2023-2024学年上海市金山中学高二年级下学期
5月月考数学试卷
2024.5
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，圆锥底面周长为，则这个圆锥的侧面积是______.
【答案】
【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，
则，解得，
又圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，
则，解得
则侧面积为
2.双曲线的一个焦点坐标为，一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是______.
【答案】
【解析】因为一个焦点坐标为，可设双曲线方程为，且，
由一条渐近线方程为，可得，则，
设，，，则，解得，
则，，所以双曲线方程为
3.已知向量，，则向量在向量方向上的数量投影为______.
【答案】
【解析】向量，，
则向量在向量方向上的投影为：，
4.已知，均为锐角，且，则的值为______.
【答案】1
【解析】，均为锐角，且，
所以，
即，
所以，
则
5.若随机变量服从二项分布，则的方差为______.
【答案】
【解析】
6.某同学决定用圆周率的不足近似值3.14159中出现的这六个数字编成一组六位数的开锁密码（每个数字用一次），则两个数字“1”不相邻的不同密码共有 组.
【答案】240
【解析】根据题意，先将3、4、5、9四个数全排列，有种情况，
排好后，有5个空位，在其中任选2个，安排两个数字“1”，有种情况，
则有种情况，即有240组符合题意的密码
7.如表定义函数
1 2 3 4 5
4 5 1 2 3
数列中，，，，3，4，，则______.
【答案】2
【解析】由，，可得（3），（1），（4），
（2），（5），（3），（1），，
可得数列是最小正周期为5的数列，
则
8.已知，则满足的实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意知函数为奇函数，且，函数单调递减
9.对一个量用两种方法各算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”方法，已知，考察展开式中的系数，并据此化简：______.
【答案】
【解析】等式右侧含的系数跟左侧含有的系数是相同的
则
10.如图，已知，分别是椭圆的
左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且
，则椭圆C的离心率为 .
【答案】
【解析】连接，由且得，，又得，，，，所以，即 ，解得
11.已知双曲线方程，直线，在第一象限内与双曲线及渐近线围成的图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为______.
【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，记绕轴旋转一周所得的几何体为，
在第一象限内与渐近线的交点的坐标为，令，则，
则与双曲线在第一象限交点的坐标为，
记与轴交于点，，
则截面面积，
在所得几何体中，在高为处作一截面，令，
其与渐近线的交点坐标为，与双曲线的一支的交点坐标为，
则截面面积为，
利用祖暅原理得的体积相当于底面面积为高为3的圆柱的体积，
所以的体积．
12.若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意得，
若函数存在唯一极值点，
则在上有唯一的根，
所以由可得，则有唯一的根，
直线与函数的图象有一个交点（非切点），
又，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，函数的极大值为，
且当时，，当时，，
则函数得图象如下图所示：
所以，当时，即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点），
因此，实数的取值范围是
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.将三颗骰子各掷一次，记事件 “三个点数都不同”， “至少出现一个6点”，则条件概率分别等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知：事件 “三个点数都不同且至少出现一个6点”，
，，
．
故选：A．
14.若抛物线上不同三点的横坐标的平方成等差数列，那么这三点
A．到原点的距离成等差数列 B．到轴的距离成等差数列
C．到轴的距离成等差数列 D．到焦点的距离的平方成等差数列
【答案】B
【解析】设，，，，，，
则，，，
因为，，的横坐标的平方成等差数列，
所以，
即，可得，
因为，，到轴的距离为，，，
所以，，到轴的距离成等差数列．
故选：．
15.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该拿伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长，
在中，由正弦定理得，
解得，则，
故选：．
16.已知数列满足，且，设（表示不超过实数的最大整数），又，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为，所以
所以
左右两边同时减得
即
左右两边同时除以得
所以，则
设是抛物线上的整点
为直线上的任意一点
则
点到直线的距离为
当，即时，
故，当且仅当时，等号成立
从而的最小值为
故选C
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数，．
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）
．
的最小正周期；
（2），，，
则，
．
故在区间上的最大值和最小值分别为
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为上的中点．
（1）求证：平面；
（2）设，求二面角的大小．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）证明：连接交于点，连接，如图所示：
则为的中点，
为的中点，
又平面，平面，
平面；
（2）建立以为原点的空间直角坐标系，如上图所示：
则，
，
平面的法向量为，
设平面的法向量为
则，取，则，，
平面的法向量为
又平面的法向量为
设二面角的为，
则，
故二面角的大小为
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧．某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在分之间），并从参与者中随机抽取200人．根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图．
（1）据此估计这200人满意度的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：
方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动．活动方案为：从装有8个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，若摸到3个红球，返消费金额的；若摸到2个红球，返消费金额的，除此之外不返现金．
方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠，有的概率享受95折优惠．现小张在该超市购买了总价为1000元的商品．
①求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望；
②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到
【答案】（1）68；（2）①见解析②方案二
【解析】
（1），
所以对“刷脸支付”安全满意度的平均数为68；
（2）①选择方案一，则可能的取值为1000，900，800，
，，，
所以的分布列如下表所示：
800 900 1000
所以；
②若选择方案二，记实际付款额为，
则的可能取值为800，900，950，
由题意可知，的分布列如下表所示：
800 900 950
所以，
由①可知，故选择方案二付款更划算
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知双曲线的左右焦点为
（1）若双曲线的离心率为，且，是正三角形，求的方程
（2）若，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为，若，求
（3）在（1）的条件下，若动直线与恰有1个公共点且与的两条渐近线分别交于，记的面积为，的面积为（是坐标原点），问：是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由。
【答案】（1）；（2）；（3）存在，最小值为1
【解析】
（1）由题意得，又，且是正三角形
所以
所以，故双曲线的方程为
（2）因为直线的斜率为，，又
设，则，则在中由正弦定理可得
在中由余弦定理可得：
解得，即
（3）存在最小值。不妨设：，联立，消得
由，得
联立，得
同理得
所以
即
所以，
当且仅当时等号成立，所以存在最小值，且最小值为1.
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
设函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，曲线与有两条公切线，求实数的取值范围；
（3）若对恒成立，求实数的取值范围
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）；（3）
【解析】
（1）当时，，
，，
当时，，当时，，
的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）设公切线切于点，，切于，，
则有，即，
得，代入
得．
构造函数，，
．当，，单调递减，当，，单调递增，
，又当时，，当时，，
即，得，即实数的取值范围是
（3）函数，
令恒成立：可得，
令，显然在上为增函数，则（1）．
①当时，得，，得在上单增，（1）恒成立，故满足题意．
②当时，令，得，（舍．
得时，，则在上单调递减，
时，，则在上单调递增，又（1），
极小值，不可能恒成立，不符合题意，
综上可得，实数的取值范围是2023-2024学年上海市金山中学高二年级下学期
5月月考数学试卷
2024.5
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，圆锥底面周长为，则这个圆锥的侧面积是______.
2.双曲线的一个焦点坐标为，一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是______.
3.已知向量，，则向量在向量方向上的数量投影为______.
4.已知，均为锐角，且，则的值为______.
5.若随机变量服从二项分布，则的方差为______.
6.某同学决定用圆周率的不足近似值3.14159中出现的这六个数字编成一组六位数的开锁密码（每个数字用一次），则两个数字“1”不相邻的不同密码共有 组.
7.如表定义函数
1 2 3 4 5
4 5 1 2 3
数列中，，，，3，4，，则______.
8.已知，则满足的实数的取值范围是______.
9.对一个量用两种方法各算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”方法，已知，考察展开式中的系数，并据此化简：______.
10.如图，已知，分别是椭圆的
左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且
，则椭圆C的离心率为 .
11.已知双曲线方程，直线，在第一象限内与双曲线及渐近线围成的图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为______.
12.若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是______.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.将三颗骰子各掷一次，记事件 “三个点数都不同”， “至少出现一个6点”，则条件概率分别等于（ ）
A． B． C． D．
14.若抛物线上不同三点的横坐标的平方成等差数列，那么这三点
A．到原点的距离成等差数列 B．到轴的距离成等差数列
C．到轴的距离成等差数列 D．到焦点的距离的平方成等差数列
15.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该拿伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则
A． B． C． D．
16.已知数列满足，且，设（表示不超过实数的最大整数），又，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数，．
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为上的中点．
（1）求证：平面；
（2）设，求二面角的大小．
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧．某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在分之间），并从参与者中随机抽取200人．根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图．
（1）据此估计这200人满意度的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：
方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动．活动方案为：从装有8个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，若摸到3个红球，返消费金额的；若摸到2个红球，返消费金额的，除此之外不返现金．
方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠，有的概率享受95折优惠．现小张在该超市购买了总价为1000元的商品．
①求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望；
②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知双曲线的左右焦点为
（1）若双曲线的离心率为，且，是正三角形，求的方程
（2）若，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为，若，求
（3）在（1）的条件下，若动直线与恰有1个公共点且与的两条渐近线分别交于，记的面积为，的面积为（是坐标原点），问：是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由。
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
设函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，曲线与有两条公切线，求实数的取值范围；
（3）若对恒成立，求实数的取值范围
