2023-2024学年广东省珠海市六校高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省珠海市六校高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.在中，若，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，且，则的值是
( )
A. B. C. D.
5.已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么等于( )
A. B. C. D.
6.已知为非零平面向量，则下列说法正确的是( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D.
7.在中，角，，所对边分别为，，，，，，则值等于( )
A. B. C. D.
8.在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，则三角形的面积的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，则( )
A.
B.
C.
D. 与向量同向的单位向量是
10.已知复数的共轭复数为，则下列说法正确的是( )
A. 一定是实数 B. 一定是实数
C. 一定是纯虚数 D.
11.已知点是的重心，则下列说法中正确的有( )
A. B.
C. D.
12.在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则为锐角三角形
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，则为等腰三角形或直角三角形
D. 若，则是直角三角形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.复数满足，则的虚部为______， ______．
14.已知平面向量，，且，则______．
15.已知平面向量与的夹角为，若，，则在上的投影向量的坐标为______．
16.在中，，，则的最大值为______
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知复数其中且，为虚数单位，且为纯虚数．
求实数的值；
若，求复数的共轭复数．
18.本小题分
如图，已知，．
求线段的中点的坐标；
若点是线段的一个三等分点，求点的坐标．
19.本小题分
如图，斜坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，且的夹角为，定义向量在斜坐标系中的坐标为有序数对，记为在斜坐标系中完成下列问题：
若，，求；
若，求．
20.本小题分
如图，，两点都在河的对岸不可到达若在河岸选取相距米的，两点，测得，，，，那么此时，两点间的距离是多少？
21.本小题分
在平面直角坐标系中，设向量，，其中，分别是的两个内角．
若，求的值；
若，，求的面积的最大值．
22.本小题分
某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动，若点在矩形区域内包含边界，则挑战成功，否则挑战失败已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为，与的夹角为．
若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍．
若，足够长，求机器人乙能否挑战成功．
如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．
由实部大于且虚部小于联立不等式组求解．
【解答】
解：复数在复平面内对应的点在第四象限，
，解得．
实数的取值范围是，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：；
故选：．
根据平面向量的加减法运算，利用三角形法则得到所求．
本题考查了平面向量的加减法运算；属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
，解得．
故选：．
根据平行向量的坐标关系即可求出的值．
本题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．
利用向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】
解：，
，
，解得．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积，向量的模的计算，属于基础题．
由题意并且结合平面数量积的运算公式可得，再根据可得答案．
【解答】
解：因为与均为单位向量，它们的夹角为，
所以，
又因为，
所以．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，根据平面向量数量积的定义知与共线，与共线，所以选项A错误；
对于，时，与不一定相等，如和时它们的数量积为，、不相等，所以选项B错误；
对于，根据平面向量的共线定理知，若，则，使，所以选项C正确；
对于，根据平面向量数量积的定义知，，，所以，选项D错误．
故选：．
根据平面向量共线定理和数量积的定义，依次分析选项，综合即可得答案．
本题考查了平面向量共线定理和数量积的定义应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：由余弦定理得，
解得设外接圆半径为，
则．
故选：．
先由余弦定理求得，再由正弦定理求解即可．
本题考查正弦定理在解三角形中的应用，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意，为直角三角形，且，，
，即，
令，
是等边三角形，
，
则，
，
，
在中，由正弦定理得，
即，
在中，由正弦定理得，
即，
即
，
则，此时面积最大，最大面积为．
故选：．
由题意得到，令，分别得到，和，在和中，利用正弦定理和三角函数的恒等变换即可求解．
本题考查了正弦定理和三角函数的综合应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：向量，
，，，故A正确；
，，与不平行，故B错误；
，故C错误；
对于，与向量同向的单位向量是，故D正确．
故选：．
利用向量坐标运算法则、向量垂直、向量平行、单位向量的定义直接求解．
本题考查向量的运算，考查向量坐标运算法则、向量垂直、向量平行、单位向量的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：复数的共轭复数为，设，、，则，
，为实数，故A正确．
为实数，故B正确．
，可能是实数也可能是纯虚数，故C错误．
，，故D不正确．
故选：．
由题意，利用共轭复数的定义和性质，得出结论．
本题主要考查共轭复数的定义和性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：已知点是的重心，
如图记为中点，连接，，，，
则为靠近点的三等分点，
对于选项：在中，因为是的中点，
所以，所以，故A选项正确；
对于、选项：在中，因为是的中点，
所以，所以，故B选项正确，选项错误；
对于选项：因为，所以，故D选项错误；
故说法正确的是、选项．
故选：．
利用重心的性质，结合图形可解．
本题考查了平面向量基本定理和重心的性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由于，所以，
则中角为锐角，其余两角不定，故选项A错误；
为锐角三角形，可知，即，
则，即，故选项B正确；
由于，，，可得或，
则或，故选项C正确；
由结合正弦定理可得，
，，
，可得，则，故选项D正确．
故选：．
由于锐角三角形需三个角都为锐角，而只能判定，选项A可判定；为锐角三角形中，结合正弦函数的单调性，可判定选项B；由于，可知，相等或互补，选项判定；由于，结合正弦定理化边为角，再消角化简，可判定选项D．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由已知可得，
所以，复数的虚部为，
．
故答案为：；．
利用复数的除法法则可化简复数，利用复数的概念及模长公式可得．
本题考查复数的运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量数量积的坐标运算及向量模的运算，属基础题．
由向量数量积的坐标运算得：，解得：，由向量模的运算得：，即可求解．
【解答】
解：由平面向量，，且，
得：，
解得：，
则，
所以，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：向量在向量上的投影向量是．
故答案为：．
直接利用向量在向量上的投影向量的定义求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：中，，，
；
；
；
则
；
；
当时即；
取最大值为：；
故答案为：．
先利用正弦定理得到；再根据结合二倍角以及辅助角公式；即可整理得到的；之后结合角的范围即可求解
本题考查了数量积运算性质、正弦定理的应用，三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
17.【答案】解：，
，
为纯虚数，
，解得或舍去，
．
由得：
，
．
【解析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，复数模公式，属于基础题．
18.【答案】解：，，
则线段的中点的坐标为；
当点是线段靠近的三等分点时，
设，
，
则，即，即，即；
当点是线段靠近的三等分点时，
设，
则，即，即，即，
故点，
综上所述，或
【解析】结合中点坐标公式，即可求解；
结合向量的坐标运算法则，并分类讨论，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算法则，属于基础题．
19.【答案】解：由题设，，
所以．
由已知，则，
所以．
【解析】由题意，应用向量数量积的运算律求；
由，结合即可求结果．
本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，属于中档题．
20.【答案】解：在中，，，，
由正弦定理求得，
，
在中，由余弦定理得，米．
，两点间的距离为米．
【解析】由已知由正弦定理可求得，，在中，由余弦定理可求得．
本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：已知向量，，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
故．
因为，
所以，
即，
因为，
则，
所以，
即．
因为，
即，
所以，
即，
由余弦定理得，分别为内角，，的对边，
由基本不等式得，当且仅当时，取得等号，
所以，当且仅当时，取得等号，
所以面积的最大值为．
【解析】由向量共线的坐标运算，结合两角和与差的三角函数求解；
由余弦定理，结合三角形的面积公式及基本不等式的应用求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了余弦定理及基本不等式的应用，属中档题．
22.【答案】解：中，由余弦定理得，，
所以，
所以，解得，
即，当且仅当时等号成立，
所以两机器人运动路程和的最大值为．
在中，因为机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，所以，
因为，所以两机器人的运动方向平行，
不论多长，机器人乙都不可能拦截到甲，所以不可能拦截成功．
设，则，．
由余弦定理得，所以，
所以，
由题意得对任意恒成立，
所以，当且仅当时取到等号．
所以矩形区域的宽至少为米，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲．
【解析】中，运用余弦定理和不等式的性质，求解即可．
因为，两机器人的运动方向平行，不能相交，即不可能拦截成功．
设，得，，运用余弦定理求解，得出，再结合对任意恒成立，求解即可．
本题考查了函数的实际应用，以及正余弦定理的使用，也考查了运算求解能力，是中档题．
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