山西省太原市第五中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题（含解析）

太原五中2023—2024学年度第二学期月考
高二数学
时间：2024年5月
一 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）
A. B. C. D.
2.十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，，用七进制表示68这个数就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（ ）
A.1 B.2 C.5 D.6
3.五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票.若甲 乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ）
A.60 B.80 C.100 D.120
4.用5种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有多少种不同的书写方案？（ ）
A.240 B.480 C.120 D.200
5.有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望（ ）
A. B. C. D.
6.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）
A. B. C. D.
7.身高各不同的六位同学 站成一排照相，说法不正确的是（ ）
A. 三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B.与同学不相邻，共有种站法
C. 三位同学必须站在一起，且只能在与的中间，共144种站法
D.不在排头，不在排尾，共有504种站法
8.概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲 乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定，各出赌金150枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.向这300枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（ ）
A.甲150枚，乙150枚 B.甲225枚，乙75枚
C.甲200枚，乙100枚 D.甲240枚，乙60枚
二 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18.0分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列说法中，正确的是（ ）
A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1
B.一组数据的第75百分位数为17
C.若样本数据的方差为8，则数据的方差为2
D.将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，若，则总体方差
10.某工厂生产的200个零件中，有198件合格品，2件不合格品，从这200个零件中任意抽出3件，则抽出的3个零件中（ ）
A.至多有1件不合格品的抽法种数为
B.都是合格品的抽法种数为
C.至少有1件不合格品的抽法种数为
D.至少有1件不合格品的抽法种数为
11.甲乙两人参加三局两胜制比赛（谁先赢满两局则获得最终胜利）.已知在每局比赛中，甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4，且每局比赛的输赢相互独立.若用M表示事件“甲最终获胜”，N表示事件“比赛共进行了两局且有人获得了最终胜利”，Q为“甲赢下第三局时获得了最终胜利”.则下列说法正确的有（ ）
A. B. C.N与Q互斥 D.N与Q独立
三 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15.0分）
12.某智能手机的开机密码是六位数字，现甲准备将六位数202403中的6个数字打乱顺序设为开机密码，若要求两个2不相邻，两个0相邻，则不同的开机密码总个数为___________.（答案用数字表示）
13.已知多项式展开式中所有项的系数之和为32，则该展开式中的常数项为___________.
14.中国空间站的主体结构包括天和核心舱 问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲 乙等6名航天员开展实验，三个实验舱每个至少一人至多三人，则不同的安排方法有___________种.
四 解答题（本大题共5小题，共77.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题13.0分）
某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析.运动员甲在接力赛中跑第一棒 第二棒 第三棒 第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示.
比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒
出场率 0.3 0.2 0.2 .0.3
比赛胜率 0.6 0.8 0.7 0.7
（1）当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率.
（2）当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第一棒的概率.
16.（本小题15.0分）
已知关于的二项式的二项式系数之和为32，其中.
（1）若，求展开式中二项式系数最大的项；
（2）若，求展开式中系数最大的项；
（3）若展开式中含项系数为40，求展开式中所有有理项的系数之和.
17.（本小题15.0分）
某高校对参加军训的4000名学生进行射击 体能 伤病自救等项目的综合测试，现随机抽取200名军训学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图.
（1）根据频率分布直方图，求出的值并估计这200名学生测试成绩的平均数（单位：分）.
（2）现该高校为了激励学生，举行了一场军训比赛，共有三个比赛项目，依次为“10千米拉练”“实弹射击”“伤病救援”，规则如下：三个环节均参与，三个项目通过各奖励200元 300元 500元，不通过则不奖励.学生甲在每个环节中通过的概率依次为，，，假设学生甲在各环节中是否通过是相互独立的.记学生甲在这次比赛中累计所获奖励的金额为随机变量，求的分布列和数学期望.
（3）若该高校军训学生的综合成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定军训成绩不低于98分的为“优秀标兵”，据此估计该高校军训学生中优秀标兵的人数（结果取整数）.
参考数据：若，则，，.
18.（本小题17.0分）
长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的7—8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男 女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男 女生人数均为200，统计得到以下列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男生 120 80 200
女生 100 100 200
合计 220 180 400
（1）试根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？
（2）为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列以及数学期望；
（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为Y，求Y的数学期望.
附：，其中.
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
19.（本小题17.0分）
台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入 该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：
44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06
现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
（2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？
（3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费 研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）.
附：①相关系数，
回归直线中公式分别为，；
②参考数据：，，，.
试卷第4页，共5页
太原五中2023—2024学年度第二学期月考
高二数学答案
1.A
【分析】从插空的角度考虑，有8盏灯亮着，4盏灯熄灭，4盏熄灭的灯不相邻插空且不能在两端.
【详解】先将8盏灯排成一排，由于两端的灯不能熄灭，则有7个符合条件的空位，进而在7个空位中任取4个插入熄灭的4盏灯，则有种方法，
故选：A.
2.D
【分析】由题意将题目转化成除以7的余数问题，用二项式知识求解即可.
【详解】由题意知个位数应为除以的余数，
因为，除以的余数为.
故选：D.
3.B
【分析】先求得五人的全排列数，再由定序排列法代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意，五人全排列共有种不同的排法，
其中甲乙丙三人全排列共有种不同的排法，
其中甲乙在丙的同侧有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共4种排法，
所以甲 乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为.
故选：B
4.A
【分析】利用分步乘法计数原理与排列的知识即可得解.
【详解】根据题意，“英语角” “语文学苑”和“理综世界”两两相邻，有种方案，
而“数学天地”只和“理综世界”相邻，只要和“理综世界”的颜色不同即可，故有4种方案，
总共有种方法.
故选：A
5.D
【分析】由题意得的所有可能取值为，用古典概型算出相应的概率，进而即可求解.
【详解】的所有可能取值为，记三次得到的数组成数组，
满足的数组有：
，共4个，
所以，
满足的数组有：
，
，共18个，
所以，
满足的数组有：
，
，
，
，共24个，
所以，
满足的数组有：
，，
，，
，，共18个，
所以，
所以X的数学期望.
故选：D.
6.D
【分析】由题意当时，的可能取值为1，3，5，且，根据二项分布的概率公式计算即可求解.
【详解】依题意，当时，的可能取值为1，3，5，且，
所以
.
故选：D.
7.C
【分析】利用全排列和定序可判断A；利用插空法可判断B；利用捆绑法可判断C；利用间接法可判断D.
【详解】对于A，6个人的全排列共有种方法， 全排列有种方法，
所以 三位同学从左到右按照由高到矮的排列有种方法，故A正确；
对于B，先排其余4个人，有种方法，
4个人有5个空，利用插空法将 插入5个空中，有种方法，
则共有种站法，故B正确；
对于C， 三位同学必须站在一起，
且只能在与的中间的排法共有2种，
将这3人捆绑在一起，与其余3人进行全排列，共有种方法，
则共有种方法，故C错误；
对于D，6个人全排列共有种方法，
当在排头时，共有种方法，
当在排尾时，共有种方法，
当在排头且在排尾时，共有种方法，
则不在排头，不在排尾的情况共有种方法，故D正确，
故选：C.
8.B
【分析】列举出若游戏继续进行到结束的所有情况，计算出甲乙各自胜出的概率，从而决定他们各自赌金的份额.
【详解】由题可知，对单独每一局游戏，甲乙获胜的概率均为.
若游戏继续进行，最多再进行2局即可分出胜负：
①第四局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为；
②第四局乙赢，第五局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为；
③第四局乙赢，第五局乙赢，比赛结束，乙胜出，概率为；
则甲胜出的概率为+=，则甲应该分得赌金的，即300×=225枚，
乙分得赌金75枚.
故选：B.
9.AC
【分析】
根据简单随机抽样中每个个体被抽到的可能性是一样的，可判断A；根据百分位数的求法可判断B；根据一组数据加上或乘以同一个数后的平均数以及方差的性质可判断C；根据分层抽样中的平均数以及方差的性质，可判断D.
【详解】选项A：由题意知个体被抽到的概率为，故A正确；
选项B：数据从小到大排列为：，
由于，找第8个数据18，即第75百分位数为18，故B错误；
选项C：设数据的平均数为，
方差为，
则数据的平均数为，
方差为
，
所以，故C正确；
选项D：设第一层数据为，第二层数据为，
则，
所以，
，
总体平均数，
总体方差
因为，则，
所以，
，故D错误.
故选：AC.
10.CD
【分析】对于A：分只有1件不合格品，没有不合格品两种情况解答；对于B：都是合格品相当于从198件合格品抽取3件合格品；对于C：分只有1件不合格品，有2件不合格品两种情况解答；对于D：利用间接法从反面解答.
【详解】对于A：至多有1件不合格品分两种，一种是只有1件不合格品，一种是没有不合格品，故抽法种数为，A错误；
对于B：都是合格品的抽法种数为，B错误；
对于C：至少有1件不合格品分两种，一种是只有1件不合格品，一种是有2件不合格品，故抽法种数为，C正确；
对于D：至少有1件不合格品的抽法种数为，D正确.
故选：CD.
11.ABC
【分析】对于AB：用条件概率计算；对于C：利用互斥的概念来判断；对于D：利用相互独立的条件来判断.
【详解】对于A：，
则，A正确；
对于B：，
则，B正确；
对于C：N与Q不可能同时发生，故N与Q互斥，C正确；
对于D：，，，
故，故D错误.
故选：ABC.
12.
【分析】将两个0捆绑，与3，4混排，再将两个2插入，即可求得开机密码总个数，得到答案.
【详解】由题意，将两个0捆绑，视为1个元素，再与3，4混排，有种不同的排法，
再将两个2插入，有种排法，所以不同的开机密码总个数为.
故答案为：.
13.
【分析】先用展开式中所有项的系数之和为32求出，再将化为进行求解.
【详解】由题意可得，解得，则，
故该展开式中的常数项为.
故答案为：
14.450
【分析】依据分类加法计数原理和平均及不平均分组问题处理方法求解即可.
【详解】若6名航天员三个实验舱，三个实验舱每个至少一人至多三人，
若每组人数分别为，共有种，
若每组人数分别为，共有种，
综上所有不同的安排方法共有.
故答案为：450
15.（1）
（2）
【分析】（1）根据全概率公式即可得出答案.
（2）根据条件概率的计算公式即可求解.
【详解】（1）记“甲跑第一棒”为事件，“甲跑第二棒”为事件，
“甲跑第三棒”为事件，“甲跑第四棒”为事件，“运动队获胜”为事件，
则，
所以当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率为；
（2），
所以当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，甲跑第一棒的概率为.
16.（1）和
（2）和
（3）121
17.（1），
（2）分布列见解析，
（3）人
【分析】（1）借助概率和为可得，借助平均数定义可得平均数；
（2）得出的所有可能取值及其对应概率，即可得分布列，借助期望定义即可得其期望；
（3）借助正态分布的性质可得军训成绩不低于98分的概率，即可估计该高校军训学生中优秀标兵的人数.
【详解】（1）有图可得，解得，
；
（2）的可能取值为 ，
，
，
，
，
，
，
，
则其分布列为：
；
（3），，则，
又，故，
，故可估计该高校军训学生中优秀标兵的人数为人.
18.（1）可以认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联.
（2）分布列见解析，
（3）
【分析】（1）根据列联表中的数据，求得，结合附表，即可求解；
（2）求得男生的人数为人，女生的人数为人，根据题意，得到的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列；
（2）根据题意，求得任抽1人喜欢长跑的概率为，结合服从二项分布，即可求解.
【详解】（1）解：零假设学生对长跑的喜欢情况与性别无关联，
根据题意，由列联表中的数据，
可得，
所以在的独立性检验中，可以推断不成立，
即认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联.
（2）从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，
其中男生的人数为人，女生的人数为人，
从9人中随机抽取3人，所以随机变量的可能取值为，
可得，
，
则随机变量的分布列为：
0 1 2 3
（3）解：由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率为，
所以随机变量服从二项分布，即，所以.
19.（1）模型②的拟合程度更好
（2），当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）
（3）0.3
【分析】（1）分别求得模型①和②的相关系数，，然后比较得出结论；
（2）利用最小二乘法求解；
（3）由净利润为，求解.
【详解】（1）解：设模型①和②的相关系数分别为，.
由题意可得：，
.
所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好.
（2）因为，
又由，，
得，
所以，即回归方程为.
当时，，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.
（3）净利润为，，
令，
所以.
可得在上为增函数，在上为减函数.
所以，
由题意得：，即，
，
即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.3.