2023-2024学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合若角的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则( )
A. B. C. D.
4.若向量，满足，，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.在中，为边上一点，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.化简所得的结果是( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，与交于点，有下列四个说法：
甲：；
乙：；
丙：：：；
丁：；
若其中有且仅有一个说法是错误的，则该错误的说法为( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
8.在中内角，，的对边分别为，，，设的面积为，若，则下列命题中错误的是( )
A. 若，且，则有两解
B. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为
C. 若，且，则的外接圆半径为
D. 若，则的最大值为
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，内角，，的对边分别为，，，下列命题中正确的是( )
A. 若，则
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，则一定是等腰直角三角形
D. 若，，则一定是等边三角形
10.在中，内角，，的对边分别为，，下列条件能推出的是( )
A.
B.
C. ，且
D. ，设向量，，在上的投影向量为
11.在中，内角，，的对边分别为，，，点，，分别是的重心，垂心，外心若：：：：，则以下说法正确的是( )
A. ：：：：
B. ：：：：
C. ：：：：
D. ：：：：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，点是边上不包含端点的动点，若实数，满足，则的最小值为______．
13.如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得的长为千米，在点处测得，，在点处测得，则，两点间的距离为______千米设，，，四点在同一平面内
14.设，为实数，已知，，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若，求的取值范围；
设为实数，若，求的值．
16.本小题分
在以下三个条件中任选一个补充到下面的横线上，并给出解答注：如果选择多个条件份分别进行解答，则按第一个解答计分
；；向量，，．
在中，内角，，的对边分别为，，，且_____．
求；
若，求周长的最大值．
17.本小题分
已知，为单位向量，设向量，．
若，求与的夹角；
若，设向量，的夹角为，求的最小值．
18.本小题分
在扇形中，圆心角，半径，点在弧上不包括端点，设．
求四边形的面积关于的函数解析式；
求四边形的面积的取值范围；
托勒密所著天文学第一卷中载有弦表，并且讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：在圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和先分别在线段，上取点，，使得为等边三角形，求面积的最小值．
19.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，，的面积为．
求；
若点在内部，满足，求的值；
若所在平面内的点满足，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
，选项错误；
，与不平行，选项错误；
，，选项正确；
，，选项错误．
故选：．
根据向量的坐标运算，针对各个选项分别求解即可．
本题考查向量的坐标运算，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：设旋转后的角为，则，，
所以．
故选：．
设旋转后的角为，则，再根据三角函数的定义求出，再根据两角和的正切公式即可得解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
则，解得，
故在上的投影向量为：．
故选：．
先求出，再结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为中，为边上一点，，，，
由正弦定理得，，
所以，
因为，
所以，
所以，
则．
故选：．
由已知结合正弦定理先求出，然后结合同角平方关系求出，再由三角形外角及诱导公式，两角和的正弦公式展开可求．
本题主要考查了正弦定理，同角平方关系，两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：．
故选：．
由已知利用三角函数恒等变换的应用即可计算求解．
本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：若，则点是的重心，则有，
所以甲乙中必有一个是错误的，所以丙丁正确，
由丁：知，，
即，此时点不是边的中点，所以甲说法错误．
故选：．
结合三角形重心性质及向量线性运算进行合情推理即可判断．
本题考查了三角形重心性质及向量线性运算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：若，
由，
可知，即，从而．
若，则，
从而条件等价于．
对于，若，且，由余弦定理得，
即，解得或，
由于当三角形的三边确定后，三角形唯一确定，故只有两种可能．
经验证，的以下两种情况都是可能的：
，，，，，；
，，，，，
故B有两种可能，选项A正确；
对于，若，且为锐角三角形，由于，
而为锐角三角形即，，解得，
从而的范围是，故的范围是，选项B正确；
对于，若，且，则，且，
故，从而．
而，故，从而，，
这意味着，，，所以，
从而，故，选项C正确；
对于，若，由于，，
故存在使得，，的，此时，，满足条件．
在此情况下，有，故，
从而，
从而此时，这表明不可能以为最大值，选项D错误．
故选：．
首先证明题干中的条件等价于，然后逐个选项判断：对于，直接解出两种可能的情况即可判断选项正确；对于，用正弦定理证明，然后求的范围即可判断选项正确；对于，求出的三边，然后说明是直角，从而得到，即可判断选项正确；对于，直接给出使得的一个满足条件的例子，即可说明选项错误．
本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，中，若，则，
即为外接圆的半径，可得，故A项正确；
对于，若是锐角三角形，则，可得，
由于在上是减函数，所以，即，故B项正确；
对于，若，则，可得，
而、是三角形的内角，故或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故C项不正确；
对于，由，，根据余弦定理得，
整理得，所以，，结合可知是等边三角形，故D项正确．
故选：．
根据三角形中“大角对大边”，结合正弦定理加以判断，可得项的正误；利用锐角三角形的性质与余弦函数的单调性，判断出项的正误；利用正弦定理化简，得到是等腰三角形或直角三角形，从而判断出项的正误；根据，，利用余弦定理证出，从而判断出是等边三角形，可得项的正误．
本题主要考查正弦定理和余弦定理、三角恒等变换公式及其应用、余弦函数的性质等知识，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由，得，
结合，化简得，
因为，所以，可得，结合为三角形内角，可知，故A项不正确．
对于，由，得，
因为，所以，结合为三角形内角，可知或，
当时，解得；当时，解得，不符合题意，舍去．
因此，若，则，故B项正确；
对于，若，则，可得，
整理得，结合，解得，
所以，可得，故C项正确；
对于，向量在向量上的投影向量为，可得，
结合，，得，化简得，恒成立，
因此，由向量在向量上的投影向量为不能推出，故D项不正确．
故选：．
根据正弦定理化简，结合两角和的正弦公式算出，可判断出项的正误；根据正弦定理化简，推导出，由此算出角的大小，可判断出项的正误；根据平面向量数量积的定义与运算性质，化简得到，可判断出项的正误；根据向量投影的定义，化简所给条件得到，从而判断出项的正误．
本题主要考查正弦定理及其应用、三角恒等变换公式、平面向量数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：设，，，
由，解得，
即，
可求得，
所以，故A正确；
不妨取，
由外心性质可知，中面积比等价于，故C正确；
设外心到边的距离为，
由三角形中的欧拉线定理知三角形的外心、垂心和重心在一条直线上，
而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半根据重心为中线的三等分点可证，
又在边的垂直平分线上，进而可得，
所以，所以，所以，
结合选项，可得：：：：，故B正确；
设边上的中线长为，设边上的中线长为，设边上的中线长为，
由重心的性质可得：：：：，
设三角形中，为边上的中点，，，所对边为，，，
延长边上的中线至，使，连接，，可得四边形是平行四边形，
由平行四边形的性质可得，所以可得边上的中线长为，
结合中线长公式可得，
所以：：：：，故D错误．
故选：．
设，，，由，可求，进而可求得，，，进而由正弦定理可判断；不妨取，由三角形外心的性质可得：：：：，可判断；设外心到边的距离为，由欧拉线定理可得，进而可得，进而可求：：，判断；由题意设边上的中线长为，由平行四边形的性质可得，可求得：：：：，可判断．
本题考查了正弦定理和三角形的面积公式，属于难题．
12.【答案】
【解析】解：因为点是边上的动点，且，所以，，，
所以，
当且仅当，即、时取“”，
所以的最小值为．
故答案为：．
根据题意知，，且，，利用基本不等式求的最小值即可．
本题考查了平面向量的线性表示与基本不等式的应用问题，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：在中，，，所以，
所以，
因为，，在点处测得，，
所以，，
所以，
在中，由正弦定理可得：，
所以，
而，
在中，由余弦定理可得：
．
故答案为：．
由题意可得，在中，由正弦定理可得的值，在中，由余弦定理可得的大小．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：设，为实数，已知，，
则，
即，
又，
又因为，
即，
所以．
故答案为：．
由两角和与差的三角函数求解即可．
本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
15.【答案】解：
，
因为，所以，
所以，
即，
故的取值范围为；
由，可得，
所以，
所以
．
【解析】由三角恒等变换得，由，得，由正弦函数的性质求解即可；
由，可得，从而得，再由求解即可．
本题考查了三角恒等变换、三角函数的性质及整体思想，属于基础题．
16.【答案】解：若选，，由正弦定理可得，
在三角形中，，
所以，
又因为，可得，而，
所以；
若选，因为，
即，
整理可得，即，
在三角形中，可得，解得；
若选，因为，，，
则，即，即，
由余弦定理的，所以，而，
所以；
由余弦定理可得，
当且仅当时取等号，
所以，
所以三角形周长的最大值为．
【解析】若选，由正弦定理及三角形中角的关系可得的值，再由角的范围，可得角的大小；若选，由两角和的正弦公式及辅助角公式可得，再由角的范围，可得角的大小；若选，由数量积的运算性质可得，再由余弦定理可得的值，在三角形中可得角的大小；
由余弦定理及基本不等式的性质可得的最大值，进而求出三角形周长的最大值．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的性质的应用，数量积的运算性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：，
所以，
故；
，
所以，
不妨设，即有，
故的最小值为．
【解析】由平面向量的数量积运算计算即可求得；
由平面向量的数量积与夹角运算计算后结合分离常数法求值域即可求得．
本题考查平面向量的数量积与夹角运算，属于中档题．
18.【答案】解：四边形的面积为
，；
由，，
所以，所以，
即四边形面积的取值范围是；
因为，
由托勒密定理知，，化简得；
在中，由余弦定理知，
，
当且仅当时取“”，
所以的面积最小值为．
【解析】利用三角形面积公式及两角和差的正弦公式化简即可；
由求出面积解析式，利用正弦函数的性质求解即可；
由托勒密定理，利用余弦定理和基本不等式，求三角形的面积即可．
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数求值问题，是中档题．
19.【答案】解：，
，因为，
所以，又因为，
所以或，
因为点在内部，所以，所以，
设，，，由余弦定理知，；；，
，
又因为，
所以，，且，
所以，
综上所述，．
当时，
与在直线异侧，设，，，
因为，
所以，
由余弦定理；；，
，
式知，
．
当时，
与在直线异侧，同，，
此时，
，
，与在直线同侧，
，，
由余弦定理；，
，
，
综上所述，满足条件的点有个，的值分别为，和．
【解析】切化弦得出，即可求解；
根据在内部，得出，结合余弦定理得出，根据面积公式得出，即可得解；
根据角的取值分与在直线异侧和异侧，结合余弦定理求解即可．
本题考查解三角形的应用，属于难题．
第1页，共1页