2024年高三数学高考模拟考试卷（山东专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
化简集合结合交集的概念即可得解.
【详解】
，，所以．
故选：C.
2．已知双曲线的渐近线方程为，则（ ）．
A． B．1 C． D．3
【答案】A
【分析】根据双曲线线方程确定渐近线方程为，结合已知条件得到方程，解出即可.
【详解】该双曲线的渐近线方程为且，则，可解得，满足.
故选：A
3．已知样本数据的平均数为 方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平均数和方差的运算性质即可求解.
【详解】由方差的性质，得，，…，的方差为，
故，解得．由，可知.
由平均数的性质，得，，…，的平均数为，
故，
解得.
故选：D．
4.已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，根据同角的平方关系结合诱导公式分别求得与，即可得到结果.
【详解】因为，且，则，
则，
所以，
且，
所以.
故选：C
5．已知函数存在极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求出函数的导数，由题意可得在上有变号零点，即可分离参数，利用换元法，结合二次方程的判别式以及二次函数的性质，即可求得a的物质范围.
【详解】函数的定义域为，且，
由于函数存在极值点，即在上有变号零点，
由，得，
令，则，则a的取值范围为在上的值域，
且需满足的，即；
对于，当时，，
故，即实数的取值范围是，
故选：A
6．设数列的前项之积为，满足（），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知递推式可得数列是等差数列，从而可得，进而可得的值．
【详解】
因为，
所以，即，所以，
所以，
所以，
所以数列是首项为，公差为2的等差数列，
所以，
即，所以．
故选：C．
7．已知为圆上动点，直线和直线（，）的交点为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由、可得，且过定点，过定点，则可得点在以为直径的圆上，则的最大值为.
【详解】由、，
有，故，
对有，故过定点，
对有，故过定点，
则中点为，即，
，则，
故点在以为直径的圆上，该圆圆心为，半径为，
又在原，该圆圆心为，半径为，
又，则.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于由直线、的方程得到，且过定点，过定点，从而确定点的轨迹为以为直径的圆，进而将问题转化为圆上两点的距离最值问题.
8.已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，
令，，则，
令，，则，
令，，则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，故在上恒成立，
将中换为可得，，
即，故在上恒成立，
所以在上单调递增，
由复合函数单调性可知在上单调递增，
故，即，故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，（其中是虚数单位，，），若为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的概念得到条件.
【详解】因为，，
所以，
又为纯虚数，所以，即且.
故选：AC
10．已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．
D．设，则
【答案】ABD
【详解】对于A：令可得；对于B：令可得；对于C ：先确定的奇偶性，然后令后对两边同时求导，再代入即可；对于D：利用累加法求通项公式.
【点睛】对于A：令得，所以，A正确；
对于B：令得，所以，B正确；
对于C：因为，所以，即，
所以为偶函数，由可得，
令得，
则，令，得，
所以，C错误；
对于D：因为，，
所以，且
所以，相加可得，
所以，则，D正确.
故选：ABD.
11．化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式） 金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为2，则（ ）
A．正八面体的内切球表面积为
B．正八面体的外接球体积为
C．若点为棱上的动点，则的最小值为
D．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值
【答案】ACD
【分析】
对于A项，可以利用等体积列出关于内切球半径的方程，解之即得；对于B项，利用正八面体的对称性可分析计算得出正方形的中心即为外接球球心，计算即得；对于C项，通过两个侧面翻折共面后即得共线时取最小值；对于D项，通过发现并证明//平面，将的体积进行多次转化成三棱锥的体积，计算即得.
【详解】
对于A项，设该正八面体内切球的半径为，由内切球的性质可知正八面体的体积，
解得，故它的内切球表面积为，故A项正确；
对于B项，设该正八面体外接球的半径为，由图知，是正方形，,
在中，,利用对称性知,故点为正八面体外接球的球心，则，
所以正八面体外接球的体积为，故项错误；
对于C项，如图，因与是边长为2的全等的正三角形，可将翻折到，使其与共面，从而得到一个菱形.
连接与相交于点，此时,,则取得最小值为，故项正确；
对于D项，易知，因为平面平面，所以//平面，
所以，故D项正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则
【答案】3
【分析】
利用向量平行的坐标表示可求答案.
【详解】因为
所以，解得.
故答案为：3
13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则＝ ，b＝ .
【答案】
【分析】运用同角的平方关系可得，，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得，运用正弦定理可得，代入计算即可得到所求值.
【详解】在△ABC中，由，，
可得,
所以，
又，故由正弦定理得，.
故答案为：；.
14．已知为椭圆上的一个动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】
设，解三角形可得，，利用两点距离公式求的最小值，
结合平方关系可求的最小值.
【详解】设，
由已知，由对称性可得,
所以，
则，，
且，
因为，
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，又，
所以，
所以.
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
为推动网球运动的发展，某网球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名；乙协会的运动员名，其中种子选手名．从这名运动员中随机选择人参加比赛．
（1）设事件为“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；
（2）设为选出的人中种子选手的人数，求随机变量的分布列及均值．
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，
【解析】（1）由题意可得.
（2）由题意可知，人中，种子选手共人，非种子选手共人，
从这人中随机抽取人，其中种子选手的人数为随机变量，
则的可能取值有、、、、，
则，，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
因此，.
16．（15分）
如图，四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，.
(1)求证：AB⊥CE；
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明，再根据面面垂直的性质定理证明平面，得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】（1），，，
，
又在直角梯形，过点作，因为，，
所以，则，即，可得，
，即，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，
.
（2）如图，过点作，则平面，以点为坐标原点，过点平行为轴，
过点平行为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，得，则，
又易得平面的一个法向量为，
，易知二面角的正弦值为.
17．（15分）
已知函数
(1)讨论的零点个数;
(2)当时，| 求a的取值范围.
【答案】(1)
答案见解析
(2)
的取值范围为
【分析】
（1）构造函数，首先利用导数判断函数的大致图象，结合分类讨论思想求解可得答案；
（2）将原不等式转化为，再利用导数结合虚设零点的方法解不等式即可.
【详解】（1）令，则
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，
作出的大致图象如下图所示：
当时，，无零点；
当时，，得，
由上图知：
当，即时，无零点；
当或，即或时，有1个零点；
当，即时，有2个零点.
（2）当时，显然在上单调递增，
由（1）知，在区间上有唯一的零点，即，
当时，
由得，即，
设函数，则，
在上单调递减，所以，
解得，
当时，，
由得，即，
设，则，
由得，
所以在上单调递增，所以，解得，
综上，
由得，
综上：的取值范围为.
【点睛】方法点睛：求解函数零点个数的步骤：（1）确定函数定义域；（2）计算导数；（3）求出导数等于0的根；（4）用导数为0的根将定义域分成若干个区间，确定函数的单调区间；（5）结合零点存在性定理判断出零点个数.
18．（17分）
已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，顶点是坐标原点是圆与的一个交点，是上的动点，且在轴两侧，直线与圆相切，线段线段分别与圆相交于点.
(1)求的方程；
(2)的面积是否存在最大值？若存在，求使的面积取得最大值的直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，.
【分析】
（1）由抛物线焦半径公式和圆的方程，列出方程组，求出，得到答案；
（2）设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据直线与圆相切得到方程，求出，结合在轴两侧，得到不等式，求出，，得到，从而得到，求出的值，进而得到直线方程.
【详解】（1）由已知，设抛物线的方程为，
由抛物线定义得，抛物线准线方程为，，
故，
又是抛物线与圆的一个交点，
，
，
，解方程得.
的方程为.
（2）由（1）知抛物线的方程为，根据已知设直线的方程为，
即.由是上的动点，设，
则，.
直线与圆相切，
，化简得.
由得.
，且.
又在轴两侧，
.
故，解得，
成立，
，
.
，解得或.
再由得.
当时，，解方程得.
的面积存在最大值，且使的面积取得最大值的直线的方程为，
即.
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
19．（17分）
设集合，其中．若对任意的向量，存在向量，使得，则称A是“T集”．
(1)设，判断M，N是否为“T集”．若不是，请说明理由；
(2)已知A是“T集”．
（i）若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A；
（ii）若（c为常数），求有穷数列的通项公式．
【答案】(1)是“集”;不是“集”，理由见解析；
(2)（i）；（ii）
【分析】
（1）根据“T集”的定义判断即可；
（2）（i）写出等差数列通项，得到向量的坐标，再分类讨论即可；
（ii）设，利用三角数阵和等比数列定义即可.
【详解】（1）是“集”;不是“集”.
理由：当或时，只要横纵坐标相等即可，则满足，
当，则；当，则；
当，则；当，则；
综上是“集”.
对于向量，若存在，使得.
则，故中必有一个为，此时另一个为或，显然不符合，则不是“集”.
（2）(i)因为中的元素由小到大排列成等差数列，则该等差数列的首项为，
公差为2，故.
则向量的坐标中必含，设另一坐标为，
则或.
所以或，
故或，
所以或，所以或，
所以或即.
此时，不满足;
或，满足;
所以只可能为.
经检验是“集”，所以.
(ii)设.
由，得，由条件可变形为.
设集合
设集合则是“集”当且仅当关于原点对称.
因为是中唯一负数，共个数，
所以也只有个数.
由于，所以，已有个数.
对以下三角数阵：
注意到，所以.
又为常数)，故有穷数列为等比数列，
且通项公式.
【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的的关键是充分利用数列新定义，结合三角数阵，得到，再根据等比数列定义即可得到其通项.2024年高三数学高考模拟考试卷（山东专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知双曲线的渐近线方程为，则（ ）．
A． B．1 C． D．3
3．已知样本数据的平均数为 方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（ ）
A． B． C． D．
4.已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数存在极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设数列的前项之积为，满足（），则（ ）
A． B． C． D．
7．已知为圆上动点，直线和直线（，）的交点为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8.已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，（其中是虚数单位，，），若为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．
D．设，则
11．化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式） 金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为2，则（ ）
A．正八面体的内切球表面积为
B．正八面体的外接球体积为
C．若点为棱上的动点，则的最小值为
D．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则
13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则＝ ，b＝ .
14．已知为椭圆上的一个动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
为推动网球运动的发展，某网球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名；乙协会的运动员名，其中种子选手名．从这名运动员中随机选择人参加比赛．
（1）设事件为“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；
（2）设为选出的人中种子选手的人数，求随机变量的分布列及均值．
16．（15分）
如图，四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，.
(1)求证：AB⊥CE；
(2)求二面角的正弦值.
17．（15分）
已知函数
(1)讨论的零点个数;
(2)当时，| 求a的取值范围.
18．（17分）
已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，顶点是坐标原点是圆与的一个交点，是上的动点，且在轴两侧，直线与圆相切，线段线段分别与圆相交于点.
(1)求的方程；
(2)的面积是否存在最大值？若存在，求使的面积取得最大值的直线的方程；若不存在，请说明理由.
19．（17分）
设集合，其中．若对任意的向量，存在向量，使得，则称A是“T集”．
(1)设，判断M，N是否为“T集”．若不是，请说明理由；
(2)已知A是“T集”．
（i）若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A；
（ii）若（c为常数），求有穷数列的通项公式．
