????=4???? ，则 ????????=5???? ， ∴ ????????=????????2?????????2=3????.
∵ ????????=???????? ， ????????⊥???????? ， ∴ ∠????????????=∠???????????? .
又 ∵ ∠????????????=∠????????????=90? ， ∴ △????????????∽△????????????.
∴ ????????????????=???????????????? ，即 33????=3????5???? .
解得 ????=53 .经检验， ????=53 是原方程的解.
∴ ????????=5????=253 .
?
∴ ????????=12????????=256 .
∵ ????????//???????? ， ∴ △????????????∽△????????????.
∴ ????????????????=???????????????? ，即 3256=????????????????+256 .
解得 ????????=757 ．
?
图6
类型三 圆与锐角三角函数问题
对于圆与锐角三角函数的压轴题，一般还综合了相似三角形的性
质与判定、勾股定理、圆周角定理、切线的性质与判定等.当求一个角
的三角函数时，需要把这个角转化到直角三角形中求解.注意适当地添
加辅助线是解题的关键.
典题精析
图7
例3 （2023·扬州）如图7，在 △???????????? 中，
∠????????????=90? ，点 ???? 是 ???????? 上一点，且 ∠????????????=12∠???? ，
点 ???? 在 ???????? 上，以点 ???? 为圆心的圆经过 ???? ， ???? 两点．
?
（1）试判断直线 ???????? 与 ⊙???? 的位置关系，并说明理由.
?
思路点拨 已知 ???????? 是 ⊙???? 的半径，只要证明 ????????⊥???????? 就可以了.由
∠????????????= 90? ，可知 ∠????+∠????=90? ，因此需要证明 ∠????????????=∠???? .
?
图134
解：直线 ???????? 与 ⊙???? 相切.
理由如下：如图134，连接 ????????.
∵ ∠????????????=12∠???????????? ， ∠????????????=12∠???? ， ∴ ∠????????????=∠????.
∵ ∠????????????=90? ， ∴ ∠????+∠????=90? .
∴ ∠????????????+∠????=90? .
∴ ∠????????????=90? .
∵ ???????? 是 ⊙???? 的半径， ∴ 直线 ???????? 与 ⊙???? 相切.
?
图7
（2）若 sin?????=35 ， ⊙???? 的半径为3，求 ???????? 的长．
?
思路点拨 已知 ∠???? 的正弦值，因此分别在 Rt△????????????
和 Rt△???????????? 中，根据锐角三角函数关系列方程求解.
?
解：在 Rt△???????????? 中， sin??????=????????????????=35 ， ????????=3 ， ∴ ????????=5.
∴ ????????=????????+????????=8 .
在 Rt△???????????? 中， sin??????=????????????????=35 ， ∴ 设 ????????=3???? ， ????????=5????.
∴ ????????=????????2?????????2=4????=8.
∴ ????=2.
∴ ????????=3????=6 ．
?
针对训练
图8
5.（2023·金昌）如图8， △???????????? 内接于 ⊙???? ， ???????? 是
⊙???? 的直径， ???? 是 ⊙???? 上的一点， ???????? 平分 ∠???????????? ，
????????⊥???????? ，垂足为点 ???? ， ???????? 与 ???????? 相交于点 ???? ．
?
图8
（1）求证： ???????? 是 ⊙???? 的切线.
?
证明： ∵ ????????⊥???????? ， ∴ ∠????=90? .
∵ ???????? 平分 ∠???????????? ， ∴ ∠????????????=∠????????????.
∵ ????????=???????? ， ∴ ∠????=∠???????????? .
又 ∠????=∠???? ， ∴ ∠????=∠????????????.
∴ ????????//????????.
∴ ∠????????????=180??∠????=90? .
∵ ???????? 是 ⊙???? 的半径， ∴ ???????? 是 ⊙???? 的切线.
?
图8
（2）当 ⊙???? 的半径为5， sin?????=35 时，求 ???????? 的长．
?
解： ∵ ???????? 是 ⊙???? 的直径， ∴ ∠????????????=90? ， ????????=2×5=10.
∵ sin??????=????????????????=35 ， ∴ ????????=6.
∵ ∠????????????+∠????????????=∠????????????+∠????????????=90? ， ∴ ∠????????????=∠????????????=∠????.
∴ sin??∠????????????=sin??????=35 ，即 ????????????????=35 .
解得 ????????=3.6.
∴ ????????=????????2?????????2=4.8 ．
?
图9
6.（2023·威海）如图9，在平面直角坐标系中，点 ????
在第一象限内， ⊙???? 与 ???? 轴相切于点 ???? ，与 ???? 轴相交
于点 ????0，8 ， ????0，2 ．连接 ???????? ， ???????? .
?
（1）求点 ???? 的坐标.
?
解： ∵ ????0，8 ， ????0，2 ， ∴ ????????=6 .
如图135，过点 ???? 作 ????????⊥???????? 于点 ???? ， ∴ ????????=????????=3.
∴ ????????=5 .
如图135，连接 ???????? ， ????????.
∵ ⊙???? 与 ???? 轴相切于点 ???? ， ∴ ????????⊥???? 轴.
∴ ∠????????????=∠????????????=∠????????????=90? .
?
图135
∴ 四边形 ???????????????? 是矩形.
∴ ????????=????????=5.
∴ ????????=????????=5.
∵ ????????=????????2?????????2=4， ∴ 点 ???? 的坐标为 4，5 .
?
图135
（2）求 cos?∠???????????? 的值．
?
图9
图135
解：如图135，连接 ???????? ，并延长交 ⊙???? 于点 ???? ，连接 ???????? ，则 ∠????????????=90? ， ????????=2????????=10 ， ∴ ????????=????????2?????????2=102?62=8.
∴ cos?∠????????????=cos?∠????????????=????????????????=810=45 ．
?
类型四 圆中有关几何图形面积的问题
求圆中几何图形面积的问题，注意运用转化思想.如果所求面积的
图形是规则图形，那么可直接应用相关面积公式计算；如果所求面积
的图形不是规则图形，就要转化为规则图形求解. 在圆中求规则图形的
面积，除了扇形，也会涉及求三角形的面积，有时可以利用圆中的各
种垂直关系直接用面积公式求解，有时可以利用相似三角形的关系求
解.
典题精析
图10
例4 （2023·南通）如图10，等腰三角形 ???????????? 的顶
角 ∠????????????=120? ， ⊙???? 与底边 ???????? 相切于点 ???? ，
并与两腰 ???????? ， ???????? 分别相交于点 ???? ， ???? ，连接
???????? ， ???????? ．
?
（1）求证：四边形 ???????????????? 是菱形.
?
图10
思路点拨 只要证明 △???????????? 和 △???????????? 都是等边三角形，就可推出四边形 ???????????????? 的四条边相等，从而证得结论.
?
图136
证明：如图136，连接 ????????.
∵ ⊙???? 与底边 ???????? 相切于点 ???? ， ∴ ????????⊥????????.
∵ ????????=???????? ， ∠????????????=120?， ∴ ∠????????????=∠????????????=12∠????????????=60? .
又 ∵ ????????=???????? ， ????????=???????? ， ∴ △???????????? 和 △???????????? 都是等边三角形. ∴ ????????=????????=???????? ， ????????=????????=????????.
∴ ????????=????????=????????=????????.
∴ 四边形 ???????????????? 是菱形.
?
（2）若 ⊙???? 的半径为2，求图中阴影部分的面积．
?
图10
思路点拨 根据图中阴影部分的面积 = 扇形 ???????????? 的面积-菱形 ???????????????? 的面
积，进行计算即可．
?
图136
解：如图136，连接 ???????? 交 ???????? 于点 ????.
∵ 四边形 ???????????????? 是菱形， ∴ ????????=12????????=1 ， ????????=2???????? ， ∠????????????=90? .
在 Rt△???????????? 中， ????????=2 ， ∴ ????????=????????2?????????2=22?12=3 .
∴ ????????=2????????=23 .
∴ ????阴影=????扇形?????????????????菱形????????????????=120×π×22360?12?????????????????=4π3?12×2×
23?=4π3?23 .
?
针对训练
图11
7.（2022·衢州）如图11， ???? ， ???? 是以 ???????? 为直径的
半圆上的两点， ∠????????????=∠???????????? ，连接 ???????? ， ???????? .
?
（1）求证： ????????//???????? .
?
证明： ∵ ∠????????????=∠???????????? ， ∠????????????=∠???????????? ， ∴ ∠????????????=∠????????????.
∴ ????????//???????? ．
?
（2）若 ????????=4 ， ∠????????????=30? ，求阴影部分的面积．
?
图11
图137
解：如图137，连接 ???????? ，过点 ???? 作 ????????⊥???????? ，垂足为点 ????．
∵ ∠????????????=30? ， ∴ ∠????????????=60? .
∴ ∠????????????=180??∠????????????=120? .
∵ ????????=4 ， ∴ ????????=????????=2.
∴ ????扇形????????????=120×π×22360=4π3 ．
在Rt△???????????? 中， ∵ ????????=??????????sin??60?=2×32=3 ， ∴ ????△????????????=12?????????????????=12×2×3=3 .
∴ ????阴影=????扇形?????????????????△????????????=4π3?3 ．
?
图12
8.（2023·阜新）如图12， ???????? 是 ⊙???? 的直径， ???? ，
???? 是 ⊙???? 上 ???????? 异侧的两点， ????????⊥???????? ，交 ???????? 的延
长线于点 ???? ，且 ???????? 平分 ∠???????????? ．
?
（1）求证： ???????? 是 ⊙???? 的切线．
?
图138
证明：如图138，连接 ????????.
∵ ????????⊥???????? ， ∴ ∠????=90? .
∵ ???????? 平分 ∠???????????? ， ∴ ∠????????????=∠????????????.
∵ ????????=???????? ， ∴ ∠????????????=∠????????????.
∴ ∠????????????=∠????????????.
∴ ????????//????????.∴ ∠????????????=180??∠????=90? .
∵ ???????? 是 ⊙???? 的半径， ∴ ???????? 是 ⊙???? 的切线.
?
（2）若 ∠????????????=60? ， ????????=4 ，求图中阴影部分的面积．
?
图12
图138
解：如图138，连接 ???????? ，过点 ???? 作 ????????⊥???????? ，垂足
为点 ????.
∵ ∠????????????=60? ， ????????=???????? ， ∴ △???????????? 是等边三角形.
∴ ????????=????????=????????=12????????=2 ， ∠????????????=60? .
在 Rt△???????????? 中， ????????=?????????sin??60?=2×32=3 ，
∴????阴影?=????扇形??????????????????△????????????=60×π×22360?12?????????????????=2π3?12×2×3=2π3?3 ．
?
学习至此，请完成备考练习（四十） （第317页）
与圆有关的计算与证明题
类型一 圆与全等三角形问题
图1
1.（2021·百色）如图1， ???????? ， ???????? 是 ⊙???? 的切
线，切点分别是 ???? ， ???? .过点 ???? 的直线 ????????//???????? ，
交 ⊙???? 于点 ???? ， ???? ，交 ???????? 于点 ???? ， ???????? 的延长
线交 ???????? 于点 ???? .已知 ????????//???????? .
?
备考练习（四十）
（1）求证： ∠????=45? .
?
图1
图164
证明：如图164，连接 ????????.
∵ ????????//???????? ， ????????//???????? ， ∴ 四边形 ???????????????? 是平行四边形.
∴ ∠????=∠????.
∵ ???????? 是 ⊙???? 的切线，切点为 ???? ， ∴ ????????⊥????????.
∴ ????????⊥???????? .
又 ∵ ????????=???????? ， ∴ ∠????=∠????????????=45? .
∴ ∠????=45? .
?
（2）若 ????????=6 ，求 ???????? 的长.
?
图1
图164
解：如图164，连接 ????????.
∵ ???????? ， ???????? 是 ⊙???? 的切线，切点分别为 ???? ， ???? ， ∴ ????????=???????? ， ∠????????????=90? .
∵ ???????? 经过圆心 ???? ， ∴ ???????? 为 ⊙???? 的直径.
∴ ∠????????????=90? .
∴ ∠????????????=∠????????????.
∴ ∠?????????????∠????????????=∠?????????????∠???????????? ，即∠????????????=∠????????????.
∵ ????????=???????? ， ∴ ∠????????????=∠????????????.
?
∴ ∠????????????=∠????????????.
∵ 四边形 ???????????????? 是平行四边形， ∴ ????????=????????.
∴ ????????=????????.
∵ ????????//???????? ， ∴ ∠????????????=∠???? .
在 △???????????? 和 △???????????? 中， ∵ ∠????????????=∠???? ， ????????=???????? ，∠????????????=∠???????????? ， ∴ △????????????≌△????????????ASA.
∴ ????????=????????.
∵ ???????? 是 ⊙???? 的切线， ∴ ????????⊥????????.
∵ ∠????=45? ， ????????//???????? ， ∴ ∠????????????=∠????=45? .
∴ ????????=????????.
∵ ????????=6 ， ∴ ????????=????????=3.
∴ ????????=3.????∴ ????????=3 .
?
图164
图2
2.如图2，四边形 ???????????????? 内接于 ⊙???? ， ???????? 是 ⊙???? 的直
径， ???????? 平分 ∠???????????? ，过点 ???? 作 ????????⊥???????? 交 ???????? 的延长
线于点 ???? ．
?
（1）求证： ???????? 是 ⊙???? 的切线.
?
图165
证明：如图165，连接 ????????.
∵ ????????=???????? ， ∴ ∠????????????=∠????????????.
∵ ???????? 平分 ∠???????????? ， ∴ ∠????????????=∠????????????.
∴ ∠????????????=∠????????????.
∴ ????????//???????? .
又 ∵ ????????⊥???????? ，即 ????????⊥???????? ， ∴ ????????⊥????????.
∵ ???????? 是 ⊙???? 的半径， ∴ ???????? 是 ⊙???? 的切线.
?
（2）若 ⊙???? 的半径是5， ????????=8 ，求 ???????? 的长．
?
图2
解：如图165，作 ????????⊥???????? 于点 ????.
∵ ???????? 平分 ∠????????????， ????????⊥???????? ， ????????⊥???????? ， ∴ ????????=???????? .
在 Rt△???????????? 和 Rt△???????????? 中， &????????=????????，&????????=????????，
∴ Rt△????????????≌Rt△????????????HL.
∴ ????????=????????．
∵ 四边形 ???????????????? 内接于 ⊙????， ∴ ∠????+∠????????????=180? .
又 ∵ ∠????????????+∠????????????=180? ， ∴ ∠????=∠???????????? .
?
图165
在 △???????????? 和 △???????????? 中， &∠????????????=∠????????????=90?，&∠????=∠????????????，&??????????=????????，?∴ △????????????≌△????????????AAS.
∴ ????????=????????．
∵ ⊙???? 的半径是5， ∴ ????????=2×5=10 ．
设 ????????=????????=???? ，则 ????????=????????+????????=????????+????????=????????+????????+????????=????+8+????=10 .
解得 ????=1.
?
图165
∴ ????????=????????=1．
∵ ???????? 是 ⊙???? 的直径， ∴ ∠????????????=90? .
∴ ∠????????????=∠???????????? .
又 ∵ ∠????????????=∠???????????? ， ∴ △????????????∽△????????????.
∴ ????????????????=???????????????? ，即 ????????1=10???????? .
∴ ????????=10 （负值已舍去）．
?
类型二 圆与相似三角形问题
图3
3.（2023·包头）如图3， ???????? 是 ⊙???? 的直径， ???????? 是
弦， ???? 是 ????????? 上一点， ???? 是 ???????? 延长线上一点，连
接 ???????? ， ???????? ， ???????? ．
?
（1）求证： ∠?????????????∠????????????=90? .（请用两种证法解答）
?
图166
证明：（方法一）如图166，连接 ????????.
∵ ???????? 是 ⊙???? 的直径， ∴ ∠????????????=90? .
∵ ∠?????????????∠????????????=∠???????????? ， ∠????????????=∠???????????? ， ∴ ∠?????????????∠????????????=90? .
（方法二）如图167，连接 ????????.
∵ ???????? 是 ⊙???? 的直径， ∴ ∠????????????=90? . ∵ ∠????????????=∠????????????+∠???????????? ，
∴ ∠?????????????∠????????????=90? .
∵ 四边形 ???????????????? 为⊙???? 的内接四边形，
∴ ∠????????????+∠????????????=180? .
∵ ∠????????????+∠????????????=180? ， ∴ ∠????????????=∠????????????.
∴ ∠?????????????∠????????????=90? .
?
（2）若 ∠????????????=∠???????????? ， ⊙???? 的半径为3， ????????=4 ，求 ???????? 的长．
?
图3
图167
解：同（1）中方法二知， ∠????????????=∠???????????? ，又∠????????????=∠???????????? ， ∴ ∠????????????=∠???????????? ，即 ∠????????????=∠???????????? .
又 ∵ ∠????????????=∠???????????? ， ∴ △?????????????△????????????.
∴ ????????????????=???????????????? . ∴ ????????2=?????????????????.
∵ ⊙???? 的半径为3， ∴ ????????=6.
∴ ????????=????????+6 .
又 ∵ ????????=4 ， ∴ 42=????????+6????????? .
解得 ????????=2 或 ????????=?8 （舍去） .
∴ ????????=2+6=8 ．
?
图4
4.（2023·凉山）如图4， ???????? 是 ⊙???? 的直径，弦????????⊥???????? ，垂足为点 ???? ，点 ???? 是 ???????? 延长线上一点， ????????⊥???????? ，垂足为点 ???? ， ∠????????????=∠???????????? .
?
（1）求证： ???????? 是 ⊙???? 的切线.
?
图168
证明：如图168，连接 ????????.
∵ ????????⊥???????? ， ∴ ∠????????????=90? .
∴ ∠????????????+∠????????????=90? .
∵ ????????=???????? ， ∴ ∠????????????=∠????????????.
∴ ∠????????????+∠????????????=90? .
又 ∵ ∠????????????=∠???????????? ， ∴ ∠????????????+∠????????????=90? ，即 ∠????????????=90? . ∴ ????????⊥????????.
∵ ???????? 是 ⊙???? 的半径， ∴ ???????? 是 ⊙???? 的切线.
?
（2）若 ????????=4 ， ????????=2 ，求 ⊙???? 的半径和 ???????? 的长．
?
图4
图168
解：如图168，连接 ????????.
∵ ???????? 是 ⊙???? 的直径，∴ ∠????????????=90? .
∴ ∠????+∠????????????=90? .
又 ∵ ∠????????????+∠????????????=90? ， ∴ ∠????=∠???????????? .
又 ∵ ∠????????????=∠???????????? ， ∴ ∠????=∠???????????? .
又 ∵ ∠????=∠????， ∴ △????????????∽△????????????.
∴ ????????????????=???????????????? .
∵ ???????????=4 ， ????????=2 ， ∴ 4????????=24 .
?
解得 ????????=8.
∴ ????????=?????????????????=8?2=6.
∴ ⊙???? 的半径为 3.
∴ ????????=????????=3.
∴ ????????=????????+????????=5.
∵ ∠????????????=∠????????????=90? ， ∠????=∠???? ， ∴ △????????????∽△????????????.
∴ ????????????????=???????????????? ，即 ????????3=25 .
∴ ????????=65 .
?
图168
类型三 圆与锐角三角函数问题
图5
5.（2023·烟台）如图5，在菱形 ???????????????? 中，对
角线 ???????? ， ???????? 相交于点 ???? ， ⊙???? 经过 ???? ， ???? 两
点，交对角线 ???????? 于点 ???? ，连接 ???????? 交 ???????? 于点
???? ，且 ????????=???????? .
?
（1）求证： ???????? 是 ⊙???? 的切线.
?
图169
证明：如图169，连接 ???????? ，则 ????????=???????? ， ∴ ∠????????????=∠????????????.
∵ ????????=???????? ， ∴ ????????⊥????????.
∴ ∠????????????=90? .
∵ 四边形 ???????????????? 是菱形， ∴ ????????=???????? ， ????????⊥???????? ，
∠????????????=∠????????????.
∴ ∠????????????=∠????????????+∠????????????=∠????????????+∠????????????=
180??∠????????????=90? .
∴ ????????⊥???????? .
又 ∵ ???????? 是 ⊙???? 的半径， ∴ ???????? 是 ⊙???? 的切线．
?
（2）已知 ⊙???? 的半径与菱形的边长之比为
5:8 ，求 tan?∠???????????? 的值．
?
图5
解： ∵ ????????????????=58 ， ????????=2???????? ， ∴ ????????2????????=58 .
∴ ????????????????=54 .
设 ????????=4???? ，则 ????????=5???? ， ∴ ????????=????????=5????.
∵ ∠????????????=90? ， ∴ ????????=????????2?????????2=5????2?4????2=3????.
∴ ????????=?????????????????=5?????3????=2????.
∵ ∠????????????=∠????????????=90? ， ∴ ∠????????????=∠????????????=90??∠????????????.
∴ tan?∠????????????=tan?∠????????????=????????????????=4????2????=2 ．
?
图6
6.（2023·宁夏）如图6，已知 ???????? 是 ⊙???? 的直径，直
线 ???????? 是 ⊙???? 的切线，切点为 ???? ， ????????⊥???????? ，垂足
为点 ???? ，连接 ???????? .
?
（1）求证： ???????? 平分 ∠???????????? .
?
图170
证明：如图170，连接 ???????? .
∵ 直线 ???????? 是 ⊙???? 的切线，切点为 ???? ， ∴ ????????⊥???????? .
又 ∵ ????????⊥???????? ，垂足为点 ???? ， ∴ ????????//????????.
∴ ∠????????????=∠????????????.
∵ ????????=???????? ， ∴ ∠????????????=∠????????????.
∴ ∠????????????=∠????????????.
∴ ???????? 平分 ∠???????????? .
?
（2）若 ????????=5 ， tan?∠????????????=34 ，求 ⊙???? 的半径．
?
图6
解：如图170，连接 ????????.
∵ ???????? 是 ⊙???? 的直径， ∴ ∠????????????=90? .
又 ∵ ????????⊥???????? ，由（1）得 ∠????????????=∠???????????? ， ∴ ∠????????????=
∠???????????? .
在 Rt△???????????? 中， tan?∠????????????=tan?∠????????????=34 ， ∴ ????????????????=
5????????=34 .
∴ ????????=203 .
在 Rt△???????????? 中， ????????=????????2+????????2=253 ， ∴ ⊙???? 的半径为 256 ．
?
图170
类型四 圆中有关几何图形面积的问题
图7
7.（2023·十堰）如图7，在 Rt△???????????? 中，
∠????=90? ， ????????=???????? ，点 ???? 在 ???????? 上，以点 ???? 为
圆心， ???????? 长为半径的半圆分别交 ???????? ， ???????? ， ????????
于点 ???? ， ???? ， ???? ，且点 ???? 是 ????????? 的中点．
?
（1）求证： ???????? 是 ⊙???? 的切线.
?
图7
图171
证明：如图171，连接 ???????? ， ????????.
∵ ∠????=90? ， ????????=???????? ， ∴ ∠????????????=∠????=45? .
∵ ????????=????????， ∴ ∠????????????=∠????????????=45? .
∴ ∠????????????=90? .
∵ 点 ???? 是 ????????? 的中点， ∴ ∠????????????=∠????????????=12∠????????????=45? .
∴ ∠????????????=180??∠?????????????∠????=90? .
∴ ????????⊥????????.
∵ ???????? 是 ⊙???? 的半径， ∴ ???????? 是 ⊙???? 的切线.
?
图7
（2）若 ????????=2 ，求图中阴影部分的面积（结
果保留 π ）．
?
解： ∵ ????????⊥???????? ， ∠????=45? ， ∴ △???????????? 是等
腰直角三角形.
设 ????????=????????=???? ，则 ????????=2???? ， ∴ ????????=????+2????.
∵ ????????=2???????? ， ∴ ????+2????=22+????.
解得 ????=2.
∴ ????阴影=????△?????????????????扇形????????????=12×2×2?45×π×22360=2?π2 ．
?
图8
8.（2023·齐齐哈尔）如图8，在 Rt△???????????? 中，
∠????=90? ， ???????? 平分 ∠???????????? 交 ???????? 于点 ???? ，点 ???? 是
斜边 ???????? 上一点，以 ???????? 为直径的 ⊙???? 经过点 ???? ，交
???????? 于点 ???? ，连接 ???????? ．
?
（1）求证： ???????? 是 ⊙???? 的切线.
?
图8
图172
证明：如图172，连接 ????????.
∵ ????????=???????? ， ∴ ∠????????????=∠????????????.
∵ ???????? 平分 ∠???????????? ， ∴ ∠????????????=∠????????????.
∴ ∠????????????=∠????????????.∴ ????????//????????.
∴ ∠????????????=∠????=90? .
∴ ????????⊥???????? 于点 ????.
∵ ???????? 是 ⊙???? 的半径， ∴ ???????? 是 ⊙???? 的切线.
?
（2）若 ????????=5 ， tan?∠????????????=3 ，求图中阴影部分的面积（结果保留 π ）．
?
图8
图172
解：如图172，连接 ???????? ， ????????.
∵ ∠????=90? ， tan?∠????????????=3 ， ∴ ∠????????????=60? .
∴ ∠????????????=90??∠????????????=30? .
又 ∵ ????????=5 ， ∴ ????????=2????????=10.
∵ ???????? 是 ⊙???? 的直径， ∴ ∠????????????=90?.
∵ ???????? 平分 ∠???????????? ， ∴ ∠????????????=∠????????????=30?.
?
在 Rt△???????????? 中， ????????=10 ，cos?∠????????????=????????????????=32 ， ∴ ????????=2033 .
∴ ????????=12????????=1033 .
∵ ???????? 平分 ∠???????????? ， ∴ ∠????????????=2∠????????????=60?.
又 ∵ ????????=???????? ， ∴ △???????????? 是等边三角形.
∴ ∠????????????=60? .
∵ ????????//???????? ， ∴ ????△????????????=????△????????????.
∴ ????阴影=????扇形????????????=60×π×10332360=50π9 ．
?
图172