2023-2024学年辽宁省沈阳二中高一(下)期中数学试卷(含解析)

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名称 2023-2024学年辽宁省沈阳二中高一(下)期中数学试卷(含解析)
格式 docx
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2024-05-21 08:31:10

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文档简介

2023-2024学年辽宁省沈阳二中高一(下)期中数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设,角的终边经过点,则的值等于( )
A. B. C. D.
2.下列关于函数的说法正确的是( )
A. 图象关于点成中心对称 B. 图象关于直线成轴对称
C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递增
3.已知,且,则( )
A. B. C. D.
4.已知,则( )
A. B. C. D.
5.化简的结果是( )
A. B. C. D.
6.若,则( )
A. B. C. D.
7.的内角,,的对边分别为,,,且,,若边的中线长等于,则( )
A. B. C. D.
8.已知圆半径为,弦,点为圆上任意一点,则下列说法正确的是( )
A.
B. 的最大值为
C.
D. 满足的点有一个
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知向量,则( )
A. 若,则
B. 若,则
C. 的最大值为
D. 若,则
10.已知的内角,,的对边分别为,,,则下列说法正确的是( )
A. 若,则
B. 若,则为钝角三角形
C. 若,则为等腰三角形
D. 若,的三角形有两解,则的取值范围为
11.已知函数,则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 是图象的一条对称轴
C. 在上单调
D. 将的图象向左平移个单位后,得到的图象关于原点对称
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知,则 ______.
13.在梯形中,,,,,、分别为线段和线段上的动点,且,,则的取值范围为______.
14.函数在上单调递减,且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合若方程在上的解为,,则 ______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
函数的部分图象如图所示.
求函数的解析式;
若函数在区间有个零点,求的取值范围.
16.本小题分
在,,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答问题:在中,内角,,所对的边分别为,,,已知,且选择条件_____.
求角;
若为的平分线,且与交于点,求的周长.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
17.本小题分
在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地,如图所示为考虑露营客人娱乐休闲的需求,在四边形区域中,将三角形区域设立成花卉观赏区,三角形区域设立成烧烤区,边、、、修建观赏步道,对角线修建隔离防护栏,其中米,米,.
若米,求烧烤区的面积?
如果烧烤区是一个占地面积为平方米的钝角三角形,那么需要修建多长的隔离防护栏?
考虑到烧烤区的安全性,在规划四边形区域时,首先保证烧烤区的占地面积最大时,再使得花卉观赏区的面积尽可能大,求满足上述条件时的长度.
18.本小题分
已知函数.
求函数的对称中心与对称轴;
当时,求函数的单调递增区间;
将函数的图象向左平移个单位后,所得图象对应的函数为若关于的方程在区间上有两个不相等的实根,求实数的取值范围.
19.本小题分
在中,内角,,的对边分别为,,,且.
求.
若,点,是边上的两个动点,当时,求面积的取值范围.
若点,是直线上的两个动点,记若恒成立,求的值.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:因为,故,.
故.
故选:.
根据正弦函数的定义求解的正余弦计算即可.
本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.
2.【答案】
【解析】解:当时,,所以是函数的中心对称,
所以选项正确,选项错误.
选项,因为,所以,注意到时,,而不存在,所以选项错误.
选项,,因为,注意到时,,而不存在,所以选项错误.
故选:.
根据三角函数的对称性、定义域、单调性等知识确定正确答案.
本题考查正切函数的性质的应用,属于基础题.
3.【答案】
【解析】解:由,
两边平方得:,
则,
又,,,
可得,
联立解得:,.
则,可得.
故选:.
把已知等式两边平方,求得的值,进一步求出的值,与已知联立求解,,可得,再由二倍角的正切求解.
本题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用,是基础题.
4.【答案】
【解析】解:因为,
所以,


故选:.
由已知可知,然后结合二倍角公式即可求解.
本题主要考查了诱导公式及二倍角公式的应用,属于基础题.
5.【答案】
【解析】解: .
,由三角函数线易知.

故选:.
原式被开方数利用同角三角函数间的基本关系及二次根式的化简公式化简,在依据角的范围得到结果.
此题考查了二倍角的正弦以及诱导公式的运用,熟练掌握公式是解题的关键,属于基础题.
6.【答案】
【解析】解:已知,


故选:.
根据同角三角函数的基本关系式进行化简,由此求得正确答案.
本题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数基本关系式的应用,是基础题.
7.【答案】
【解析】解:由,
根据正弦定理得,
所以,
即,可得,
所以,结合,可得,
而,所以.
设的中点为,则,可得,
而,
所以,结合,可知,解得或舍负.
故选:.
根据题意,利用正弦定理将已知等式化为角的关系式,由两角和的正弦公式及诱导公式求出,从而得出的大小,设的中点为,则,利用平面向量数量积的运算性质,算出边的大小.
本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换公式、平面向量数量积的运算性质等知识,属于中档题.
8.【答案】
【解析】解:选项,由题意,圆半径为,弦,
故为等边三角形,
取的中点,连接,则,
由数量积公式及投影向量可得,故A错误;
选项,过点作平行于,交圆于点,
过点作,交的延长线于点,连接,
则四边形为菱形,
由投影向量可知,当点与点重合时,取得最大值,
此时,
故的最大值为,故B正确;
选项,,
因为四边形为菱形,
所以,且,
因为为定值,
故当与平行且方向相同时,取得最大值,最大值为,
当与平行且方向相反时,取得最小值,最小值为,
故,故C错误;
选项,因为点为圆上任意一点,故当,重合时,,
又当时,满足,
故满足的点有个,故D错误.
故选:.
选项,得到为等边三角形,根据投影向量的概念进行求解;选项,作出辅助线,数形结合得到当点与点重合时,取得最大值,利用投影向量的概念求出最大值;选项,作出辅助线,数形结合得到;选项,考虑其中一个向量为零向量及垂直关系得到点有个.
本题考查平面向量数量积的性质及运算,属中档题.
9.【答案】
【解析】解:已知向量,
对于选项A,若,
则,
即,
即选项A正确;
对于选项B,若,
则,
又,
则或,
即选项B错误;
对于选项C,,其中,
又,
则,
即的最大值为,
即选项C错误;
对于选项D,若,
则,
即,
则,
即选项D正确.
故选:.
由平面向量数量积的坐标运算,结合平面向量共线及垂直的坐标运算逐一判断即可.
本题考查了平面向量数量积运算,重点考查了向量模的运算,属中档题.
10.【答案】
【解析】解:对于,因为,由正弦定理可得,所以,A正确;
对于,由余弦定理,可知为钝角,B正确;
对于,因为,所以,即,所以或,
即为等腰三角形或直角三角形,不正确;
对于,因为三角形有两解,所以,即的取值范围为,D正确.
故选:.
由正弦定理和余弦定理可判断,,利用正弦定理和倍角公式可判断,结合三角形解的情况可判断.
本题考查正弦定理,余弦定理,属于基础题.
11.【答案】
【解析】解:,
由,最小正周期为,故A正确;
令,解得:,时,对称轴是,故B错误,
由于,则,在上单调减,C正确;
将的图象向左平移个单位后,得到的解析式是,
其图象不关于原点对称,故D错误.
故选:.
将变形可得,然后对应的性质来判断各个选项即可.
本题考查三角函数的图象和性质,属于基础题.
12.【答案】
【解析】解:.
故答案为:.
根据诱导公式,同角函数关系即可求值.
本题考查诱导公式,同角函数关系,属于基础题.
13.【答案】
【解析】解:由梯形中,,,,,
易得梯形为直角梯形,,且,
故建系如图,
则,,,,
,,,,,

又,,
由对勾函数的性质可知:
在上单调递减,在上单调递增,
且,,,
的值域为,
故的取值范围为
故答案为:
根据题意建立坐标系,利用向量的线性运算及向量数量积的运算构建函数模型,通过函数思想求解即可.
本题考查向量数量积的范围的求解,函数思想,属中档题.
14.【答案】
【解析】解:设的最小正周期为,则,故,
又的图象向左平移个单位后与原来的图象重合,
故为函数的一个周期,故最小正周期,即,
解得,若,则,时,
,令,
由于在上单调递减,故在上单调递减,不合要求,
若,则,时,,
此时满足在上单调递增,满足要求,,,,
由对称性可得,即,
故.
故答案为:.
设出最小正周期为,根据题意得到,求出,分两种情况,讨论后得到,,由对称性可得,代入求值,得到答案.
本题考查三角函数的性质的应用,分类讨论的思想,属于中档题.
15.【答案】解:由图象知,,,

由图象可知,,

,,
又,



令,则函数在区间有个零点,
由余弦函数的图象可得,
解得
【解析】根据图象求出,和,即可求函数的解析式;
由题意可求,利用余弦函数的性质即可求解.
本题主要考查三角函数的图象和性质,根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键.要求熟练掌握函数图象之间的变化关系,考查了数形结合思想,属于中档题.
16.【答案】解:若选,则,
结合,整理得,即,
所以,结合,得,可知,解得;
若选,则,
由正弦定理可得,故,结合,可知;
若选择,由正弦定理可得,
结合余弦定理,可得,即,而,所以.
综上所述,不论选中哪一个条件,都可以得到;
,,,
因为,所以,
因为平分,所以,可得,
化简得,即.
由余弦定理,可得,即,
所以,解得或舍负,
因此,的周长.
【解析】若选,利用正弦定理进行边角转换,结合诱导公式、两角和与差的三角函数公式化简,结合角的范围求出角的大小;若选,根据三角函数的平方关系与诱导公式化简,得到,再利用正弦定理与余弦定理求得角的大小;若选,利用正弦定理与余弦定理化简得到关于角的等式,进而算出角.
根据三角形面积公式与余弦定理,化简得到关于、的方程组,解之得到的值,进而可得的周长.
本题主要考查了正弦定理和余弦定理、三角恒等变换及其应用等知识,属于中档题.
17.【答案】解:在中,米,米,米,
由余弦定理可得,
所以,
所以,
所以烧烤区的面积;

解得,
因为是钝角,所以,

故需要修建的隔离防护栏;

当且仅当时取到等号,此时,
设,
在中,,

当,即时,,
此时.
【解析】在中,由余弦定理可得的值,进而求出的字,代入三角形的面积公式可得的的面积,即求出烧烤城的面积
由三角形的面积公式解得,因为是钝角,所以,利用余弦定理即可求解;
由烧烤区的占地面积最大得到,利用正弦定理解得和,代入三角形面积公式利用三角函数性质即可求解.
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合运用,属于中档题.
18.【答案】解:

令,解得,
所以对称轴为;
令,解得,
所以对称中心为.
由得,
令,
得,
又因为,
所以的单调递增区间为和.
将的图象向左平移个单位后,得,又因为,则,
的函数值从递增到,又从递减回.
令,则,
依题意得在上仅有一个实根.
令,因为,
则需或,
解得或,即实数的范围为
【解析】将原函数恒等变换化简后再利用正弦函数的对称轴和对称中心解出即可;
利用正弦函数的对称区间解出即可;
先将函数平移变换后再结合正弦函数的对称性把问题转化为方程在上仅有一个实根,然后令结合二次函数的性质解出即可.
本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的单调性,函数的图象变换规律,正弦函数的图象和性质,二次函数的性质,属于中档题.
19.【答案】解:因为,
所以由正弦定理得,
因为,
所以,
因为,
所以,
由,可得,即,
所以,
由正弦定理可得,则,
得,则或舍去,
所以;
设,在中,由正弦定理得,
所以,
在中,由正弦定理得,
所以,
的面积

因为,
所以,
则,
故面积的取值范围为;
因为,
所以,
则,即,
又是定值,
所以,是定值,
所以,
因为,为的内角,
所以,
故的值为.
【解析】根据正弦定理与同角的关系求得,利用余弦定理和正弦定理计算即可求解;
设,根据正弦定理可得,,进而的面积,结合正弦函数的性质即可求解;
利用三角恒等变换化简计算可得,则,是定值,即,解之即可.
本题主要考查三角恒等变换与解三角形,三角函数的性质的综合问题,结合三角恒等变换化简,正确运算是解决第问的关键;确定,是定值即是解决第问的关键,属于中档题.
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