邯郸市 2024 届高三年级保温试题
高三数学参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A C B C A B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 BC BCD ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12． 1,3 （答案不唯一，设 a x, y 满足 2x y 5 0即可，但 2,1 不得分）
63
13．
16
1
14． [ee , )
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（1）当 a 1时， f x ex x ln x，求导得： f x ex ln x 1
故切线斜率 k f 1 e 1，
又 f 1 e ，所以切线方程为 y e e 1 x 1 ，
即切线方程为 y e 1 x 1．······················································································· 6 分
（2）依题意， f x ln x 1为增函数，等价于 f x aex ln x 1 0，即 a
ex
ln x 1 1g x ln x 1设 x ，求导得：e g x x ，ex
设 h x 1 ln x 1（ x 0 ）
x
易知， h x 在 0, 上单调递减，且 h 1 0，
当 x 0,1 时， h x 0， g x 0，
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{#{QQABRYSUoggoAJIAABhCAwFQCkMQkBGCAIoGwEAMMAAACBFABAA=}#}
当 x 1, 时， h x 0， g x 0 ，
所以 g x 在 0,1 上单调递增， 1, 上单调递减，
所以 g x max g 1
1 1
，所以 a ．
e e
当 a
1
时， f x ex 1 ln x 1不恒等于 0，满足条件．
e
1
所以 a的取值范围为 ， ．e ····················································································· 13
分
16．（1）证明：由题意可知 P点的坐标有 36 种，其中事件 A所包含的基本事件有
1,6 1， 6,1 ， 2,5 ， 5, 2 ， 3, 4 ， 4,3 ，6 种，则 P(A) ，
6
事件 B所包含的基本事件有18 种，则 P(B)
1
，
2
积事件 AB有 1,6 ， 3, 4 ， 5, 2 1，3 种，则 P(AB)
12
所以 P(AB) P(A)P(B) ．
所以事件 A、B相互独立·······························································································7 分
1
（2）点 P在圆 x2 y2 12内的概率为 ，
6
1
由题意可知， X B 3, 6 ，
0 3
P X 0 C0 1 5 1253 ，
6 6 216
1 1 5 2P X 1 C1 75 3 ，
6 6 216
1 2 5 1P X 2 C2 15 3 6 ， 6 216
3 0
P X 3 C3 1 5 13 ，
6 6 216
所以，X的分布列为
X 0 1 2 3
125 75 15 1
P
216 216 216 216
所以 E X 3 1 1 ．······························································································· 15 分
6 2
17．（1）方法一：
延长 AN 交 DC的延长线于点 H ，连接 EH ，
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{#{QQABRYSUoggoAJIAABhCAwFQCkMQkBGCAIoGwEAMMAAACBFABAA=}#}
AN BN AN BN
因为 AB // CD，所以 ，所以 ，
NH DN AH BD
AM BN AM AN
又因为 ，所以 ，
AE BD AE AH
所以MN // EH ，
由于MN 平面 EDC ， EH 平面 EDC ，
所以MN // 平面 EDC ··································································································· 6 分
方法二：
AG AM
在 AD上取点G，使得 ，
AD AE
则GM // DE ，
由于GM 平面 EDC，DE 平面 EDC
所以GM // 平面 EDC，
AM BN AG BN
因为 ，所以 ，所以GN // AB，
AE BD AD BD
由于 AB // CD，则GN // CD，
由于GN 平面 EDC，CD 平面 EDC
所以GN // 平面 EDC，
又因为GM GN G，所以平面GMN // 平面 EDC，
由于MN 平面GMN ，
所以MN // 平面 EDC ··································································································· 6 分
（2）方法一：向量法
取 AD中点为O，连接OF ，OB，
因为四边形 ABCD为菱形且 BAD 60 ，
所以△ABD是等边三角形，则OB AD，且OB 3 ，
同理可得OF AD，且OF 3 ，
又因为 BF 3 ，所以△BOF为等边三角形，则 BOF 60 ，
因为OB OF O，所以 AD 平面 FOB，
如图，以点 O为原点，以 OA、OB、垂直于平面 ABCD且过点 O的直线分别为 x，y，z轴，建立空间直角
坐标系O xyz，
则 A 1,0,0 ，D 1,0,0 ， B 0, 3，0 ， F 0,
3 3
，
2 2
，
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{#{QQABRYSUoggoAJIAABhCAwFQCkMQkBGCAIoGwEAMMAAACBFABAA=}#}
3 3
则 AF 1, , ， AD 2,0,0 ， AB 1, 3,0 ， BD 1, 3,0 ，
2 2
设 AM AE(0 1) ，则 AM AE
3 3
AF AD 3 , , ，
2 2
AN AB BN AB BD 1 , 3 3 ,0 ，
则MN AN
3 3 3
AM 2 1, 3 ,
2 2
2 2
故 MN 2 1 2 3
3 3 3
13
2 13 4 ，
2 2
当
1
时， MN 最小，
2
3 3 3 3 3
此时 AM , , 2 4 4
， AN , ,0 ，
2 2
3 3 3
AM m x y z 0
2 4 4
y 3x
设平面 AMN 的法向量为m x, y, z ，则
，则 ，
z x
AN m
3 3
x y 0
2 2
令 x 1，可得平面 AMN 的法向量为m 1, 3,1
同理可得，平面 DMN 的法向量 n 3, 3, 1
设平面MNA与平面MND的夹角为 ，
m n
则 cos cos m,n
65
m n 65 ，
所以平面MNA与平面MND 65的夹角余弦值为 ．··························································· 15 分
65
方法二：基底法
设 AB a, AF b, AD c，
5
在△BAF 中， AF AB 2 ,BF 3 ,由余弦定理得： cos FAB ，8
5
所以 a b ，a c b c 2
2
AM BN
设 ，
AE BD
则 AM AE AF AD b c ，
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AN AB BD AB AD AB 1 AB AD 1 a c ，
所以MN 1 a b ,
2
MN MN 13 2
1
13 4 ，当 时，MN 的长度为最小．2
此时M 、N 分为 AE、BD中点，取MN 的中点H ，连接 DH、AH ，
易知 AM AN，DM DN ，
所以 DH MN， AH MN ，
所以 AHD为二面角 A MN D的平面角，
易求得 AH 3 5 ,DH 13 , AD 2，
4 4
设平面MNA与平面MND的夹角为 ，
AH 2 2 2
所以 cos cos AHD
DH AD 65
，
2AH DH 65
65
所以平面MNA与平面MND的夹角余弦值为 ．··························································· 15 分
65
18．（1）设M x, y ，
x 1 2 y2 1 x2 y2
由题意得： ，化简得： 1．
x 4 2 4 3
x
2 y2
所以曲线 的方程为 1．··················································································4 分
4 3
（2）① 由题知， A、 B分别为椭圆 的左、右顶点，
x2 y2
因为点 P在椭圆 上，所以 0 0 1，
4 3
y y y2 y2
k k 0 3PA PB
0 0 0
则 x 2 x 2 x2 4 4 2 4 ．····························································9 分0 0 0 y
3 0
② 直线 l恒过定点 1,0 ．理由如下：
3
由①知， kAD kBD 4
因为 kBD 3k k
1
AC ，所以 AD kAC 4
由题可知直线 l的斜率不为 0，设直线 l： x my n，
x my n
联立 x2 y2 ，得 3m2 4 y2 6mny 3 n2 4 0，
1
4 3
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48(3m2 n2 4) 0，
2
设C x1, y1 ，D
6mn 3 n 4
x 2 , y2 ，则 y1 y2 3m2 ， ， 4 y1y2 3m2 4
k k y1 y2 y1y 1所以 AD AC 2 x ，1 2 x2 2 my1 n 2 my2 n 2 4
即 (m2 4)y1y2 m(n 2)(y1 y ) (n 2)
2
2 0，
3(m2 4) n2 4 2
所以 6m n(n 2) (n 2)2 16(n 2)(n 1) 0
3m2 4 3m2 4 3m2 4
由题知， n 2 ，所以 n 1．
即直线 l恒过定点 1,0 ．······························································································17 分
19．（1）柯西不等式的二元形式为：
设 a ,a ,b ,b R a2 a2 b2 2 21 2 1 2 ，则 1 2 1 b2 (a1b1 a2b2 ) ，
当且仅当 a1b2 a2b1 时等号成立．··················································································· 3 分
（2）由V四面体ABCD V三棱锥P ABC V三棱锥 P DBC V三棱锥P CDA V三棱锥 P DAB，
2 1 3
得 ( 2)3 ( 2)2 d1 d2 d
2 3
3 d4 ，所以 d12 3 4 1 d2 d3 d4 3
又由柯西不等式得
(d 2 d 2 d 2 21 2 3 d4 )(1 1 1 1) d1 1 d2 1 d 1 d 1
2
3 4 d1 d d
2
2 3 d4 ，
2 2 2 2 d d d d
2
所以 d1 d
1
2 d3 d4
1 2 3 4 ，
4 3
3
当且仅当 d1 d2 d3 d4 时等号成立．····································································8 分6
（3）对 n 4，记 k1,k2 , ,kn 是1, 2, ,n的一个排列，
且满足0 ak a1 k ak m2 n ．
1
由条件②得：ak ak i 2,3, ,n i i 1 ki k
.
i 1
于是，对任意的 n 4，都有
m ak ak ak a an n 1 kn k n 1
1 1 1
ak ak ak ak n 1 n 2 2 1 kn kn 1 kn 1 kn 2 k2 k1
由柯西不等式得
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1 1 1
k
2
k k k k k k n
kn 1 kn 1 kn 2 k2 k1 n 1
n n 1 n 1 n 2 2 1
1 1 1 n 1 2
所以 kn kn 1 kn 1 kn 2 k2 k
1 kn kn 1 kn 1 kn 2 k2 k1
n 1 2 n 1 2 n 1
2
1 3n 4 ．
2 k1 k2 kn k 21 kn n n k1 k n2 n 3 n2n n 3
3n 4
从而，对任意的 n 4，都有m 1 ．
n2 n 3
故对任意 n 4， n N* ，恒有m 1．·············································································17 分
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邯郸市 2024 届高三年级保温试题
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知 tan 3 ， 为第一象限角，则 sin 的值为
4
A 3 B 4 C 3 D 4． ． ． ．
5 5 5 5
2．命题“ x 1, ， x3 2x 1 0”的否定是
A． x ,1 ， x3 2x 1 0 B． x 1, ， x3 2x 1 0
C． x ,1 ， x3 2x 1 0 D． x 1, ， x3 2x 1 0
6
3． 2x2 1 的展开式中，常数项为
x
A．60 B． 60 C．120 D． 120
4．中国地震台网测定：2024 年 4 月 3 日，中国台湾花莲县海域发生里氏 7.3 级地震．已知地震
时释放出的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级 M之间的关系为 lg E 4.8 1.5M ．2011
年 3 月 11 日，日本东北部海域发生里氏 9.0 级地震，则它所释放出来的能量约是中国台湾
花莲县海域发生里氏 7.3 级地震的多少倍？
A．98 B．105 C．355 D．463
5．已知M ， N是圆C： x2 y2 2y 3 0 上的两个点，且 MN 2 2 ， P为MN 的中点，Q
为直线 l : x y 3 0 上的一点，则 PQ 的最小值为
A． 2 2 B． 2 C． 2 2 D． 2 1
6．某疾病全球发病率为 0.03%，该疾病检测的漏诊率（患病者判定为阴性的概率）为 5%，检
测的误诊率（未患病者判定为阳性的概率）为 1%，则某人检测成阳性的概率约为
A．0.03 % B．0.99 % C．1.03 % D．2.85 %
数学试卷 第 1 页（共 4 页）
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7．若函数 y 3 cos x （ 0, ）的部分图象如图所示，M 3, 3 ，N 1, 3
为图象上的两个顶点．设 MON ，其中O为坐标原点，0 ，则sin 的值为
A 6 2 6 2 3 1 3 1． B． C． D．
4 4 2 2
2 2
8 x y．已知双曲线C： 1 a 0,b 0 ，O为坐标原点，F 、F 分别为C的左、右焦点，点P
a2 b2 1 2
在双曲线上，且PF2 x轴，M 在 F2PF1 外角平分线上，且F2M PM 0 ．若 OF2 F2M ，
则双曲线的离心率为
A． 2 B． 3 C． 2 D 2 2． 3
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．已知复数 z， z 是其共轭复数，则下列命题正确的是
A． z z B．若 z 1，则 z 3 i 的最小值为 1
2
C z． z (z 0) D．若3 4i 是关于 x的方程 x2 px q 0 p,q R 的一个根，则 q 5
z
10．如图，将一块边长为 4m的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后
用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是
A．当 x 2 m 时，正四棱锥的侧面积为 4 3 m2
B．当 x 2 m 4 3 3时，正四棱锥的体积为 m
3
C 343 3．当 x 2 3 m 时，正四棱锥外接球的体积为 m6
D 64 3．正四棱锥的体积最大值为 3m
27
11．定义在R 上的函数 f x 满足： 2 f x 1 f y 1 f x y f x y ，且 f 2 1，则
下列结论正确的是
A． f 0 1 B． 1,0 是 f x 的对称中心
2024
C． f x 是偶函数 D． f i 1
i 0
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12．已知向量 b 4,2 ，若向量 a 在 b 上的投影向量为 b，且 a 与 b 不共线，请写出一个符合
2
条件的向量 a 的坐标________．
13．记 Sn为等比数列 an 的前 n项的和，若 a3 a4 1， 4S6 7S2 ，则 S12 ________．
14．若不等式 ln x a x ln a a 1 恒成立，则 a的取值范围为________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
已知函数 f (x) aex x ln x．
（1）当 a 1时，求函数 f (x) 在 1, f 1 处的切线方程；
（2）若 f (x) 为增函数，求 a的取值范围．
16．（15 分）
某人投掷两枚骰子，取其中一枚的点数记为点 P的横坐标 x，另一枚的点数记为点 P的纵
坐标 y，令事件 A =“ x y 7 ”，事件 B =“ x为奇数”．
（1）证明：事件 A、B 相互独立；
（2）若连续抛掷这两枚骰子三次，求点 P在圆 x2 y2 12内的次数 X 的分布列与期望．
17．（15 分）
如图，已知菱形 ABCD和菱形 ADEF的边长均为 2， FAD BAD 60 ，BF 3 ，M 、
AM BN
N分别为 AE、 BD上的动点，且 ．
AE BD
（1）证明：MN // 平面 EDC ；
（2）当MN 的长最小时，求平面MNA与平面MND的夹角余弦值．
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18．（17 分）
动点M 到定点 F 1,0 1的距离与它到直线 x 4 的距离之比为 ，记点M 的轨迹为曲线
2
．若 P x0 , y0 为 上的点，且 y0 0．
（1）求曲线 的轨迹方程；
（2）已知 A 2,0 ， B 2,0 ，直线 l交曲线 于C、 D两点，点C在 x轴上方．
① 求证： kPA kPB为定值；
② 若 kBD 3kAC ，直线 l是否过定点，若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．
19．（17 分）
柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是
其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：
设 a1,a2 ,a3 , ,an ,b1,b2 ,b3 , ,bn R ，则
a2 2 2 2 2 2 21 a2 an b1 b2 bn (a1b1 a 2b2 anbn )
当且仅当 bi 0 i 1,2, ,n 或存在一个数 k，使得 ai kbi i 1,2, ,n 时，等号成立．
（1）请你写出柯西不等式的二元形式；
（2）设 P是棱长为 2 的正四面体 ABCD内的任意一点，点 P到四个面的距离分别为 d1、
d2、d3、d4，求 d 2 d 2 2 21 2 d3 d4 的最小值；
（3）已知无穷正数数列 an 满足：①存在m R ，使得 ai m i 1,2, ；②对任意正整
1
数 i、 j i j ，均有 ai a j i j ．
求证：对任意n 4， n N* ，恒有m 1．
数学试卷 第 4 页（共 4 页）
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