2023-2024学年北京理工大学附中高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京理工大学附中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
3.若数列满足，且，则数列的前项和等于( )
A. B. C. D.
4.如图，为了满足游客的需求，欲在龙沙动植物园东侧修一条环湖公路其中弯曲部分满足某三次函数，并与两条直道公路平滑连接相切，根据图所示，该环湖弯曲路段满足的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
5.已知为等比数列，则“”是“为递增数列”的( )
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
6.中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在详解九章算法商功一书中记载的三角垛、方垛等的求和都与高阶等差数列有关如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为( )
A. B. C. D.
7.若在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为( )
A. B. C. D.
9.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
10.设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论错误的是( )
A. B. C. 的最大值为 D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知是数列的前项和．若，则 ．
12.如图，函数的图象在点处的切线是，方程为，则 ______．
13.已知函数则函数的零点个数为 ．
14.已知是等比数列，为其前项和．若是，的等差中项，，则______，______．
15.已知函数，给出下列四个结论：
函数存在两个不同的零点
函数只有极大值没有极小值
当时，方程有且只有两个实根
若时，，则的最小值为
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数在点处的切线方程；
Ⅱ求函数在区间上的最大值与最小值．
17.本小题分
已知数列的前项和为，，从条件、条件和条件中选择两个作为已知，并完成解答：
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设等比数列满足，，求数列的前项和．
条件：；
条件：；
条件：．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ证明：数列为等差数列．
19.本小题分
已知函数，已知直线分别交曲线和于点，，当时，设的面积为，其中是坐标原点．
Ⅰ写出的函数解析式；
Ⅱ求的最大值．
20.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线的方程；
若函数在处取得极大值，求的取值范围；
若函数存在最小值，直接写出的取值范围．
21.本小题分
对于有限数列，，，，定义：对于任意的，，有
；
对于，记．
对于，若存在非零常数，使得，则称常数为数列的阶系数．
Ⅰ设数列的通项公式为，计算，并判断是否为数列的阶系数；
Ⅱ设数列的通项公式为，且数列的阶系数为，求的值；
Ⅲ设数列为等差数列，满足，均为数列的阶系数，且，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
求导得出，然后即可得出的值，然后即可根据导数的定义得出答案．
本题考查了正弦函数的求导公式，导数的定义，是基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题．
由题意可得，进而可得公差，可得，代值计算即可．
【解答】
解：设公差为，
在等差数列中，，
，解得，
公差，
，
故选B．
3.【答案】
【解析】解：由题意得，数列是以为公比的等比数列，
又，所以，，，
所以的前项和为．
故选：．
由已知结合等比数列的通项公式求出前项，然后求出数列的前项和即可．
本题主要考查了等比数列的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由函数图象知，此三次函数在上处与直线相切，在点处与相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线．
A、，将代入，此时导数为，与点处切线斜率为矛盾，故A错误；
B、，将代入，此时导数为，与点处切线斜率为矛盾，故B错误．
C、，将代入，此时导数为，不为，故C错误；
D、，将，代入，解得此时切线的斜率分别是，，符合题意，故D正确；
故选：．
由题设，“需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接相切“可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案．
本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用，导数的几何意义是导数主要应用之一．
5.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，则“”，，或．
由数列为递增数列，可得，或．
“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件．
故选：．
设等比数列的公比为，则“”，或由数列为递增数列，可得，或即可判断出结论．
本题考查了不等式的解法、等比数列的通项公式与单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：记第层有个球，则，，，，
结合高阶等差数列的概念知，，，，，
则第层的小球个数：
．
故选：．
记第层有个球，则根据题意可得，再根据累加法求解即可．
本题主要考查归纳推理，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：在上单调递增，
在上恒成立，
在上单调递增，
，解得：，
的取值范围为．
故选：．
由单调性可知在上恒成立，结合二次函数性质可得，由此可得的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为等差数列中，，则，则，
因为，，即，
所以使得不等式成立的最大的的值为．
故选：．
根据等差数列的基本性质求解即可．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
令，
则，
由得，即在上单调递减，
又，则，即，
．
故选：．
由题意得，，，构造函数，可得在上单调递减，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：若，，则，，与矛盾，
若，，则，，与矛盾，
，故A正确，
，则，，，故B错误，
，，的最大值为，故C正确，
，故D正确．
故选：．
利用等比数列的通项公式和性质，判断即可．
本题考查等比数列的通项公式和性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
利用数列通项与前项和之间的关系即可即可．
本题考查数列通项与前项和之间的关系，属于基础题．
【解答】
解：，
，，
，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：因为在点处的切线的斜率为，
所以．
故答案为：．
根据导数的几何意义可得．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
分段求解对应的根，即可求解结论．
本题考查求分段函数的零点，属于基础题．
【解答】
解：函数
当时，成立，
当时，成立，舍；
故函数的零点有和两个，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：设，由题意知，即，
解得，；易知．
故答案为：；．
根据题意列出关于首项、公比的方程组，求解即可．
本题考查等比数列的通项和求和公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：对于中，由，可得，解得，所以正确；
对于中，由，
令时，可得，当时，或，
所以函数的单调递减区间是，，单调递增区间是，
所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以错误；
对于中，当时，，根据可知，函数的最小值是，可得函数的大致图象，
所以当时，方程有且只有两个实根，所以正确；
对于中，由知函数的单调递减区间是，，单调递增区间是，
其中，当时，即在区间时，可得，所以错误．
故答案为：．
由，得到，可判定正确；求得，得出函数的单调区间，可判定错误；根据函数的最小值是，可判定正确；由函数的单调性和极值，可判定时，，可判定错误．
本题主要考查利用导数求极值和零点与方程的关系，属于中档题．
16.【答案】解：Ⅰ函数，定义域为，
则，
所以，又因为，
所以函数在点处的切线方程为，即；
Ⅱ函数，，
则，
令得，或，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．
【解析】Ⅰ利用导数的几何意义求解；
Ⅱ先求出，根据的符号得到的单调性，进而求出函数在区间上的最值．
本题主要考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ由题意，不能选择作为已知条件，否则题目条件不完善．
若选择作为已知条件．
，，
数列是以为首项，公差的等差数列．
．
若选择作为已知条件．
，
数列是以为首项，公差为的等差数列．
，，则，
解得，；
Ⅱ由Ⅰ知，，
设等比数列的公比为，则，，
，．
等比数列的通项公式为．
可得．
．
【解析】Ⅰ由题意，不能选择作为已知条件，否则题目条件不完善，当选择和作为已知条件时，都可得到数列是公差为的等差数列，再求出首项，即可求得数列的通项公式；
Ⅱ由Ⅰ知，，设等比数列的公比为，则，可求，进一步求得公比与首项，可得等比数列的通项公式，再由数列的分组求和及等差数列与等比数列的前项和公式求解数列的前项和．
本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前项和，训练了数列的分组求和，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：因为，
若，可得；
若可得，
由于不符合，
所以；
因为，则，由可知：，
则，
可知数列是以首项，公差的等差数列，
所以该数列的前项和．
【解析】分和两种情况，根据与之间的关系分析求解；
由可知：，利用等差数列的定义以及求和公式分析求解．
本题主要考查了数列的和与项的递推关系在数列通项公式求解中的应用，还考查了等差数列的求和公式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ由题意可知，，，
因为，所以，，
所以，
所以，；
Ⅱ由Ⅰ可知，，
则，
令得，，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值，为，
即的最大值为．
【解析】Ⅰ由题意可知，，，再结合时，从而求出的函数解析式；
Ⅱ求出，根据的符号得到的单调性，进而求出的最大值．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
20.【答案】解：函数，．
，，
曲线在点处的切线的方程为．
，．
若，则，
时，，此时函数单调递增；时，，此时函数单调递减．
是函数的极大值点．
时，，令，解得，，
下面对分类讨论：时，，函数在上单调递增，无极值点，舍去．
时，，
列出表格：


单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
为函数的极小值点，舍去．
时，，
列出表格：


单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
为函数的极大值点，满足题意．
时，，列出表格：
列出表格：


单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
为函数的极大值点，满足题意．
的取值范围是
结合：，或时，不存在最小值．
例如或，是函数的极大值点，且时，，无最小值，舍去．
时，时，是极小值点，，满足：，，
需要，解得：．
因此函数存在最小值，的取值范围是
【解析】函数，通过求导可得，可得切线斜率，利用点斜式可得切线方程．
，通过对分类讨论，利用取得极大值的条件即可得出结论．
结合可得：，或时，不存在最小值．对时，时，是极小值点，需要，解得的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21.【答案】解：因数列通项公式为，所以数列为等比数列，且．
得．
数列通项公式为，所以当时，．
所以是数列的阶系数．
因为数列的阶系数为，所以当时，存在，使成立．
设等差数列的前项和为，则．
令，则．
所以，
设等差数列的前项和为，，
则．
令，则．
所以，
当时，，
当时，，
则，解得．
设数列为等差数列，满足，均为数列的阶系数，，
则存在，使成立．
设数列的公差为，构造函数．
由已知得 ．
所以，函数至少有三个零点，，．
由函数的图象与性质，可知为偶数，且满足，
得
所以，解得．
构造等差数列为：，，，，．
可知当时命题成立，即的最大值为．
【解析】Ⅰ根据阶系数的定义进行判断．
Ⅱ根据阶系数的定义进行验证
Ⅲ根据阶系数的定义建立方程进行求解．
本题主要考查数列的综合运用，根据阶系数的定义建立方程是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
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