第二十八章锐角三角函数练习卷（含解析）2023-2024学年九年级数学下册人教版

第二十八章锐角三角函数练习卷2023-2024学年九年级下册人教版
一、单选题
1．的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，，则约为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，点F是斜边的中点，以为边作正方形若，则（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，是的重心，点在边上，，如果，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，若，则为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，点D，E分别是边的中点，于点F，，，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
7．如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
①作线段，分别以A，B为圆心，以长为半径作弧，两弧的交点为C；
②以点C为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点D；
③连结、．则下列说法不正确的是（ ）
A．是正三角形 B．
C．点C在的中垂线上 D．
9．如图，矩形的顶点，，点C在y轴正半轴上，D是上一点，连接，作点A关于的对称点E，连接，，当时，的延长线恰好经过点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，A、B、C、D四点均在由边长为1的小正方形组成的网格格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算： ．
12．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为 ．
13．如图，是的切线，为切点，连接，．若，，，则的长度是
14．如图，在中，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在线段上时，则线段的长为 ．

15．如图，在中，，，，点D是的中点，点E是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点F，若为直角三角形，则的长为 ．

16．如图，已知四边形内接于圆，连接、．若为等边三角形，，点、、共线，则阴影部分的面积为 ．
17．如图，在四边形中，，作平分线交于点，交延长线于点，且，则 ．
18．如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图2，根据割圆八线图，在扇形中，，和都是的切线，点和点是切点，交于点，交于点，．若，则的长为 .
三、解答题
19．计算：．
20．已知：四边形中，，点E在上，且，连接、，点F是的中点，连接．若．

(1)求证：；
(2)当，时，求的值．
21．如图，在斜坡传送带上有一矩形，已知斜坡夹角，矩形的边在上，对角线．
(1)求度数；
(2)当时，求的长．（参考数据：；；，结果精确到 ）
22．如图，矩形中，，点是的中点，连接． 将沿着折叠后得，延长交于，连接．
(1)求证：平分．
(2)若，，求的长．
(3)若，，求的值．
23．如图，分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点B，F在线段AC上，点在DE上，支杆．请根据以上信息，解决下列问题：
(1)求的长度（结果保留根号）；
(2)求拉杆端点到水平滑杆的垂直距离（结果保留到）．（参考数据：）
24．如图，已知，是的直径，，与的边，分别交于点，，连接并延长，与的延长线交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值；
(3)在（2）的条件下，若的平分线交于点，连接交于点，求的值．
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，根据60度和30度角的正切值分别为和进行求解即可．
【详解】解：．
故选：B．
2．B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一．先利用等腰三角形三线合一性质求出，然后利用等边对等角求出的度数，最后在中，利用余弦定义求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
，
∵，，
∴
∵，，
，
故选B．
3．C
【分析】先根据正方形的面积可得，从而利用直角三角形，斜边上的中线性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵
∴，
在中，点F是斜边的中点，
∴
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，正方形的性质，熟练掌握勾股定理，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的性质与判定，余弦的定义； 根据题意得出，设，则，进而根据得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交于点，连接交于点，
∵是的重心，点在边上，
∴，
∴
∴
∴
设，则，
∵，
∴，
∴，即
∴
解得：（负值舍去）
∴
∴，
故选：D．
5．A
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，绝对值和偶次方的非负性，根据绝对值和偶次方的非负性可得，，，从而求出，，然后根据三角形的内角和定理进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，，
，，
，，
，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，余弦函数，掌握这些知识是关键．由直角三角形斜边上中线的性质可求得，再由余弦定义即可求得结果．
【详解】解：∵D 、E分别是边的中点，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故选：C．
7．C
【分析】本题主要考查了锐角三角三角函数，根据余割，正弦，余弦的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意；
B、，原说法错误，不符合题意；
C、，原说法正确，符合题意；
D、，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
8．D
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定以及性质，线段垂直平分线的判定以及特殊角的三角函数值．由作图可知，可判断A，C，由三角形外角定理和特殊角的三角函数值可推断出B，D．
【详解】由作图可知，
∴是等边三角形，，
故A正确，
由作图可知，
∴点C在的中垂线上，
故C正确，
∵，，
∴，
故B正确，
，
故D错误，
故选：D
9．B
【分析】本题考查了坐标与图形，正切的定义，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等知识， 接，先利用正切的定义求出，可证明，得出，然后求解即可．
【详解】解∶连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵A，E关于，
∴，，，
∵的延长线恰好经过点B，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
故选∶B．
10．B
【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．连接，作，利用勾股定理求出，利用面积法求出，然后利用正弦的定义即可求出，同理可求出，然后相加即可．
【详解】连接，作，
由勾股定理，得
，．
∵，
∴，
∴．
同理可求出，
∴．
故选B．
11．/0.625
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
本题中利用负整数指数幂的运算法则和代入特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了求锐角三角函数值，勾股定理，等腰三角形的性质，连接，证明，进而根据余弦的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴
∴
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理以及三角函数的应用，连接，由的正切值求出，再根据勾股定理求出即可
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，为切点，
∴
在中，，
又
∴，
在中，，，
∴
故答案为：
14．11
【分析】本题主要考查了平行四边形和折叠．熟练掌握平行四边形性质和折叠性质，勾股定理解直角三角形，是解题关键．
过点D作，交延长线于点G，根据平行四边形性质和折叠性质推出，根据正切定义推出，在中，运用勾股定理求出，，在中，运用勾股定理求出，得到 ，．
【详解】过点D作，交延长线于点G．
∵在中，，，
∴，，
∵，，
∴，，
由折叠知，，
∴，
∴.
在中，，
∴设，，
∵，
∴，
解得，，
∴，，
∵在中， ，
∴
∴．
故答案为：11．

15．1或
【分析】本题考查翻折变换、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，分，两种情形分别画出图形，结合三角函数及勾股定理求解即可得到答案；
【详解】解：如图，当时．
在中，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
， ，
如图，当时，作交的延长线于H．设，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，，，
在中，∵，
∴，
解得，
综上所述，满足条件的的值为1或，
故答案为：1或．
16．
【分析】本题考查了垂径定理、锐角三角函数、扇形面积公式等知识，过点作于点，与相交于点，由点共线，可知是的直径，进而得垂径定理，根据是等边三角形，求得的长，分别求出，即可求解．
【详解】解：过点作于点，与相交于点，
点共线，
是的直径，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
故答案为．
17．
【分析】本题考差了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，求一次函数交点坐标．以交点为原点，建立平面直角坐标系，得出，过点N作y轴的垂线，垂足为点E，推出，通过证明，得出，用待定系数法求出的函数解析式为，的函数解析式为，进而求得，根据两点之间的距离公式得出，，即可解答．
【详解】解：以交点为原点，建立平面直角坐标系，
∵，
∴，．
∴，，
∴，
过点N作y轴的垂线，垂足为点E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
设的函数解析式为，
把代入，
，
解得：，
∴的函数解析式为，
设的函数解析式为，
把，代入，
，
解得：，
∴的函数解析式为，
联立，，
，
解得：，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
18．/
【分析】根据切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可求出，再根据直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值求出，即可．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
，
是的切线，点是切点，
，
即，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及解直角三角形，掌握切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及解直角三角是正确解答的关键．
19．0
【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质化简，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，求零次幂是解题的关键．先化简各式，再计算即可．
【详解】解：原式
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等积法求线段，以及求角的正弦值：
（1）根据同角的余角相等，结合证明三角形全等即可；
（2）勾股定理求出，过F点作，交于点G，等积法求出，勾股定理求出，进而利用正弦的定义进行求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
又
，
，
又，，
．

（2），
在中，有，
又，
，
，
又点F是的中点，
，
．
过F点作，交于点G，
在中，，
，
又
，
在中，，
．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质、对顶角相等、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）延长交于点，可知，可得在中，易知，根据矩形的性质可得，然后由求解即可；
（2）在中，由锐角三角函数可得，然后求解即可．
【详解】（1）解：延长交于点，如下图，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
在中，
∵，
∴．
22．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据折叠性质和矩形性质可得，再根据点M是的中点，可证，进而证明，即可证出；
（2）由折叠性质和由（1）得，可以求出，即可证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解；
（3）由折叠性质和第（2）问可得，进而求出，由（1），可求，进而求出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠性质可得：，
∵延长交于E，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
由折叠性质可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）证明：由折叠性质可得：，
由（1）得：，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∵，点是的中点，
∴；
∴
∴
解得：
（3）解：由（2）得：，
∵，
∴，
由（2）得：，
由折叠性质得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴，
由折叠性质的：，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查矩形与折叠问题，三角函数、全等三角形的证明与性质、相似三角形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键．
23．(1)的长度为
(2)拉杆端点到水平滑杆的距离为
【分析】（1）过作于，解直角三角形即可得到结论；
（2）过作交的延长线于，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：过作于点，
，
，
在直角中，
，
，，
，
，
，
，
．
答：的长度为．
（2）解：过作交的延长线于
，
答：拉杆端点到水平滑杆的距离为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
24．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接DF，由圆周角性质可得，则利用平行线的判定与性质可得，再根据等腰三角形性质及直角三角形性质可推出，即可证得结论；
（2）由相似三角形的判定可得，则推出，由得出，可利用勾股定理求得，即可求出的值；
（3）连接MN，并延长CO与AF，分别相交于点P，点Q，连接AQ，利用（2）所得结论及已知分别求得，，，，，，再由相似三角形的判定及性质可推出，代入求值后即可求得的值．
【详解】（1）证明：如图，连接DF，
∵是的直径，
∴．
∴DF∥AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥OC．
∴DF∥OC．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
设，则．
由勾股定理得，
即，
解得，（不合题意，舍去）．
∴．
∵，
∴；
（3）解：连接MN，并延长CO与AF，分别相交于点P，点Q，连接AQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，AB∥OC．
∴，
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∵
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵AB∥OC，
∴．
∴．
∵，
∴．
在Rt△APO中，由勾股定理得．
∴．
在Rt△APH中，由勾股定理得．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题属于圆的综合问题，考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质及求角的三角函数值等知识，熟练掌握圆的相关知识及相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键．