第一至三章综合练习（一）（含解析）2023-2024学年北师大版数学七年级下册

七年级下册第一至三章综合练习（一）
一．选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1．下列计算正确的是（　　）
A．a2 a＝2a B．（a2）3＝a6 C．（ab）2＝ab2 D．a8÷a2＝a4
2．水是生物赖以生存的必要物质，经测算，一个水分子的直径约有0.0000004mm，数据“0.0000004”用科学记数法表示为（　　）
A．4×10﹣6 B．4×10﹣7 C．0.4×10﹣6 D．4×107
3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOD＝110°，则∠COE度数为（　　）
A．125° B．130° C．135° D．145°
4．已知方格纸中线段AB、线段CD和线段BE，如图所示．下列四位同学的观察结论正确的有（　　）
甲同学：AB∥CD；
乙同学：∠C和∠DAC互余；
丙同学：线段AB的长为点A到直线BE的距离；
丁同学：直线BE与直线CD互相垂直．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，A处在B处的西北方向，A处在C处的南偏西80°方向，从A处观测B，C两处的视角∠BAC的大小是（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
6．一根弹簧长8cm，它所挂物体的质量不能超过5kg，并且所挂的物体每增加1kg，弹簧就伸长0.5cm，则挂上物体后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）（0≤x≤5）之间的关系式为（　　）
A．y＝0.5（x+8） B．y＝0.5x﹣8
C．y＝0.5（x﹣8） D．y＝0.5x+8
7．如图，已知正方形ABCD的边长为4，现有一动点P从点B出发，沿着B→C→D→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动，则S△PAB与运动时间t（秒）之间的关系图象是（　　）
A．B． C．D．
8．代数式x2﹣4x+3的最小值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．3 D．5
二．填空题（共8小题，每题3分，共24分）
9．计算 （3.14﹣3）0+（）﹣3＝　 　．
10．已知∠1与∠2互补，∠1＝72°，则∠2＝　 　°．
11．若2a＝5，2b＝3，则2a﹣b的值为 　 　．
12．一个边长为2cm的正方形，若边长增加xcm，面积增加ycm，则y与x之间的函数关系式为　 　．
13．已知长方形的面积为6a2+18ab，长为3a，则该长方形的周长为 　 　．
14．若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3倍少24°，则∠A的度数是 　 　．
15．把一个直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝35°，则∠2的度数为 　 　．
第15题图 第16题图
16．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程s（m）和小明所用时间t（min）的关系图，则下列说法中正确的是 　 　．①小明吃早饭用时5min；②小华到学校的平均速度是240m/min；③小明跑步的平均速度是100m/min；④小华到学校的时间是7：05．
三．解答题（共9小题）
17．用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：∠AOB，点P在OA上，求作：点C，使点C在∠AOB内部，且PC∥OB，PC＝OP．
（1）a2 a4﹣（a2）3﹣（2a）3； （2）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）．
化简求值：[4（x2+y）（x2﹣y）﹣（2x2﹣y）2]÷y，其中x，y＝3．
20．补全证明过程：（括号内填写理由）
一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于A、G、H、D，如果∠1＝∠2，∠A＝∠D，求证：∠B＝∠C．
证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3，（ 　 　）
∴∠2＝∠3，（ 　 　）
∴CE∥BF，（ 　 　）
∴∠C＝∠4，（ 　 　）
又∵∠A＝∠D，（ 　 　）
∴AB∥　 　，（ 　 　）
∴∠B＝∠4，（ 　 　）
∴∠B＝∠C．（等量代换）
21．综合与实践
如图1，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图2．长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）
E．
（1）图1中长方形的面积S1＝　 　；图2中长方形的面积S2＝　 　；比较S1　 　S2（选填“＜”、“＝”或“＞”）；
（2）现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．
①求正方形的边长；（用含m的代数式表示）
②试探究：该正方形的面积S与图1中长方形的面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，并求出这个常数．
22．已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）若∠EDC＝2∠C，求∠C的度数；
（2）求证：BE∥CD．
23．小强从家骑自行车去体育场，在那里锻炼了一段时间后又骑自行车到文具店去买笔，然后骑自行车回家，小强离家的距离y（km）与所用的时间x（h）的关系如图所示．
观察图象，解答下列问题：
（1）小强到达离家最远的地方用了 　 　h；
（2）小强出发2.5h后离家 　 　km；
（3）求小强从家出发后，经过多长时间离家10km．
24．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°）．
（1）如图1，①若∠DCE＝40°，直接写出∠ACB的度数是 　 　度．
②若∠ACB＝150°，直接写出∠DCE的度数是 　 　度．
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系是 　 　．
（3）若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转，
①当旋转至BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE的度数是 　 　度．
②继续旋转至BC∥DA（如图3）时，直接写出∠ACE的度数是 　 　度
25．观察下列算式，尝试问题解决：
杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n＝0，1，2，3，4，5..）的计算结果中的各项系数：
（1）请根据上题中的杨辉三角系数集”，仔细观察下列各式中系数的规律，并填空：（a+b）1＝a+b各项系数之和1+1＝2＝21（a+b）2＝a2+2ab+b2各项系数之和1+2+1＝4＝22（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3各项系数之和1+3+3+1＝8＝23
①请补全下面展开式的系数：（a﹣b）6＝a6+　 　a5b+15a4b2+　 　a3b3+15a2b4﹣6ab5+b6
②请写出（a+b）10各项系数之和：　 　
（2）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，求a1+a2+a3+…+a16+a17的值．
（3）你能在（2）的基础上求出a2+a4+a6+…+a14+a16的值吗？若能，请写出过程．
七年级下册第一至三章综合练习（一）
一．选择题（共8小题）
1．下列计算正确的是（　　）
A．a2 a＝2a B．（a2）3＝a6 C．（ab）2＝ab2 D．a8÷a2＝a4
【解答】解：A、a2 a＝a3，故A不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故B符合题意；
C、（ab）2＝a2b2，故C不符合题意；
D、a8÷a2＝a6，故D不符合题意；
故选：B．
2．水是生物赖以生存的必要物质，经测算，一个水分子的直径约有0.0000004mm，数据“0.0000004”用科学记数法表示为（　　）
A．4×10﹣6 B．4×10﹣7 C．0.4×10﹣6 D．4×107
【解答】解：将0.0000004用科学记数法表示为4×10﹣7．
故选：B．
3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOD＝110°，则∠COE度数为（　　）
A．125° B．130° C．135° D．145°
【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝110°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝70°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE∠BOD＝35°，
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝145°．
故选：D．
4．已知方格纸中线段AB、线段CD和线段BE，如图所示．下列四位同学的观察结论正确的有（　　）
甲同学：AB∥CD；
乙同学：∠C和∠DAC互余；
丙同学：线段AB的长为点A到直线BE的距离；
丁同学：直线BE与直线CD互相垂直．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：连接AE，
由图可知：AB∥CD，故甲同学说法正确；
由勾股定理得：AD2＝2，CD2＝22+32＝13．AC2＝12+42＝17，
AB2＝22+32＝13，BE2＝22+32＝13．AE2＝52+12＝26，
∴AD2+CD2≠AC2，AB2+BE2＝AE2，
∴△ADC不是直角三角形，△ABE是直角三角形
∴∠ACD和∠DAC不是互余关系，故乙同学说法错误，
∴AB⊥BE，
∴线段AB的长为点A到直线BE的距离；故丙同学说法正确，
∵AB∥CD，
∴CD⊥BE，
∴直线BE与直线CD互相垂直；故丁同学说法正确，
∴结论正确的有3个，
故选：C．
5．如图，A处在B处的西北方向，A处在C处的南偏西80°方向，从A处观测B，C两处的视角∠BAC的大小是（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【解答】解：如图，
根据题意可知，∠ABD＝45°，∠ACE＝80°，
∵AD∥CE，
∴∠ADB＝∠ACE＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣45°﹣80°＝55°．
故选：B．
6．一根弹簧长8cm，它所挂物体的质量不能超过5kg，并且所挂的物体每增加1kg，弹簧就伸长0.5cm，则挂上物体后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）（0≤x≤5）之间的关系式为（　　）
A．y＝0.5（x+8） B．y＝0.5x﹣8
C．y＝0.5（x﹣8） D．y＝0.5x+8
【解答】解：∵挂上1kg的物体后，弹簧伸长0.5cm，
∴挂上x kg的物体后，弹簧伸长0.5x cm，
∴弹簧总长y＝8+0.5x，
即弹簧总长度y（单位：cm）随所挂物体质量x（单位：kg）变化的关系式为：y＝0.5x+8（0≤x≤5）．
故选：D．
7．如图，已知正方形ABCD的边长为4，现有一动点P从点B出发，沿着B→C→D→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动，则S△PAB与运动时间t（秒）之间的关系图象是（　　）
A．B． C．D．
【解答】解：由题意可知，
动点P在B到C的过程中，△ABP的面积由小开始变大，到点C时达到最大值；
动点P在C到D的过程中，△ABP的面积保持不变；
动点P在D到A的过程中，△ABP的面积由大变小，到点A时达到最小．
故选：A．
8．代数式x2﹣4x+3的最小值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．3 D．5
【解答】解：x2﹣4x+3
＝x2﹣4x+4﹣1
＝（x﹣2）2﹣1，
则当x＝2时，代数式x2﹣4x+3取得最小值，最小值是﹣1，
故选：A．
二．填空题（共8小题）
9．计算 （3.14﹣3）0+（）﹣3＝　﹣7　．
【解答】解：（3.14﹣3）0+（）﹣3＝1﹣8＝﹣7，
故答案为﹣7．
10．已知∠1与∠2互补，∠1＝72°，则∠2＝　108　°．
【解答】解：∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝72°，
∴∠2＝108°，
故答案为：108．
11．若2a＝5，2b＝3，则2a﹣b的值为 　　．
【解答】解：∵2a＝5，2b＝3，
∴2a﹣b
＝2a÷2b
，
故答案为：．
12．一个边长为2cm的正方形，若边长增加xcm，面积增加ycm，则y与x之间的关系式为　y＝x2+4x　．
【解答】解：由题意得：
y＝（x+2）2﹣22
＝x2+4x．
故答案为：y＝x2+4x．
13．已知长方形的面积为6a2+18ab，长为3a，则该长方形的周长为 　10a+12b　．
【解答】解：根据题意，得长方形的宽：（6a2+18ab）÷3a＝2a+6b，
长方形的周长：2（3a+2a+6b）
＝10a+12b，
故答案为：10a+12b．
14．若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3倍少24°，则∠A的度数是 　12°或129°　．
【解答】解：∵∠A与∠B的两边分别平行，
∴∠A和∠B相等或互补，
①若∠A＝∠B，
又∵∠A＝3∠B﹣24°，
解得∠A＝12°．
②若∠A+∠B＝180°，
又∵∠A＝3∠B﹣24°，
解得∠A＝129°．
故答案为：12°或129°．
15．把一个直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝35°，则∠2的度数为 　55°　．
【解答】解：如图，根据题意得：∠ACB＝90°，DE∥FG，
过点C作CH∥DE交AB于H，
∴CH∥DE∥FG，
∴∠BCH＝∠1＝35°，
∴∠HCA＝90°﹣∠BCH＝55°，
∴∠2＝∠HCA＝55°，
故答案为：55°．
16．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程s（m）和小明所用时间t（min）的关系图，则下列说法中正确的是 　①②③　．①小明吃早饭用时5min；②小华到学校的平均速度是240m/min；③小明跑步的平均速度是100m/min；④小华到学校的时间是7：05．
【解答】解：由图象可得，
小明吃早餐用时13﹣8＝5分钟，故①正确，
小华到学校的平均速度是：1200÷（13﹣8）＝240米/分，故②正确，
小明跑步的平均速度是：（1200﹣500）÷（20﹣13）＝100米/分，故③正确，
小华到学校的时间是7：13，故④错误，
所以说法中正确的是①②③．
故答案为①②③．
三．解答题（共9小题）
17．用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：∠AOB，点P在OA上，求作：点C，使点C在∠AOB内部，且PC∥OB，PC＝OP．
【解答】解：如图，先在OA的右侧作∠APM＝∠AOB，再以点P为圆心，OP的长为半径画弧，交PM于点C，
则点C即为所求．
18．（1）a2 a4﹣（a2）3﹣（2a）3；
（2）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）．
【解答】解：（1）a2 a4﹣（a2）3﹣（2a）3
＝a6﹣a6﹣8a3
＝﹣8a3；
（2）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）
＝x2+4x+4﹣（x2﹣1）
＝x2+4x+4﹣x2+1
＝4x+5．
19．化简求值：[4（x2+y）（x2﹣y）﹣（2x2﹣y）2]÷y，其中x，y＝3．
【解答】解：原式＝（4x4﹣4y2﹣4x4+4x2y﹣y2）÷y＝（﹣5y2+4x2y）÷y＝﹣5y+4x2，
当x，y＝3时，原式＝﹣15+1＝﹣14．
20．补全证明过程：（括号内填写理由）
一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于A、G、H、D，如果∠1＝∠2，∠A＝∠D，求证：∠B＝∠C．
证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3，（ 　对顶角相等　）
∴∠2＝∠3，（ 　等量代换　）
∴CE∥BF，（ 　同位角相等，两直线平行　）
∴∠C＝∠4，（ 　两直线平行，同位角相等　）
又∵∠A＝∠D，（ 　已知　）
∴AB∥　CD　，（ 　内错角相等，两直线平行　）
∴∠B＝∠4，（ 　两直线平行，内错角相等　）
∴∠B＝∠C．（等量代换）
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（对顶角相等），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠C＝∠4（两直线平行，同位角相等），
又∵∠A＝∠D（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠B＝∠4（两直线平行，内错角相等），
∴∠B＝∠C（等量代换）．
故答案为：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
21．综合与实践
如图1，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图2．长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）
E．
（1）图1中长方形的面积S1＝　m2+8m+7　；图2中长方形的面积S2＝　m2+6m+8　；比较S1　＞　S2（选填“＜”、“＝”或“＞”）；
（2）现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．
①求正方形的边长；（用含m的代数式表示）
②试探究：该正方形的面积S与图1中长方形的面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，并求出这个常数．
【解答】解：（1）由题意可知：S1＝（m+1）（m+7）
＝m2+7m+m+7
＝m2+8m+7，
S2＝（m+2）（m+4）
＝m2+4m+2m+8
＝m2+6m+8，
∴S1﹣S2
＝（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8）
＝m2+8m+7﹣m2﹣6m﹣8
＝2m﹣1，
∵m为正整数，
∴m最小为1，
∴2m﹣1＞0，
∴S1＞S2，
故答案为：m2+8m+7，m2+6m+8，＞；
（2）①图1中长方形的周长为：
2（m+7+m+1）
＝2（2m+8）
＝4m+16，
∵正方形的周长与图1中的长方形周长相等，
∴正方形的周长为4m+16，
∴正方形的边长为 ；
②∵正方形的面积S＝（m+4）2，
∴S﹣S1
＝（m+4）2﹣（m2+8m+7）
＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣7
＝m2﹣m2+8m﹣8m+16﹣7
＝9，
∴该正方形的面积S与图1中长方形的面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，这个常数为9．
22．已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）若∠EDC＝2∠C，求∠C的度数；
（2）求证：BE∥CD．
【解答】（1）解：∵∠A＝∠ADE，
∴AC∥DE，
∴∠EDC+∠C＝180°，
又∵∠EDC＝2∠C，
∴3∠C＝180°，
即∠C＝60°；
（2）证明：∵AC∥DE，
∴∠E＝∠ABE，
又∵∠C＝∠E，
∴∠C＝∠ABE，
∴BE∥CD．
23．小强从家骑自行车去体育场，在那里锻炼了一段时间后又骑自行车到文具店去买笔，然后骑自行车回家，小强离家的距离y（km）与所用的时间x（h）的关系如图所示．
观察图象，解答下列问题：
（1）小强到达离家最远的地方用了 　3　h；
（2）小强出发2.5h后离家 　20　km；
（3）求小强从家出发后，经过多长时间离家10km．
（3）小强从家出发后，经过h或h离家10km．
24．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°）．
（1）如图1，①若∠DCE＝40°，直接写出∠ACB的度数是 　140　度．
②若∠ACB＝150°，直接写出∠DCE的度数是 　30　度．
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系是 　∠ACB+∠DCE＝180°　．
（3）若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转，
①当旋转至BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE的度数是 　45　度．
②继续旋转至BC∥DA（如图3）时，直接写出∠ACE的度数是 　30　度.
【解答】解：（1）①∵∠ECB＝90°，∠DCE＝40°，
∴∠DCB＝∠ECB﹣∠DCE＝50°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+50°＝140°，
故答案为：140；
②∵∠ACB＝150°，∠ACD＝90°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝60°，
∵∠ECB＝90°，
∴∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30；
（2）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝∠ACD+∠DCB+∠DCE＝∠ACD+∠ECB＝90°+90°＝180°，
故答案为：∠ACB+∠DCE＝180°；
（3）①当BE∥AC时，
∵BE∥AC，
∴∠ACE＝∠E＝45°，
故答案为：45；
②当BC∥DA时，
∵BC∥DA，
∴∠BCD＝∠D＝30°，
∴∠ACB＝90°+30°＝120°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝120°﹣90°＝30°．
故答案为：30．
25．观察下列算式，尝试问题解决：
杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n＝0，1，2，3，4，5..）的计算结果中的各项系数：
（1）请根据上题中的杨辉三角系数集”，仔细观察下列各式中系数的规律，并填空：（a+b）1＝a+b各项系数之和1+1＝2＝21（a+b）2＝a2+2ab+b2各项系数之和1+2+1＝4＝22（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3各项系数之和1+3+3+1＝8＝23
①请补全下面展开式的系数：（a﹣b）6＝a6+　（﹣6）　a5b+15a4b2+　（﹣20）　a3b3+15a2b4﹣6ab5+b6
②请写出（a+b）10各项系数之和：　210　
（2）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，求a1+a2+a3+…+a16+a17的值．
（3）你能在（2）的基础上求出a2+a4+a6+…+a14+a16的值吗？若能，请写出过程．
【解答】解：（1）①：（a﹣b）6＝a6+（﹣6）a5b+15a4b2+（﹣20）a3b3+15a2b4﹣6ab5+b6；
故答案为：﹣6，﹣20；
②∵（a+b）1＝a+b各项系数之和1+1＝2＝21，
（a+b）2＝a2+2ab+b2各项系数之和1+2+1＝4＝22，
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3各项系数之和1+3+3+1＝8＝23，
…
（a+b）10各项系数之和：210；
故答案为：210；
（2）由（1）得：（x+1）17各项系数之和：217，
即a0+a1+a2+a3+…+a16+a17＝217，
∴a1+a2+a3+…+a16+a17＝217﹣1；
（3）当x＝1时，（1+1）17＝217＝a17×1+a16×1+…+a1×1+a0＝a17+a16+…+a1+a0①，
当x＝﹣1时，（﹣1+1）17＝0＝﹣a17+a16﹣…+a2﹣a1+a0②，
①+②得：2（a0+a2+a4+a6+…+a14+a16）＝217，
∵a0＝1，
∴a2+a4+a6+…+a14+a16＝216﹣1．
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