微专题（一） 如何建立方程（组）和一次函数关系解应用问题 课件(共42张PPT) 2024年中考数学总复习专题突破

(共42张PPT)
复习讲义
第一篇 基础过关
第三部分 函数
微专题（一） 如何建立方程（组）和一次函数关系解应用问题
类型一 购买、 销售问题
方法解读
解决购买、销售问题的关键是要认真审题，找出等量关系，从而列
出方程（组）或函数解析式.列一元一次方程需要找出一个等量关系，
列二元一次方程组需要找出两个等量关系.
购买、销售问题常涉及的量有进价（成本）、标价、售价、折扣、
利润、利润率等，它们之间的基本关系是：售价＝标价×折扣，利润＝
售价－进价（成本），销售额 m≥ 售价×销量，利润率 等.
对于求最大利润问题，一般转化为一次函数的增减性问题.对于一
次函数 ，若 ，则 的值随 值的增大而增大，
的值最大时， 的值最大；若 ，则 的值随 值的增大而减小，
的值最小时， 的值最大.
方法应用
1.（2021·恩施）“互联网 ”让我国经济更具活力，直播助销就是运用
“互联网 ”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地.
甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销，已知每千克花生的售价比每千
克茶叶的售价低40元，销售 花生与销售 茶叶的总售价相同.
（1）求每千克花生、茶叶的售价.
解：设每千克花生的售价为 元，则每千克茶叶的售价为 元.
由题意知， .解得 .所以 .
答：每千克花生的售价为10元，每千克茶叶的售价为50元.
（2）已知每千克花生的成本为6元，每千克茶叶的成本为36元，甲计划两种产品共助销 ，总成本不高于1 260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍，则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？
解：设花生销售 ，则茶叶销售 可获得最大利润，利润
为 元.
由题意知， 解得 .
由题意知， .
因为 ，所以 随 的增大而减小.
因此当 时， 取得最大值，最大值为 .
答：当花生销售 ，茶叶销售 时，可获得最大利润，最大利润是540元.
思路分析（1） 设每千克花生的售价为 元，则每千克茶叶的售价为
_________元.
根据花生和茶叶的销量与售价关系，得方程
_________________.
解这个方程，得 ____.
因此，每千克花生的售价为____元，每千克茶叶的售价为____元.
10
10
50
（2）设花生销售 ，则茶叶销售_________ 可获得最大利润，利
润为 元.
销售利润与花生、茶叶的销量有关.当每千克花生、茶叶的成本和售价
确定后，则利润 是花生数量 的函数，即
_____________.
为使总成本不高于1 260元， 不能小于____；为使花生的数量不高于
茶叶数量的2倍， 不能大于____.综合起来，可知 的取值是________
________.
根据 的取值求 的最大值即可.
30
40
类型二 行程问题
方法解读
行程问题多以图象形式给出,一般利用待定系数法求出函数解析式,
即把图象中关键点的坐标代入函数解析式求解.若图象是以分段的形式
出现，可从以下几个方面入手:（1）寻找分段函数的分段点;（2）针对
每一段函数关系，求解相应函数的解析式;（3）利用函数性质和已知条
件求解问题.
行程问题常涉及的量有路程、平均速度、时间,它们之间的基本关
系是:路程 平均速度×时间.
方法应用
2.某景区在同一线路上顺次有三个景点A，B，C，
甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；
乙花 时间排队后乘观光车先到景点B，在
（1）甲的速度是____ .
60
提示：甲的速度为 .
B处停留一段时间后，再步行到景点C.甲、乙两人离景点A的路程
关于时间 的函数图象如下图所示.
（2）当 时，求乙离景点A的路程
与 的函数解析式.
解：当 时，设 ，把点
， 的坐标代入，得
解得
所以 .
（3）乙出发后多长时间与甲在途中相遇？
解：当 时，由 ，
解得 ，而 ，所以乙出发后
与甲在途中相遇；当 时，由
，解得 ，而 ，所以乙出发后 与
甲在途中相遇.答：乙出发后 和 与甲在途中相遇.
（4）若当甲到达景点C时，乙与景点C的路程为
，则乙从景点B步行到景点C的速度是多少？
解：设乙从景点B步行到景点C的速度是 .
由题意，得 .
解得 .
答：乙从景点B步行到景点C的速度是 .
思路分析（1） 由图象可知，甲走 用时 ，因此甲的速度
是____ .
60
（2）当 时，设乙离景点A的路程 与 的函数解析式为
.
把点 ， 的坐标代入函数解析式，得方程组
_____________，
_________________.
解这个方程组，得
_____，
________.
300
因此， 与 的函数解析式为_________________.
（3）结合（1）知，甲离景点A的路程 与 的函数解析式为________.
由图象可知，当 ， 时，两函数图象有交点，说
明甲、乙两人在途中相遇，因此分两种情况求解.
当 时，由甲、乙两人在途中相遇时 相等，得方程
___________________.
解这个方程，得 ____.
当 时，由甲、乙两人在途中相遇时 相等，得方程
____________.
解这个方程，得 ____.
综合起来，可知乙出发后___ 和____ 与甲在途中相遇.
25
50
5
30
（4）设乙从景点B步行到景点C的速度是 .
根据甲、乙两人的路程关系，得方程
________________________________.
解这个方程，得 ____.
因此，乙从景点B步行到景点C的速度是____ .
68
68
类型三 选择方案问题
方法解读
在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常
用到函数知识.解题时，一般先根据题意建立一次函数解析式，再根据
题目要求及实际意义列出不等式（组），求出自变量的取值范围，然后
利用函数的增减性求出在自变量的取值范围内函数的最大值或最小值，
从而得出最佳方案.
方法应用
3.为拓宽学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，某中学组织八年级全体学生前往某研学基地开展研学活动.在此次活动中，若每名老师带领14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每名老师带领15名学生，就有1名老师少带6名学生.现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示.
客车 甲型 乙型
载客量/（人/辆） 35 30
租金/（元/辆） 400 320
学校计划此次研学活动的租车总费用不超过3 000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师.
（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
解：设参加此次研学活动的老师有 人，学生有 人.
根据题意，得 解得
答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人.
客车 甲型 乙型
载客量/（人/辆） 35 30
租金/（元/辆） 400 320
（2）若既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老
师，则租车总数量为___辆.
8
提示：因为 辆 （人）， （辆），
所以租车总数量为8辆.
客车 甲型 乙型
载客量/（人/辆） 35 30
租金/（元/辆） 400 320
（3）学校共有几种租车方案？租车总费用最少是多少？
解：设租 辆甲型客车，则需租 辆乙型客车.
根据题意，得 解得 .
因为 为正整数，所以 ，3，4，5.所以共有4种租车方案.
设租车总费用为 元，则 .
因为 ，所以 的值随 值的增大而增大.
所以当 时， 取得最小值，最小值为 .
答：学校共有4种租车方案，租车总费用最少为2 720元.
客车 甲型 乙型
载客量/（人/辆） 35 30
租金/（元/辆） 400 320
思路分析（1） 设参加此次研学活动的老师有 人，学生有 人.
根据两种带队情况的师生人数关系，得方程组
_____________，
____________.
解这个方程组，得
____，
_____.
16
234
因此，参加此次研学活动的老师有____人，学生有_____人.
16
234
（2）可以从乘车人数的角度考虑租车的总数量，要注意到以下要求：
①保证所有的师生都有车坐；
②使每辆车上至少要有2名老师.
根据①可知，租车总数量不能小于___辆；根据②可知，租车总数量不
能大于___辆.综合起来，可知租车总数量为___辆.
8
8
8
（3）租车费用与所租车的种类有关.可以看出，当租车总数 确定后，
在满足各项要求的前提下，尽可能少地租用甲型客车可以节省费用.
设租 辆甲型客车，则租车总费用 （单位：元）是 的函数，即
.
将（2）中确定的 值代入上式，化简这个函数，得
_____________.
为使所有师生有车坐， 不能小于___；为使租车总费用不超过3 000
元， 不能超过___.综合起来，可知 的取值是_______.
根据 的取值求 的最小值即可.
2
5
2,3,4,5
学习至此，请完成微专题练习（一） （第242页）
微专题练习（一）
如何建立方程（组）和一次函数关系解应用问题
类型一 购买、 销售问题
1.（2023·成都）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会在
成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店购买A，B
两种食材制作小吃．当A种食材购买 ，B种食材购买 时，共需
68元；当A种食材购买 ，B种食材购买 时，共需280元．
（1）求A，B两种食材的单价.
解：设 种食材的单价为 元，B种食材的单价为 元.
由题意，得 解得
答：A种食材单价是38元，B种食材单价是30元.
（2）该小吃店需要购买两种食材共 ，其中购买A种食材的千克数
不少于B种食材千克数的2倍.当A，B两种食材分别购买多少千克时，总
费用最少？并求出最少总费用．
解：设种食材购买种食材购买总费用为元.
由题意，得
随的增大而增大
当时，取得最小值，最小值为元).
答：当种食材购买种食材购买时，总费用最少，最少总费用是元．
2.（2023·济南）某校开设智能机器人编程的课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2 000元购买A型机器人模型和用1 200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元.
解：设A型机器人模型的单价是 元，B型机器人模型的单价是 元．
根据题意，得 .解得 .
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意．
.
答：A型机器人模型的单价是500元，B型机器人模型的单价是300元．
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打8折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费多少元？
解：设购买A型机器人模型 台，购买B型机器人模型 台，购买A型和B型机器人模型共花费 元.
根据题意，得 ，即
因为 ，所以 随 的增大而增大．
又由题意知， .
解得 ．所以当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 .
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费11 200元．
类型二 行程问题
图1
3.（2023·济南）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，
小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各
自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图
1， 和 分别表示两人到小亮家的距离 和时
间 的关系，则出发_____ 后两人相遇．
图1
提示：设 的函数解析式为 ，把
， 代入，得 解得
所以 的函数解析式为 .设
的函数解析式为 ，把 代入，得
【答案】0.35
.解得 .所以 的函数解析式为 .令 ，即
，解得 .所以出发 后两人相遇．
图2
4.（2023·鄂州）1号探测气球从海拔 处
出发，以 的速度竖直上升．与此同
时，2号探测气球从海拔 处出发，以
的速度竖直上升．两个探测气球都
上升了 ．1号、2号探测气球所在位置的
海拔 ， （单位： ）与上升时间
（单位： ）的函数关系如图2所示．请根据图象回答下列问题：
图2
（1） ____， ____.
0.5
30
提示：由题意知，1号探测气球从海拔
处出发，以 的速度竖直上升，所
以 .当 时，两个气球相
遇， ，所以
.由2号探测气球从海拔 处出发，
以 的速度竖直上升，可知
，把 代入，得 .解得 .所以
.
图2
（2）请分别求出 ， 与 的函数解析式.
解：由（1）知， ， .
图2
（3）当上升多长时间时，两个探测气球的
海拔差为 ？
解：分两种情况讨论.
②2号探测气球比1号探测气球海拔高 ，由 ，解得 ； 号探测气球比2号探测气球海拔高 ，由 ，
解得 ．
综上可知，上升 或 时，这两个探测气球的海拔差为 ．
类型三 选择方案问题
图3
5.（2023·丽水）某公司为促进生产，提供了两种付给员工月报酬的方案.如图3，员工可以任选一种方案与公司签订合同，看图解答下列问题:
（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多.
解：观察图象知，员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多.
图3
（2）求方案二的 关于 的函数解析式.
解：设方案二的函数解析式为 ，把 ， 代入，得 解得
所以方案二的 关于 的函数解析式为 .
图3
（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案？
解：由两个方案的图象交于点 知，若生产件数 的取值范围为 ，则选择方案二；若生产件数 ，则选择两个方案都可以；若生产件数 ，则选择方案一.
6.（2020·河池）某水果市场销售一种香蕉.甲店的香蕉价格为每千克4元；
乙店的香蕉价格为每千克5元，若一次购买 以上，则超过 部分
的价格打7折.
（1）设购买香蕉 ，付款金额为 元，分别就两店的付款金额写出
关于 的函数解析式.
解：由题意，得 .
当 时， ；
当 时， .
故
（2）到哪家店购买香蕉更省钱？请说明理由.
解：①当 时， .
②当 时，令 ，即 ，解得 .
所以当 时， ；当 时， .
综上可知，购买香蕉少于 时，到甲店购买更省钱；购买香蕉等于 时，甲、乙两店价钱一样；购买香蕉多于 时，到乙店购买更省钱.