微专题（二） 与反比例函数有关的图形面积问题 课件(共29张PPT) 2024年中考数学总复习专题突破

(共29张PPT)
复习讲义
第一篇 基础过关
第三部分 函数
微专题（二） 与反比例函数有关的图形面积问题
类型一 有一边与坐标轴平行或重合
模型剖析
在反比例函数 的图象上任取一点 ，点 的坐标为
，且 与坐标轴平行.
（1）当点 为 轴上任一点时，
如图1，则 ；
当点 为 轴上任一点时，
如图2，则 .
图1
图2
（2）在反比例函数 图象的另一支上任取一点 ，当
轴时，如图3，则 ；当 轴时，
如图4，则 .
图3
图4
模型应用
图5
1.（2023·黑龙江）如图5， 是等腰三角形，
过原点 ，底边 轴，双曲线 过 , 两点.过
点 作 轴交双曲线于点 .若 ，则
的值是( ) .
A. B. C. D.
小锦囊 设 ， .只要用 ， 表示出点 , 的坐标，就可将点 , , 的坐标转化为 的直角边长，然后根据 ，列方程求解.
图7
提示：如图7，设 与 轴的交点为 ， ,则
.由题意知， ,即 是线段 的中
点，过点 作 于点 .因为 ，
，所以 , 轴.所以 .则
，所以 .所以 .
所以 ， .所以
.所以 .
【答案】C
图6
2.（2022·株洲）如图6，在平面直角坐标系中，点 ， 分别在函数 ，
的图象上，点 在第二象限内， 轴于点 ， 轴于点 ，连接 ， ，已知点 的纵坐标为 ．
图6
（1）求点 的横坐标.
解：因为点 在函数 的图象上，点 的纵坐标为 ，所以 .
解得 .所以点 的横坐标为 .
图6
（2）记四边形 的面积为 ，若点 的横坐标为2，试用含 的代
数式表示 ．
解：因为点 在函数 的图象上，点 的横坐标为2，所以 .
所以 ， .
因为 ，所以 ， .
所以 ， .
图6
所以
类型二 边不与坐标轴平行或重合
模型剖析
在反比例函数 的图象上任取一点 .
（1）点 的坐标为 ， 与坐标轴交于点 .当点
在 轴上时，如图7， ；当点
在 轴上时，如图8， .
图7
图8
（2）在反比例函数 图象的同一支上任取一点 ，如图
9，分别过点 ， 作 轴于点 ， 轴于点 ，则 ，所以 ；同理，若向 轴作垂线，如图10，则有 .
图9
图10
模型应用
图11
3.（2023·黄石）如图11，点 ， 和 ， 在反
比例函数 的图象上，其中 ．过
点 作 轴于点 ，则 的面积为__.若
的面积为 ，则 ___．
图8
提示：因为点 在反比例函数 的图象上，
所以 .解得 ．根据 的几何意义可知，
．如图8，过点 作 轴的垂线，垂足
为点 ，则 .又根
据 的几何意义可知， ，所以 ．又
的面积为 ，且 ， ，所以 ，
即 ． 解得 或 ．又 ，所以 ．
【答案】 ; 2
图12
4.（2023·东营）如图12，在平面直角坐标系中，一
次函数 图象与反比例函数
图象交于 , 两点，
与 轴交于点 ，连接 ， .
（1）求反比例函数和一次函数的解析式.
图12
解：因为点 在反比例函数 的图象上，所以 .
解得 .所以反比例函数的解析式为 ．
因为点 在反比例函数 的图象上，所以 .
解得 ， （舍去）．
所以点 的坐标为 ．
因为点 ， 在一次函数 的
图象上，所以 解得
所以一次函数的解析式为 .
图12
（2）求 的面积.
解：因为点 为直线 与 轴的交点，把 代入函数 ，得 ,所以点 的坐标为 .
所以 .
所以
（3）根据图象，直接写出不等式 的解集.
解： 或 .
学习至此，请完成微专题练习（二） （第247页）
微专题练习（二）
与反比例函数有关的图形面积问题
类型一 有一边与坐标轴平行或重合
图1
1.如图1，直线 与双曲线 交于 ， 两点，
过点 作 轴，垂足为点 ，连接 .若
，则 的值为( ) .
A. B.4 C. D.8
图1
提示：因为直线 与双曲线 交于 , 两点，
所以点 与点 关于原点 中心对称.所以
.而 ，所以 .所以
.因为反比例函数图象在第二、四象限，所以
.所以 .
【答案】A
图2
2.（2023·淄博）如图2,在直线 上方的双曲线
上有一个动点 ，过点 作 轴的垂线，交
直线 于点 ，连接 , ，则 面积的最大值是
___.
图2
提示：设 ，则 ，所以 .
所以 .因为 ，所以二次函数图象开口向下，有最大值.
【答案】3
当 时， , ，
即点 在直线 上方的双曲线上.所以当 时， 有最大值，最大值是3.
图3
3.（2023·江西）如图3，已知直线 与反
比例函数 的图象交于点 ，
与 轴交于点 ，过点 作 轴的平行线交反比
例函数 的图象于点 .
（1）求直线 的函数解析式和反比例函数的解析式.
解：因为反比例函数 的图象与直线 交于点 ，所以 ， ，即 .
所以直线 的函数解析式为 ，反比例函数的解析式为 ．
图3
（2）求 的面积．
解：因为直线 的图象与 轴交于点 ，当 时， ，所以 .
因为 轴，直线 与反比例函数
的图象交于点 ，所以点 的纵坐标为1.
所以 ，即 .所以 .所以 .所以 ．
类型二 边不与坐标轴平行或重合
图4
4.（2021·湘潭）如图4，点 在反比例函数
的图象上， 轴，且交 轴于点 ，交反比例函数
的图象于点 ，已知 .
（1）求直线 的函数解析式.
解：因为点 在反比例函数 的图象上，所以 .解得 .
所以 .设直线 的函数解析式为 ，把 代入，得
.解得 .所以直线 的函数解析式为 .
图4
（2）求反比例函数 的解析式.
解：由（1）知， ，因为 轴，且交 轴于点 ，所以 .
因为 ，所以 .
故 .
把 代入 ，得 .
解得 .
所以反比例函数的解析式为 .
图4
（3）点 为反比例函数 图象上的一个动点，连接 交 轴于点 .当点 为 的中点时，求 的面积.
解：设 .
因为 ，所以 的中点 为 .
因为点 在 轴上，所以 .
解得 .
故 ， .
所以 .
图5
5.（2023·济宁）如图5，正比例函数 和反比
例函数 的图象交于点 ．
（1）求反比例函数的解析式.
解：因为正比例函数 的图象经过点 ，
所以 .解得 .所以 .
又因为反比例函数 的图象经过点 ，所以 .
解得 .所以反比例函数的解析式为 .
（2）将直线 向上平移3个单位长度后，与 轴交于点 ，与
的图象交于点 ，连接 , ，求 的面积．
图5
解：将直线 向上平移3个单位长度后，其函数解析式为 ，当 时， ，所以点 的坐标为 .
设直线 的函数解析式为 ，把 ， 代入，得 解得
所以直线 的函数解析式为 .
联立方程组
图5
解得 所以点 的坐标为 .
如图5，过点 作 轴，交 于点 .在 中，当 时， ，所以 .所以 ．