2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，若，则( )
A. B. C. D.
2.如图，是的直观图，则是( )
A. 正三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
3.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.九章算术是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积单位：平方丈为( )
A. B. C. D.
5.在中，为的中点，为边上的点，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知在中，，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知棱长均相等的四面体的外接球的半径为，则这个四面体的棱长为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，平面区域为由所有满足的点组成的区域其中，，若区域的面积为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.定义：，两个向量的叉乘，则以下说法正确的是( )
A. 若，则
B.
C. 若四边形为平行四边形，则它的面积等于
D. 若，，则的最小值为
10.已知，为复数，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则或
11.点在所在的平面内，则以下说法正确的有( )
A. 若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心
B. 若，则点为的内心
C. 若，则点为的外心
D. 若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，若，则______．
13.如图所示，隔河可以看到对岸两目标，，但不能到达，现在岸边取相距的两点，，测得，，，在同一平面内，则两目标，间的距离为______．
14.已知平面向量，，满足，，与的夹角为，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，满足，，．
求与的夹角的余弦值；
求．
16.本小题分
已知复数，，且为纯虚数．
求复数；
设、在复平面上对应的点分别为、，为坐标原点求向量在向量上的投影向量的坐标．
17.本小题分
如图，圆柱内接于球，已知球的半径，设圆柱的底面半径为．
以为变量，表示圆柱的表面积和体积；
当为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？
18.本小题分
如图，在中，是边上一点，，，
求的长；
若，求的面积．
19.本小题分
如图，中，，，为边上的中线，点，分别为边，上的动点，线段交于，且线段与线段的长度乘积为．
已知，请用表示；
求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，，
，
则．
故选：．
利用向量平行的性质直接求解．
本题考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，因为线段与轴相交，设交点为，如图所示，
在直角坐标系中，点在轴上，可得，点在轴上，可得，
如图所示，因此点必在线段的延长线上，所以，
所以是钝角三角形．
故选：．
根据斜二测画法的规则，画出的直观图，结合图形，即可求解．
本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算，主要考查了复数的除法运算法则的运用，属于基础题．
利用复数的除法运算法则，求解即可．
【解答】
解：因为，
所以．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，
则有，，
解得，
又圆台的高为丈，
所以圆台的母线长为，
所以圆台的侧面积为．
故选：．
设圆台的上底面半径为，下底面半径为，由已知周长求出和，然后由圆台的侧面积公式求解即可．
本题考查了圆台的几何性质的运用，圆台的侧面积公式的运用，解题的关键是求出圆台的上下底面半径，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：如图所示：
因为为的中点，
所以．
又因为，，
所以．
所以，．
故选：．
根据已知可推得，然后根据，即可得出答案．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量数量积，属基础题．
将问题转化为向量的数量积，即可快速求解．
【解答】
解：，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：棱长均相等的四面体的外接球的半径为，
正四面体的外接球是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，球的直径为正方体的体对角线的长，
则体对角线的长为，
设正方体的棱长为，
则，解得，
故这个四面体的棱长为．
故选：．
先求出正方体的体对角线长，再结合球的特征，即可求解．
本题主要考查棱锥的结构特征，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的基本定理，向量线性运算的坐标表示，平行四边形的面积公式，向量夹角的余弦公式，基本不等式，考查了计算能力，属于较难题．
以，为邻边作 ，作，从而得出点形成的平面区域为 ，可得出，根据，，的坐标即可求出，根据区域的面积为即可得出，进而求出，设，根据即可得出，从而可得出的最小值．
【解答】
【解答】
解：如图所示，以，为邻边作平行四边形，
分别作，，
则由所有满足表示的平面区域为平行四边形，
，
，，，
，，
，
，
化为，
，可得，
，当且仅当时取等号．
，设，
，
，
，，
，
，
的最小值为．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于，，
若，至少有一个为零向量，则满足；
若，均不为零向量，则，即，同向或反向，即，故A正确，
对于，，，
若，则 ，此时；
若，，此时，故B错误；
对于，若四边形为平行四边形，
则它的面积等于，即，故C正确；
对于，，，
两式平方可得：，，
两式相加得：，即，
又，
当且仅当时等号成立，故的最小值为，故D错误．
故选：．
对于，根据叉乘定义，判断，至少有一个为零向量或，即可判断；
对于，根据叉乘定义，讨论和，即可判断；
对于，结合平行四边面积即可判断；
对于，由，推出，结合向量模的计算以及基本不等式即可判断．
本题考查平面向量的数量积与新定义：叉乘的运算，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：设，，因为，
，所以，故A正确；
又，
，
所以，故B正确；
取，，可得，故C错误；
若，由选项知，所以或，可得或，故D正确．
故选：．
利用复数运算性质判断，举反例判断．
本题考查了共轭复数的定义及求法，复数模的求法，复数的运算，是中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：向量的线性运算，三角形的重心、垂心、外心的判定，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用向量的线性运算，三角形的重心、垂心、外心的判定，正弦定理的应用判定、、、的结论．
【解答】
解：对于：根据正弦定理：，所以和共线，
设点为的中点，所以，故动点的轨迹一定经过的重心，故A错误；
对于：由于都为单位向量，满足菱形的性质特征，
，
故向量和的平分线垂直相交于点，则点为的内心，故B正确；
对于：取的中点，由于，且满足，
说明则点是垂直平分线上的点，故点为的外心，故C正确；
对于：同选项A分析，也根据正弦定理：，
所以和共线，设点为的中点，所以，
故动点的轨迹一定经过的重心，但是就不对了，故D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：，
根据余弦定理得：，
又为三角形的内角，
则．
故答案为：
利用余弦定理表示出，把已知的等式代入求出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数．
此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入得数学思想，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由图可得，，
在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
在中，由余弦定理可得：
．
故答案为：．
在中，在中，分别由正弦定理求出，在中，由余弦定理可得解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：平面向量，，满足，，
，
设平面向量，，都是以为起点，终点分别是，，，
则终点到的距离为，设的中点为，则，
即可得终点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
由与的夹角为，点在以为弦，圆周角为的优弧上，
当、、共线，且、在直线两侧，并且时，最大，
也就是的最大值，此时，，，
故答案为：．
利用向量的模的运算求得，设平面向量向量，，都是以为起点，终点分别是，，，求得平面向量的终点的轨迹，由与的夹角为，得到的轨迹，利用圆的性质得到的距离的最大值，即为所求．
本题考查向量的线性运算、向量的模及向量的夹角的几何意义，向量的数量积和模的运算，圆的性质和与圆有关的距离最值问题，属难题．
15.【答案】解：，，，
，
，
；
由知，
，
．
【解析】根据向量垂直得到，由数量积的定义及运算律计算可得；
首先求出，再根据数量积的运算律求出，即可得解．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量模的运算及向量夹角的运算，属中档题．
16.【答案】解：由已知可得，
因为为纯虚数，所以，所以，所以；
由可得，所以，即，，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为．
【解析】利用复数的概念及乘法运算计算即可；
利用复数的几何意义和投影向量的坐标表示计算即可．
本题考查复数的概念和投影向量，属于基础题．
17.【答案】解：如图，点为圆柱底面圆圆心，连接，
，
，
；
，
当且仅当，即时，取最大值，最大值为．
【解析】点为圆柱底面圆圆心，连接，利用圆柱的表面积和体积公式即可求解；
利用圆柱的侧面积公式和基本不等式即可求解．
本题考查了圆柱的表面积和体积的计算，属于中档题．
18.【答案】解：在中，由正弦定理，得
，
在中，由正弦定理，得
．
因为，所以，所以．
从而有，即．
又，所以．
在中，由余弦定理，得
．
在中，由余弦定理，得
由，得，
因为，所以，
故有，
解得，
又，
所以，
．
所以．
【解析】根据正弦定理即条件可以推得；
有余弦定理和可以推得，又因为，可以推得，继而得出三角形面积．
本题考查正弦定理、余弦定理以及解三角形的知识，属于中档题．
19.【答案】解：线段与线段的长度乘积为
则且，
所以，
设，
又因为，，共线，
由平面向量的基本定理可得，，解得，
所以．
设，
令，，线段与线段的长度乘积为，
则，
又因为，，共线，
设，则，
由平面向量的基本定理可知，，解得，
，
又因为，
所以，
又因为，所以，
因为，所以，令，
所以时，函数单调递减，
当时，函数取最大值；
当时，函数取最小值；
故的取值范围为．
【解析】结合题意设，然后根据，，共线求出，进而求解；
令，，根据题意得，设，利用共线设，得到，利用平面向量基本定理得到，然后代入数量积，进行等量代换，最后利用函数的单调性即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
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