重庆市垫江第二中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·重庆市月考）高二年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有（ ）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：因为选派的3人中至少有1名女生，且总共有2名女生，
所以当选派的3人中有1名女生时，有种方案，
当选派的3人中有2名女生时，有种方案，
所以共有种不同的选派方案.
故答案为：D.
【分析】根据题意分3人中有1名女生和2名女生求解即可.
2．（2024高二下·重庆市月考）如果质点A运动的位移S（单位：米）与时间1（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为：（ ）（单位：米/秒）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】瞬时变化率
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据瞬时变化率的定义求解即可.
3．（2024高二下·重庆市月考）如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（ ）．
A．180 B．160 C．96 D．60
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：首先对①进行涂色，有5种方法；对②进行涂色，有4种方法；
对③进行涂色，有3种方法；对④进行涂色，有3种方法，
由乘法计数原理可得涂色方法种数为种．
故答案为：A．
【分析】按照①②③④的顺序，结合分步乘法计数原理求解.
4．（2024高二下·重庆市月考）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】导数的四则运算；导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】解：，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D错误；
故答案为：A.
【分析】根据导数的求导法则求解即可.
5．（2024高二下·重庆市月考）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，，
则，所以在上单调递增，
因为，所以，
故答案为：D.
【分析】利用导数判断函数的单调性，再结合单调性比较大小即可.
6．（2024高二下·重庆市月考）已知函数有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：，则，
根据题意，得，解得或，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：D．
【分析】原函数有极值等价于导函数有变号零点，由此得到，再求出a的取值范围即可.
7．（2024高二下·重庆市月考）已知函数（e为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：若在上恒成立，则在上恒成立，
所以，令，则，
令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故.
所以ｍ的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】根据题意得，令，求导求最值即可得到m的取值范围.
8．（2024高二下·重庆市月考）函数，则满足不等式的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，则，
令，则，
因为在R上恒成立，所以在R上单调递增，
又，故当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，
由，可得，解得，
所以x的取值范围为.
故答案为：D．
【分析】判断函数的单调性，再由，，求出，解出实数x的取值范围.
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分。
9．（2024高二下·重庆市月考）已知集合，从M，N这两个集合中各选一个元素分别记作a，b．则下列说法正确的有（ ）
A．表示不同的正数的个数是6
B．表示不同的比1小的数的个数是6
C．表示x轴上方不同的点的个数是6
D．表示y轴右侧不同的点的个数是6
【答案】B,C
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：A．若a，b均为正，共有2×2=4个，若a，b均为负，共有1×2=2个，但，所以共有5个，故A错误；
B．若为正，显然均比1大，所以只需为负即可，共有2×2+1×2=6个，故B正确；
C．要使（a，b）表示x轴上方的点，只需b为正即可，共有2×3=6个，故C正确；
D．要使（a，b）表示y轴右侧的点，只需a为正即可，共有2×4=8个，故D错误．
故答案为：BC.
【分析】对于四个选项中的计数问题，分别用分类、分步计数法表示，并排除重复情况求解．
10．（2024高二下·重庆市月考）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A． B．只有一个零点
C．有两个零点 D．有一个极大值点
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：，故A错误；
，则，所以函数只有一个零点，故B正确，C错误；
，由，由，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以有一个极大值点，故D正确；
故答案为：BD.
【分析】根据解析式得出；由判断BC；判断单调得到极值判断D.
11．（2024高二下·重庆市月考）已知函数在区间上存在最小值，则整数a可以取（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，得，
∴由，得或，所以、上单调递增；
由，得，所以上单调递减；
∴的极大值为，极小值为，
而当时，或，
要使在上存在最小值，则，解得，结合选项可知，只有CD符合.
故答案为：CD.
【分析】判断的单调性，确定极值点，并求出与极小值相等的自变量值，由上存在最小值，则极小值点必在区间内，求出a的范围，进而确定a的可能值.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·重庆市月考）由数字0，1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有 个．
【答案】78
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：能被整除的三位数说明末尾数字是或
当末尾数字是时，百位数字除了有种不同的选法，十位有种不同的选法，
根据分步乘法原理一共有种方法；
当末尾数字是时，百位数字有种不同的选法，十位有种不同的选法，
根据分步乘法原理一共有种方法，
则一共有种.
故答案为：.
【分析】能被整除的三位数末位数字是或，分成末位数字是5和末位数字是0两种情况求解即可.
13．（2024高二下·重庆市月考）已知函数，则曲线在点处的切线方程是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：，则，
所以，，解得，，
由题意，得，所以，
故切线方程为．
故答案为：.
【分析】先求出的值，再求出以及斜率，即可得到切线方程．
14．（2024高二下·重庆市月考）关于函数，有如下四个结论：
①函数不仅有极小值也有极大值；
②的在处的切线与垂直；
③若函数有三个零点，则；
④若时，，则t的最小值为3．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，得，则，
当x＜﹣3或x＞3时，＜0；﹣3＜x＜3时，＞0，
所以f（x）在（﹣∞，﹣3）和（3，+∞）上递减，在（﹣3，3）上递增，
f（x）的极小值为f（﹣3）＝﹣4e3，f（x）极大值为，①正确；
在处的切线斜率k1＝，直线9y﹣x+1＝0的斜率，
则k1k2≠﹣1，两直线不垂直，②错误；
当时，，当时，，
若f（x）＝k有三个实根，则，③正确；
若x∈[0，t]时，，则t≥3，t的最小值为3，故④正确．
故答案为：①③④.
【分析】利用导数研究函数的单调性极值，再判断各项即可．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·重庆市月考）用0、1、2、3、4、5这六个数字
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数；
（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数；
（3）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数．
【答案】（1）解：若组成的数字为数字不重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，所以，数字不重复的三位数个数为．
（2）解：若组成的数字为数字允许重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，所以，数字允许重复的三位数的个数为个
（3）解：若组成的数字为数字不重复的小于1000的自然数，分以下三种讨论：
①数字为个位数，共6个；
②数字为两位数，则首位不能为零，个位无限制，共个；
③数字为三位数，共有100个．
综上所述，数字不重复的小于1000的自然数个数为个．
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【分析】（1）根据条件可知，数字不重复的三位数中，首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，利用分步乘法计数原理求解即可；
（2）根据条件可知，数字允许重复的三位数中，首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，利用分步乘法计数原理求解即可；
（3）分个位数、两位数、三位数三种情况讨论，分别计算出这三种情况下满足条件的自然数的个数，利用分类加法计数原理求解即可.
16．（2024高二下·重庆市月考）已知函数的图象过点，且．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线过点的切线方程．
【答案】（1）因为函数的图象过点，所以①．
又，所以②，
由①②解得．
（2）由（1）知，
设所求切线在曲线上的切点为，则，
所以切线方程为，
又切线过点，所以，
可得，
，
，解得，
所以切点为，切线方程为．
故曲线过点的切线方程为．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据题意，可得，由，可得，再求出a，b的值即可；
（2）由，设曲线上的切点为，求出切线斜率，得到切线方程，带入点求解即可．
17．（2024高二下·重庆市月考）已知函数（其中e是自然对数的底数）．
（1）求在上的最值；
（2）若函数没有零点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：，
所以，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
因为，
所以，函数在上的最小值为，最大值为．
（2）解：因为函数没有零点，
所以方程无实数根，即方程没有实数根，
令，则，
所以，当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，函数在处取得最大值
因为当时，当时，
所以，函数的值域为，
所以，当方程没有实数根，，即
所以，实数a的取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用导数直接求解函数最值即可；
（2）根据条件可知，方程没有实数根，设，研究其值域得，再转化为解即可.
18．（2024高二下·重庆市月考）已知函数．
（1）当时，求证：在R上是增函数；
（2）若在区间上存在最小值，求a的取值范围；
（3）若仅在两点处的切线的斜率为1，求a的取值范围．（结论不要求证明）
【答案】（1）当，即时，，
令解得，
当时，，当时，，
又连续，所以在R上是增函数
（2），
当时，，
①当时，在上恒成立，
所以，在区间上单调递增，所以在区间上不存在最小值；
②当时，令解得，此时，
- 0 +
极小值
所以存在最小值，且，
综上a的取值范围是
（3）仅在两点处的切线的斜率为1，即有两个不同解，解法一：方程有两个不同的解，即与的图象有两个交点，令，则
所以图象大致如下，
由图象可知与的图象有两个交点，则a的取值范围为．
解法二：方程有两个不同的解，即与的图象有两个交点，
在同一坐标系上画和的图象如图，
由图象可得当时与的图象有两个交点，即a的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导，根据导函数的符号证明增减性即可；
（2）对分类讨论，判断函数在上的单调性，再求出的取值范围；
（3）仅在两点处的切线的斜率为1，即有两个不同解，转化为与或与的图象有两个交点求解即可.
19．（2024·云南模拟）已知是自然对数的底数，常数，函数.
（1）求、的单调区间；
（2）讨论直线与曲线的公共点的个数；
（3）记函数、，若，且，则，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：函数的定义域为.
，
，
当时，，当时，，
的单调递增区间是，单调递减区间是；
函数的定义域为，常数，
当时，，当时，.
的单调递减区间是，单调递增区间是；
（2）解：设，它的定义域为，
当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
的最小值为，
不成立，即方程无实数解，
故方程无实数解，直线与曲线无公共点；
（3）解：根据已知，的定义域为，
设，由（2）得，且，
由，记，则，
由得，
由（1）知在上单调递减，故，
，
记，则，由，得，
，若，且，则，
，
，
设，则，
解得，
由得，由得，
，
设，则，
，
由是自然对数的底数，得，
由（1）知，上单调递减，
在上单调递增；由得，
又，
存在唯一，使，
当时，，当时，，当时，，
当时，单调递增，故；
当时，单调递减，故；
当时，单调递增，故.
综上所述，当时，，
.
实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，函数与方程的综合应用，函数的恒成立问题.
（1）先求出函数的定义域，再求出两个函数的导函数，，判断导数的正负，据此可求出函数的单调区间；
（2）设出函数，求导函数，判断导函数的正负，确定函数的单调性，求出最值。根据该函数的最小值与1的关系可判断公共点的个数；
（3）结合前两问，设，可得，有，则可得到使时的对应中的，即有，设，可将双变量换为单变量，原不等式可转化为，通过构造新函数可得，据此可解得，构造，研究导数可得，据此可解出实数的取值范围.
1 / 1重庆市垫江第二中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·重庆市月考）高二年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有（ ）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
2．（2024高二下·重庆市月考）如果质点A运动的位移S（单位：米）与时间1（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为：（ ）（单位：米/秒）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·重庆市月考）如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（ ）．
A．180 B．160 C．96 D．60
4．（2024高二下·重庆市月考）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高二下·重庆市月考）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·重庆市月考）已知函数有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二下·重庆市月考）已知函数（e为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·重庆市月考）函数，则满足不等式的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分。
9．（2024高二下·重庆市月考）已知集合，从M，N这两个集合中各选一个元素分别记作a，b．则下列说法正确的有（ ）
A．表示不同的正数的个数是6
B．表示不同的比1小的数的个数是6
C．表示x轴上方不同的点的个数是6
D．表示y轴右侧不同的点的个数是6
10．（2024高二下·重庆市月考）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A． B．只有一个零点
C．有两个零点 D．有一个极大值点
11．（2024高二下·重庆市月考）已知函数在区间上存在最小值，则整数a可以取（ ）
A． B． C． D．0
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·重庆市月考）由数字0，1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有 个．
13．（2024高二下·重庆市月考）已知函数，则曲线在点处的切线方程是 ．
14．（2024高二下·重庆市月考）关于函数，有如下四个结论：
①函数不仅有极小值也有极大值；
②的在处的切线与垂直；
③若函数有三个零点，则；
④若时，，则t的最小值为3．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·重庆市月考）用0、1、2、3、4、5这六个数字
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数；
（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数；
（3）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数．
16．（2024高二下·重庆市月考）已知函数的图象过点，且．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线过点的切线方程．
17．（2024高二下·重庆市月考）已知函数（其中e是自然对数的底数）．
（1）求在上的最值；
（2）若函数没有零点，求实数a的取值范围．
18．（2024高二下·重庆市月考）已知函数．
（1）当时，求证：在R上是增函数；
（2）若在区间上存在最小值，求a的取值范围；
（3）若仅在两点处的切线的斜率为1，求a的取值范围．（结论不要求证明）
19．（2024·云南模拟）已知是自然对数的底数，常数，函数.
（1）求、的单调区间；
（2）讨论直线与曲线的公共点的个数；
（3）记函数、，若，且，则，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：因为选派的3人中至少有1名女生，且总共有2名女生，
所以当选派的3人中有1名女生时，有种方案，
当选派的3人中有2名女生时，有种方案，
所以共有种不同的选派方案.
故答案为：D.
【分析】根据题意分3人中有1名女生和2名女生求解即可.
2．【答案】D
【知识点】瞬时变化率
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据瞬时变化率的定义求解即可.
3．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：首先对①进行涂色，有5种方法；对②进行涂色，有4种方法；
对③进行涂色，有3种方法；对④进行涂色，有3种方法，
由乘法计数原理可得涂色方法种数为种．
故答案为：A．
【分析】按照①②③④的顺序，结合分步乘法计数原理求解.
4．【答案】A
【知识点】导数的四则运算；导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】解：，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D错误；
故答案为：A.
【分析】根据导数的求导法则求解即可.
5．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，，
则，所以在上单调递增，
因为，所以，
故答案为：D.
【分析】利用导数判断函数的单调性，再结合单调性比较大小即可.
6．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：，则，
根据题意，得，解得或，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：D．
【分析】原函数有极值等价于导函数有变号零点，由此得到，再求出a的取值范围即可.
7．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：若在上恒成立，则在上恒成立，
所以，令，则，
令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故.
所以ｍ的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】根据题意得，令，求导求最值即可得到m的取值范围.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，则，
令，则，
因为在R上恒成立，所以在R上单调递增，
又，故当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，
由，可得，解得，
所以x的取值范围为.
故答案为：D．
【分析】判断函数的单调性，再由，，求出，解出实数x的取值范围.
9．【答案】B,C
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：A．若a，b均为正，共有2×2=4个，若a，b均为负，共有1×2=2个，但，所以共有5个，故A错误；
B．若为正，显然均比1大，所以只需为负即可，共有2×2+1×2=6个，故B正确；
C．要使（a，b）表示x轴上方的点，只需b为正即可，共有2×3=6个，故C正确；
D．要使（a，b）表示y轴右侧的点，只需a为正即可，共有2×4=8个，故D错误．
故答案为：BC.
【分析】对于四个选项中的计数问题，分别用分类、分步计数法表示，并排除重复情况求解．
10．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：，故A错误；
，则，所以函数只有一个零点，故B正确，C错误；
，由，由，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以有一个极大值点，故D正确；
故答案为：BD.
【分析】根据解析式得出；由判断BC；判断单调得到极值判断D.
11．【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，得，
∴由，得或，所以、上单调递增；
由，得，所以上单调递减；
∴的极大值为，极小值为，
而当时，或，
要使在上存在最小值，则，解得，结合选项可知，只有CD符合.
故答案为：CD.
【分析】判断的单调性，确定极值点，并求出与极小值相等的自变量值，由上存在最小值，则极小值点必在区间内，求出a的范围，进而确定a的可能值.
12．【答案】78
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：能被整除的三位数说明末尾数字是或
当末尾数字是时，百位数字除了有种不同的选法，十位有种不同的选法，
根据分步乘法原理一共有种方法；
当末尾数字是时，百位数字有种不同的选法，十位有种不同的选法，
根据分步乘法原理一共有种方法，
则一共有种.
故答案为：.
【分析】能被整除的三位数末位数字是或，分成末位数字是5和末位数字是0两种情况求解即可.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：，则，
所以，，解得，，
由题意，得，所以，
故切线方程为．
故答案为：.
【分析】先求出的值，再求出以及斜率，即可得到切线方程．
14．【答案】①③④
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，得，则，
当x＜﹣3或x＞3时，＜0；﹣3＜x＜3时，＞0，
所以f（x）在（﹣∞，﹣3）和（3，+∞）上递减，在（﹣3，3）上递增，
f（x）的极小值为f（﹣3）＝﹣4e3，f（x）极大值为，①正确；
在处的切线斜率k1＝，直线9y﹣x+1＝0的斜率，
则k1k2≠﹣1，两直线不垂直，②错误；
当时，，当时，，
若f（x）＝k有三个实根，则，③正确；
若x∈[0，t]时，，则t≥3，t的最小值为3，故④正确．
故答案为：①③④.
【分析】利用导数研究函数的单调性极值，再判断各项即可．
15．【答案】（1）解：若组成的数字为数字不重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，所以，数字不重复的三位数个数为．
（2）解：若组成的数字为数字允许重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，所以，数字允许重复的三位数的个数为个
（3）解：若组成的数字为数字不重复的小于1000的自然数，分以下三种讨论：
①数字为个位数，共6个；
②数字为两位数，则首位不能为零，个位无限制，共个；
③数字为三位数，共有100个．
综上所述，数字不重复的小于1000的自然数个数为个．
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【分析】（1）根据条件可知，数字不重复的三位数中，首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，利用分步乘法计数原理求解即可；
（2）根据条件可知，数字允许重复的三位数中，首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，利用分步乘法计数原理求解即可；
（3）分个位数、两位数、三位数三种情况讨论，分别计算出这三种情况下满足条件的自然数的个数，利用分类加法计数原理求解即可.
16．【答案】（1）因为函数的图象过点，所以①．
又，所以②，
由①②解得．
（2）由（1）知，
设所求切线在曲线上的切点为，则，
所以切线方程为，
又切线过点，所以，
可得，
，
，解得，
所以切点为，切线方程为．
故曲线过点的切线方程为．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据题意，可得，由，可得，再求出a，b的值即可；
（2）由，设曲线上的切点为，求出切线斜率，得到切线方程，带入点求解即可．
17．【答案】（1）解：，
所以，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
因为，
所以，函数在上的最小值为，最大值为．
（2）解：因为函数没有零点，
所以方程无实数根，即方程没有实数根，
令，则，
所以，当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，函数在处取得最大值
因为当时，当时，
所以，函数的值域为，
所以，当方程没有实数根，，即
所以，实数a的取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用导数直接求解函数最值即可；
（2）根据条件可知，方程没有实数根，设，研究其值域得，再转化为解即可.
18．【答案】（1）当，即时，，
令解得，
当时，，当时，，
又连续，所以在R上是增函数
（2），
当时，，
①当时，在上恒成立，
所以，在区间上单调递增，所以在区间上不存在最小值；
②当时，令解得，此时，
- 0 +
极小值
所以存在最小值，且，
综上a的取值范围是
（3）仅在两点处的切线的斜率为1，即有两个不同解，解法一：方程有两个不同的解，即与的图象有两个交点，令，则
所以图象大致如下，
由图象可知与的图象有两个交点，则a的取值范围为．
解法二：方程有两个不同的解，即与的图象有两个交点，
在同一坐标系上画和的图象如图，
由图象可得当时与的图象有两个交点，即a的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导，根据导函数的符号证明增减性即可；
（2）对分类讨论，判断函数在上的单调性，再求出的取值范围；
（3）仅在两点处的切线的斜率为1，即有两个不同解，转化为与或与的图象有两个交点求解即可.
19．【答案】（1）解：函数的定义域为.
，
，
当时，，当时，，
的单调递增区间是，单调递减区间是；
函数的定义域为，常数，
当时，，当时，.
的单调递减区间是，单调递增区间是；
（2）解：设，它的定义域为，
当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
的最小值为，
不成立，即方程无实数解，
故方程无实数解，直线与曲线无公共点；
（3）解：根据已知，的定义域为，
设，由（2）得，且，
由，记，则，
由得，
由（1）知在上单调递减，故，
，
记，则，由，得，
，若，且，则，
，
，
设，则，
解得，
由得，由得，
，
设，则，
，
由是自然对数的底数，得，
由（1）知，上单调递减，
在上单调递增；由得，
又，
存在唯一，使，
当时，，当时，，当时，，
当时，单调递增，故；
当时，单调递减，故；
当时，单调递增，故.
综上所述，当时，，
.
实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，函数与方程的综合应用，函数的恒成立问题.
（1）先求出函数的定义域，再求出两个函数的导函数，，判断导数的正负，据此可求出函数的单调区间；
（2）设出函数，求导函数，判断导函数的正负，确定函数的单调性，求出最值。根据该函数的最小值与1的关系可判断公共点的个数；
（3）结合前两问，设，可得，有，则可得到使时的对应中的，即有，设，可将双变量换为单变量，原不等式可转化为，通过构造新函数可得，据此可解得，构造，研究导数可得，据此可解出实数的取值范围.
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