2024届青海省西宁市大通县高考四模数学（文）试卷（含解析）

大通县2024届高三年级第四次模拟考试
高三数学试卷（文科）
考生注意：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.椭圆的焦距为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
4.某公司10月23日、10月30日、11月6日、11月13日、11月20日、11月27日这6天员工的出勤率的折线图如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A.这6天员工的出勤率呈递增趋势
B.这6天员工的出勤率呈递减趋势
C.这6天员工的出勤率的极差大于0.15
D.这6天员工的出勤率的中位数小于0.85
5.函数的部分图象大致为（ ）
A. B. C. D.
6.记等差数列的前项和为.若，，则（ ）
A.140 B.70 C.160 D.80
7.三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.在直三棱柱中，，，为线段的中点，点在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
9.已知，则（ ）
A. B. C. D.
10.在平行四边形中，，，，沿将折起，则三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
11.设，是双曲线：的两条渐近线，若直线与直线关于直线对称，则双曲线的离心率的平方为（ ）
A. B. C. D.
12.已知定义域为的函数满足，给出以下结论：①；②；③是奇函数；④存在函数以及，使得的值为.所有正确结论的序号是（ ）
A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④
第II卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知向量，的夹角的余弦值为，，且，则_______
14.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的最小正周期为______，______.
15.已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则______.
16.假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
现统计了甲12次投篮训练的投篮次数和乙8次投篮训练的投篮次数，得到如下数据：
甲 77 73 77 81 85 81 77 85 93 73 77 81
乙 71 81 73 73 71 73 85 73
已知甲12次投篮次数的平均数，乙8次投篮次数的平均数.
（1）求这20投篮次数的中位数，估计甲每次训练投篮次数超过的概率；
（2）求这20次投篮次数的平均数与方差.
18.（12分）
在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，，为边的中点，求的长.
19.（12分）
设函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在上的最大值和最小值.
20.（12分）
如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，.
（1）证明：.
（2）已知平面平面，，求四棱锥的体积.
21.（12分）
已知为坐标原点，经过点的直线与抛物线：交于，（，异于点）两点，且以为直径的圆过点.
（1）求的方程；
（2）已知，，是上的三点，若为正三角形，为的中心，求直线斜率的最大值.
（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知直线：（为参数），曲线：.
（1）求的普通方程和曲线的参数方程；
（2）将直线向下平移个单位长度得到直线，是曲线上的一个动点，若点到直线的距离的最小值为，求的值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
高三数学试卷参考答案（文科）
1.A 因为，，所以.
2.C ，则.
3.B 因为，所以.
4.D 由图可知，这6天员工的出勤率有增也有减，所以A，B均错误.这6天员工的出勤率按照从小到大的顺序排列为0.776，0.8077，0.8333，0.86，0.895，0.92，所以这6天员工的出勤率的极差为，中位数为，C错误，D正确.
5.A 设，则，所以为奇函数，设，可知为偶函数，所以为奇函数，则B，C错误，易知，所以A正确.
6.D 因为是等差数列，所以，故.
7.B 设三人为，，，则参加晚会的情况有A，B，C，AB，AC，BC，ABC，共7种情况，其中恰有一人参加晚会的情况有3种，故所求的概率为.
8.B 作，，垂足分别为，，连接（图略），易知四边形为直角梯形，其中.设，则，，.作，垂足为（图略），则为直线与平面所成的角，所以，.
9.A 因为，所以，解得或（舍去），所以.
10.C 在中，，则，且，则.由题可知，当平面平面时，三棱锥的体积最大.如图，可将三棱锥补全为正方体，则三棱锥外接球的半径为，故其外接球的表面积为.
11.D 由题可知经过第二、四象限，经过第一、三象限，设的倾斜角为.
当时，则，即，，
即，所以.
当时，，即，，
即，所以.
综上，双曲线的离心率的平方为.
12.C 由，取，得，①正确.
取，得，解得.取，得，所以，②错误.
取，得，所以是奇函数，③正确.
当时，，两边同时除以，得，当时，令，则当时，，所以，所以，④正确.
13.4 因为，所以，解得.
14.； 依题意得，则的最小正周期，
15. 设函数的最小正周期为，则.因为是定义在上的偶函数，所以，所以.
16. 设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，则，.
又，，所以，，则，，
所以，所以.
17.解：（1）将这20个数据从小到大排列，第10个数和第11个数都是77，所以
估计甲每次训练投篮次数超过的概率为.
（2）这20次投篮次数的平均数，方差.
18.解：（1）因为，所以，
化简得.
因为，所以.
因为，所以.
（2）因为，
所以，解得.
因为为的中线，所以，
所以.
因为，，所以，
解得.
19.解：（1）因为，
所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为
（2）由（1）可知，.
令，则，
当时，，，所以，
所以在上单调递增
当时，，即，
所以在上单调递增，
所以的最大值为，
的最小值为
20.（1）证明：设为的中点，连接，，，.
因为，所以.
因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，
则
又，所以平面
因为平面，所以
（2）解：因为，，所以平面
因为平面，所以，
所以四边形为菱形，即
因为平面平面，且平面平面，
所以平面.
故.
21.解：解：（1）设，，：，
联立方程得，
则，.
因为以为直径的圆过点，所以，
则，
即，解得，
所以，解得，
所以的方程为.
（2）设，，.
不妨设，，按逆时针顺序排列.
①当有一边斜率不存在时，另一顶点为，不妨设，则：，：，
与抛物线的方程联立得，，中心.
②当三边的斜率都存在时，，.
又，所以，
化简可得，
同理可得，
，
三式相加得.
因为，，是上的三点，所以，
又，
所以.
设，则，，
代入上式得.
又①也满足，所以的轨迹方程为.
当时，直线的斜率为，
当且仅当时，直线的斜率取得最大值.
当时，直线的斜率.
综上，直线斜率的最大值为.
22.解：（1）由直线：（为参数），
消去参数，可得的普通方程为.
由曲线：，可得曲线的参数方程为（为参数）.
（2）的方程为，即.
设点的坐标为，
则点到直线的距离.
因为，所以当时，取得最小值，
即，解得.
23.解：（1）当时，
当时，可化为，
解得，所以；
当时，可化为，
解得，所以
当时，可化为，
解得，所以.
综上，不等式的解集为.
（2）当时，可化为，则，
即，则.
因为，所以，故实数的取值范围为.