[教学设计]7.4 勾股定理逆定理
一、教学目标
1、通过计算、作图、度量发现由边长判定直角三角形的方法，类比勾股定理发现这个方法就是勾股定理的逆定理。
2、通过分析定理内容、题组训练，熟用勾股定理的逆定理。
3、通过具体题目识别勾股数组，能举例说明。
4、通过类比分析勾股定理与其逆定理，能区别两者，并能 综合应用。
二、教学重点与难点
重点： 1、掌握勾股定理的逆定理。
2、掌握勾股定理逆定理的简单应用。
难点：勾股定理的逆定理的证明及简单应用。
三、突破措施
通过计算和尺规作图，让学生在此过程中自己发现由边长判定直
角三角形的方法，将此方法与勾股定理对比，得出由边长判定直
角三角形的方法即为勾股定理的逆定理，通过适当练习加强勾股定理的逆定理解决问题的能力，同时培养“数形结合”思想。
四、教学准备
勾股定理逆定理课件，三角板、量角器和圆规。
五、教学过程
（一）引疑----问题引入，探勾股定理逆定理
多媒体展示问题：
1、三角形△ABC的三边长度分别为AC=6，BC=8，AB=10。
（1）计算一下，△ABC的边长满足AC2+BC2=AB2吗？
（2）利用尺规作图作△ABC，度量 △ABC的各个内角的度数，判断 △ABC的形状。
2、三角形△ABC的三边长度分别为AC=5，BC=12， AB=13，重复（1）（2）两个步骤。
要求：学生计算、操作、度量后，判断三角形的形状。
意图：让学生体验三角形的形状从怎样的三边数量关系中，演变而来。
问题深化：
以上这两个问题的提出和结论有什么相同点？
（1） 已知三角形的三边长 ；
（2）通过计算发现：三角形中两短边的平方和等于最长边的 平方 ；
( 3 ) 利用尺规作图作出三角形，度量内角发现：最长边对的角是直角，三角形是直角三 角形；
要求：学生先独立思考展示思维结果，出现的异议，再交流讨论。
师剖析：引导学生发现围成三角形的三边边长满足a2+b2=c2，三角形的形状是直角三角形，得出了由边长判定直角三角形的方法刚好是勾股定理的逆命题。这个逆命题是正确的，从而确定由边长判定直角三角形的方法是勾股定理的逆定理。引出课题---勾股定理的逆定理
意图：通过学生问题总结，逐步发现规律，掌握规律，引出勾股定理，加强了学生对知识的理解，培养了学生数形结合思想。
（二）释疑---解释勾股定理逆定理的三种语言
1、师问：请同学们用自己的语言总结勾股定理逆定理内容，即由边长判定直角三角形的方法。
2、多媒体展示准确的勾股定理逆定理内容：
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
3、引导学生将文字语言转化成数学、图形语言
三角形
三边关系
特殊三角形
各部分名称
c2+b2=a2
b,c是直角边，a是斜边，a对的∠A是直角
c2+a2=b2
a,c是直角边，a是斜边，b对的∠B是直角
b2+a2=c2
b,a是直角边，a是斜边，c对的∠C是直角
意图：学生经历勾股定理逆定理的探索过程后，能从自己理解的基础上，用自己的语言描述其内容，锻炼了学生由具体到抽象的概括能力；再转化为具体的数学语言和图形语言，进一步加深了对勾股定理逆定理的理解，为其应用做好了铺垫。
（三）用疑—用勾股定理的逆定理解决问题
第一层：怎么用勾股定理的逆定理判定直角三角形
勾股定理逆定理内容：
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
问题：（1）命题的“条件”和“结论”分别是什么?
（2）具体问题中如何实现“条件”？
要求：第（1）问学生独立回答，第（2）问交流合作。
师引导：静心聆听学生的回答后，继续问您能继续凝练您的结果吗？顺势引出，“找—算—看”三步法，“找”即找最长边，“算”即算出较短两边的平方和，最长边的平方，“看”即看两个结果，若相等是直角三角形，若不相等就不是直角三角形。
意图：以问题为导向，细化定理内容，指引学生思维将定理转化成实用的口诀，便于使用。
第二层：题组训练，用勾股定理的逆定理判定直角三角形
A层：（口答）
1、a、b、c分别是△ABC的三条边的长，判断△ABC是不是直角三角形
（1）a=1，b= ，c= ；
（2）a=2，b=3，c=4.
B层
2、一个三角形三边长为a，b，c，且a2-b2=c2，此三角形
是直角三角形吗？
3、设x>0，如果三角形的三边长分别为3x，4x，与5x，判断这个三角形的形状。
要求：A层题中数字计算简单，采用口答，锻炼学生的快速反应能力，B层笔答题，锻炼学生的做题步骤。
第三层：纵向加深勾股定理逆定理的应用，识别勾股数组。
问题：在题目“设x>0，如果三角形的三边长分别为3x，4x，与5x，判断这个三角形的形状”中，x分别取正整数时，对应的三角形的三边长分别是什么数？
学生很容易回答出正整数，由此引出勾股数组的概念。
一般地，把能够成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数组。
辩一辩：
1、0.3,0.4和0.5是勾股数吗？你能说出几组勾股数吗？
2、请同学们走进史海里漫游，找一找还存在哪些勾股数组的形式，并验证？
要求：第1题，能够辨出来，第2题找出来，能进行验证。
意图：从题目中引出特殊的勾股数组，再回到题目1中辨别，体会特殊性，走进史海找出勾股数组，能进行验证，加深勾股定理逆定理的应用能力。
第四层：勾股定理与逆定理的综合应用
求一求
一个机器零部件形状如图示， ∠A = 90 ° ，AB =4，AD=3
DC=12，BC=13，按规定∠BDC= 90 ° ，请你检测一下该零件
符合要求吗？
要求：学生分析后，试着自己写出过程。
意图：通过做题分清勾股定理与逆定理的使用条件，
相互结合使用，解决实际问题。
（四）测疑—巩固检测学生的目标达成度
巩固检测
（A）层
1、 △ABC中，如果BC2=AB2+AC2,则△ABC的直角是（ ）。
A、∠ A B、∠B C、∠C D、不确定
2、一个三角形的三边长为15cm，20cm，25cm，则这个三角形的面积是 。
（B）层
3、若△ABC的三边a、b、c满足∣a-6∣+ +（c-10）2=0
则△ABC是 。
4、一个三角形三边长为a，b，c，且a2-b2=c2，此三角形是直角三角形吗？
(C)层
5、如图， ∠ A= ∠D=90°，AB=CD=12cm，AD=BC=25cm，E是AD上一点，，且AE=16cm。试判断∠BEC是否为直角，并说明理由。
要求：A、B层采用抢答，小组一名同学展示，C层采用笔答，推荐一名较好的学生展示。
意图：分层出题，由易到难，满足学生不同层次学生的思维
（五）拓疑—拓展学生的探究三角形形状的通法
拓展提升
动手操作：
1、 △ABC的三边长为a、b、c，
（1）a=6，b=8，c=9，比较a2+b2与c2的大小；
(2）作出△ABC，度量内角度数，判定△ABC的形状
2、（1）a=6，b=8，c=11，比较a2+b2与c2的大小；
（2）作出△ABC，度量内角度数，判定△ABC的形状。
要求：让学生继续通过“找—算—看”三步，得到相应的数量关系，再尺规作图、度量发现三角形的形状。
意图：从探究勾股定理逆定理的思路引入，继续由边长判定锐角三角形、钝角三角形，发展研究数学问题方法的通性，继续渗透数形结合思想。
课堂小结
请同学们数一数自己的知识百宝箱里又添入了哪些知识宝贝？
布置作业
A、必做题
1、总结直角三角形的判定方法；
2、习题7.4A 组题；
B、选做题
习题 7.4 B 1、2题。
评测练习
一、用勾股定理的逆定理判定直角三角形
A层：（口答）
1、a、b、c分别是△ABC的三条边的长，判断△ABC是不是直角三角形
（1）a=1，b= ，c= ；
（2）a=2，b=3，c=4.
B层
2、一个三角形三边长为a，b，c，且a2-b2=c2，此三角形
是直角三角形吗？
3、设x>0，如果三角形的三边长分别为3x，4x，与5x，判断这个三角形的形状。
二、纵向加深勾股定理逆定理的应用，识别勾股数组。
1、0.3,0.4和0.5是勾股数吗？你能说出几组勾股数吗？
2、请同学们走进史海里漫游，找一找还存在哪些勾股数组的形式，并验证？
三、横向拓宽勾股定理与逆定理的综合应用
求一求
一个机器零部件形状如图示， ∠A = 90 ° ，AB =4，AD=3
DC=12，BC=13，按规定∠BDC= 90 ° ，请你检测一下该零件
符合要求吗？
四、巩固检测
（A）层
1、 △ABC中，如果BC2=AB2+AC2,则△ABC的直角是（ ）。
A、∠ A B、∠B C、∠C D、不确定
2、一个三角形的三边长为15cm，20cm，25cm，则这个三角形的面积是 。
（B）层
3、若△ABC的三边a、b、c满足∣a-6∣+ +（c-10）2=0
则△ABC是 。
4、一个三角形三边长为a，b，c，且a2-b2=c2，此三角形是直角三角形吗？
(C)层
5、如图， ∠ A= ∠D=90°，AB=CD=12cm，AD=BC=25cm，E是AD上一点，，且AE=16cm。试判断∠BEC是否为直角，并说明理由。
五、拓展提升
动手操作：
1、 △ABC的三边长为a、b、c，
（1）a=6，b=8，c=9，比较a2+b2与c2的大小；
(2）作出△ABC，度量内角度数，判定△ABC的形状
2、（1）a=6，b=8，c=11，比较a2+b2与c2的大小；
（2）作出△ABC，度量内角度数，判定△ABC的形状。
课件22张PPT。青岛版八年级下册 7.4勾股定理逆定理知识导入a2+b2=c2学习目标1、通过计算、作图、度量发现勾股定理的逆定理。
2、通过题组训练，熟用勾股定理的逆定理。
3、识别勾股数组，能举例说明。
4、能区别勾股定理与逆定理，并能综合应用。7.4勾股定理的逆定理三、学习过程问题：
1、三角形△ABC的三边长度分别为AC=3，BC=4，AB=5。
（1）计算一下，△ABC的边长满足AC2+BC2=AB2吗？
（2)利用尺规作图作△ABC，度量 △ABC的各个内 角，判断 △ABC的形状。
2、三角形△ABC的三边长度分别为AC=5，BC=12， AB=13。重复（1） （2)两个步骤。目标一：探定理想一想这两个问题的提出与结论有什么共同特点？（1）已知三角形的三边长；
（2）通过计算发现：三角形中两短边的平方和等于最长边的 平方；
（3)利用尺规作图作出三角形，度量内角发现：最长边对的角是直角，三角形是直角三 角形。A勾股定理
逆定理互逆数形由边长判定直角三角形的方法 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。勾股定理逆定理c2+b2=a2c2+a2=b2b2+a2=c2数学语言 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。目标二：用定理热身训练1、a、b、c分别是△ABC的三条边的长，判断△ABC是不是直角三角形
（1）a=1，b= ，c= ；
（2）a=2，b=3，c=4.
A组(口答）2、一个三角形三边长为a，b，c，且a2-b2=c2，此三角形
是直角三角形吗？解析：因为a2-b2=c2，所以a2=b2+c2，
即b2+c2= a2，
所以此三角形是直角三角形。3、设x>0，如果三角形的三边长分别为3x，4x，与5x，判断这个三角形
的形状。解析:因为a2+b2=（3x）2+（4x） 2=25x 2，
c2=（5x）2=25x2，
所以a2+b2=c2，
所以此三角形是直角三角形。在本题中，x是正整数时，直角
△ABC的三边长都是正整数
热身训练B组 一般地，把能够成为直角三角形三条边长的三个
正整数称为勾股数组。目标三：认识勾股数组辨一辨1、0.3,0.4和0.5是勾股数吗？你能说出几组勾股数吗？2、请同学们走进史海里漫游，找一找还存在哪些勾股数组的
形式？解析：不是；6、8、10, 5、12、13， 15、20、25等等。（柏拉图 n2-1，2n，n2+1） （n ﹥ 1的整数）（丢番图 m2-n2，2mn，m2+n2）（m﹥n,m与n都是正整数）（毕达哥拉斯2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）（n ﹥ 1的整数）
勾股定理
逆定理形数互逆目标四：勾股定理与逆定理的综合应用求一求一个机器零部件形状如图示， ∠A=90 ° ，AB =4，AD=3
DC=12，BC=13，按规定∠BDC=90 ° ，请你检测一下，该零件
符合要求吗？巩固检测A层
1、 △ABC中，如果BC2=AB2+AC2,则△ABC
的直角是（ ）。
A、∠ A B、∠B C、∠C D、不确定。
2、有七根细木棒，它们的长度分别是5、9、12、13、
15、16、20，用这七根木条制作直角三角尺，共有
（ ）种不同选择方法。
A、2 B、3 C、4 D、5.
B层
3、一个三角形的三边长为15cm，20cm，25cm，则这个三角
形的面积是 。
4、若△ABC的三边a、b、c满足∣a-6∣+ +（c-10）2=0
则△ABC是 。
AB150cm2直角三角形5、如图， ∠ A= ∠D=90°，AB=CD=12cm，
AD=BC=25cm，E是AD上一点，，且
AE=16cm。试判断∠BEC是否为直角，
并说明理由。C层请思考拓展提升 动手操作：
1、 △ABC的三边长为a、b、c，
（1）a=6，b=8，c=9，比较a2+b2与c2的大小；
(2）作出△ABC，度量内角度数，判定△ABC的形状2、（1）a=6，b=8，c=11，比较a2+b2与c2的大小；
（2）作出△ABC，度量内角度数，判定△ABC的形状。
答案： a2+b2> c2，锐角三角形。答案： a2+b2? c2，钝角三角形。课堂小结边长勾股数组勾股定理逆定理与勾股定理定理的综合应用边长数形结合作业A、必做题
1、总结直角三角形的判定方法；
2、习题7.4A组题；
B、选做题
习题7.4B1、2题。同学们再见
