2023-2024学年广东省云浮市罗定市高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省云浮市罗定市高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.甲乙丙三名高一学生都已选择物理、化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治、历史、地理、生物、技术中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为( )
A. B. C. D.
2.如图是函数的导函数的图像，则下列判断正确的是( )
A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在区间上单调递增 D. 函数在区间上单调递增
3.若随机变量满足，，则下列说法正确的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.设曲线在处的切线方程为，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.若，，，则( )
A. B. C. D.
7.国际高峰论坛，组委会要从个国内媒体团和个国外媒体团中选出个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为( )
A. B. C. D.
8.数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作算术研究中首次引入了二次剩余的概念二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用已知对于正整数，，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余从到这个整数中随机抽取一个整数，记事件“与互质”，“是的二次非剩余”，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有不同的红球个，黄球个，绿球个，则下列说法正确的是( )
A. 从中任选个球，有种不同的选法
B. 若每种颜色选出个球，有种不同的选法
C. 若要选出不同颜色的个球，有种不同的选法
D. 若要不放回地依次选出个球，有种不同的选法
10.设随机变量的分布列为，则( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数存在三个不同的零点
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 若时，，则的最小值为
D. 当时，方程有且只有两个实根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设随机变量服从两点分布，若，则______．
13.长期熬夜可能影响免疫力据某医疗机构调查，某社区大约有的人免疫力低下，而该社区大约有的人长期熬夜，长期熬夜的人中免疫力低下的概率约为，现从没有长期熬夜的人中任意调查一人，则此人免疫力低下的概率为______．
14.已知函数，且满足，则实数的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若是函数的极大值点．
求的值；
求函数在区间上的最值．
16.本小题分
二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的倍求：
展开式中所有二项式系数的和；
展开式中所有的有理项．
17.本小题分
玻璃杯成箱出售，共箱，每箱只．假设各箱含有，，只残次品的概率对应为，和一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买．求：
顾客买下该箱玻璃杯的概率；
在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率．
18.本小题分
已知某闯关游戏，第一关在，两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束．情境寻宝成功获得经验值分，否则得分；情境寻宝成功获得经验值分，否则得分．
已知某玩家在情境中寻宝成功的概率为，在情境中寻宝成功的概率为，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关．
若该玩家选择从情境开始第一关，记为经验值累计得分，求的分布列；
为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
当时，若存在，，使得恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，甲乙丙三名高一学生需要在门科目中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，
即每人有种选法，则人有种不同的选法；
故选：．
根据题意，分析可得每人有种选法，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查分步计数原理的应用，注意不是排列问题，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由函数的导函数的图像知，
时，，单调递减；
时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增．
故选：．
根据函数的导函数大于时单调递增，小于时单调递减；判断即可．
本题考查了根据函数的导数判断函数单调性的应用问题，是基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了数学期望与方差的计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用数学期望与方差的计算公式及其性质即可得出．
【解答】
解：随机变量满足，
，
解得．
，
，解得．
故选D．
4.【答案】
【解析】解：由，得，
由题意可得，，得．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由导数值为列式求解值．
本题考查导数的几何意义及应用，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，
令，得；
令，得，
，
故选：．
分别令与，即可求得的值．
本题主要考查二项式定理的应用，通过对赋值，可以求出答案，属于中档题
6.【答案】
【解析】解：，
设，，
时，，在上单调递减，
，且，，，
．
故选：．
可得出，设，根据导数符号可得出在上单调递减，然后即可得出，，的大小关系．
本题考查了对数的运算性质，构造函数解决问题的方法，根据导数符号判断函数单调性的方法，减函数的定义，考查了计算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题可知选出的个媒体团的构成有如下两类：
选出的个媒体团中只有一个国内媒体团，有种不同的提问方式；
选出的个媒体团中有两个国内媒体团，有种不同的提问方式；
综上，共有种不同的提问方式．
故选：．
先对选出的个媒体团的构成情况进行分类，再考虑提问顺序，借助于两大原理解决问题．
本题主要考查排列、组合的综合应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，在内与互质的数有，，，，，，，所以；
事件“是的二次非剩余”，即为不是整数，
则符合条件的值有，，，，，，，，，，，，；
则，
故．
故选：．
根据题意，先由古典概型计算和，即可求出．
本题考查条件概率的计算，注意条件概率的计算公式，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，从中任选个球，有种不同的选法，A正确；
对于，若每种颜色选出个球，有种不同的选法，B正确：
对于，若要选出不同颜色的个球，有种不同的选法，C错误；
对于，若要不放回地依次选出个球，有种不同的选法，D正确．
故选：．
利用排列知识计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的个球，有种不同的选法，所以选项C错误．
本题考查了组合数的应用问题，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意可得，即，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D不正确．
故选：．
由题意可得，求得，然后分别求出四个概率得选项．
本题考查概率的求法，注意离散型随机变量的分布列的性质的合理运用，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：，令，解得或，
当或时，，故函数在，上单调递减，
当时，，故函数在上单调递增，
且函数有极小值，有极大值，
当趋近负无穷大时，趋近正无穷大，当趋近正无穷大时，趋近于零，故作函数草图如下，
由图可知，选项BD正确，选项C错误，的最大值为．
故选：．
利用导数判断出函数的单调性，作出函数的草图即可判断各选项的真假．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：随机变量服从两点分布，则，
又，联立解得．
故答案为：．
根据两点分布的性质即可求出答案．
本题考查两点分布，考查学生的运算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：设事件表示“免疫力低下”，事件表示“长期熬夜”，
则，，，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
根据条件概率公式求解．
本题主要考查了条件概率公式，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：令，
则，即为奇函数，
因为单调递增，
故在上单调递增，
由得，，即，
所以，即，
令，则，
故时，，单调递增，当时，，单调递减，
故，
所以由可得．
故答案为：．
先判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性即可求解不等式．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
15.【答案】解：，
则，
由题意知即，解得或，
验证：时，成立，
时，，
此时为极小值点，
则；
由知，，，
，令，解得或，
易知在，单调递增，在单调递减，
又，，，，
则，．
【解析】求出函数的导数，根据，求出的值，结合题意检验求出的值即可；
求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值．
本题考查了函数的单调性，极值点，最值问题，考查导数的应用，是中档题．
16.【答案】解：二项式展开式中，通项，
令，得第三项的系数为：，第五项的二项式系数为，
依题意，得，解得或舍，
所以展开式中所有二项式系数的和为；
因为，
所以当，，时，分别为，，，
所以展开式中所有的有理项为：；
；
．
【解析】利用通项公式，列式计算，求得，可求得展开式中所有二项式系数的和；
当，，时，分别为，，，进而可求得展开式中所有的有理项．
本题考查二项式定理及其应用，属于中档题．
17.【答案】解：设表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”事件，表示“箱中恰好有件残次品”事件，
，，，由题设可知，，，，且，
，，
所以，
即顾客买下该箱玻璃杯的概率为，
因为，
所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是．
【解析】先求出一箱中有件残次品的概率，再求查看的有件残次品的概率，进而由条件概率求出顾客买下该箱玻璃杯的概率；
由可得顾客买下该箱玻璃杯的条件下没有残次品的概率．
本题考查条件概率与独立事件的概率，属于基础题．
18.【答案】解：由题意可知，随机变量的可能取值为，，，
所以，
，
，
所以的分布列为：


由可得，从情境开始第一关，
则；
若从情境开始第一关，记为经验值累计得分，
则的可能取值为，，，
所以，
，
，
所以，
因为，
所以应该从情境开始第一关．
【解析】本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列即可；
求出，从情境开始第一关，记为经验值累计得分，求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，求出，比较即可得到答案．
19.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
当时，，
令，
解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，令
解得或，
若，
此时则对恒成立，
所以在区间上单调递减：
若，
此时，
当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递减，
若，
此时，
当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递减，
综上：当时，在上单调递减，在上单增；
当时，在上单调递减；
若，在区间上单调递减；在区间上单调递增；
在区间上单调递减，
若，在区间上单调递减；在区间上单调递增；
在区间上单调递减；
因为，
所以，
此时在区间上单调递减，
所以，，
此时，
即对恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
令，
解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
即．
【解析】由题意，对进行求导，再对当和这两种情况进行分别讨论，再利用导数得到函数的单调性；
根据，得到，此时在区间上单调递减，由，，将问题转化成对恒成立，设，对进行求导，利用导数即可得到的单调性和最值，进而即可得到答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性；考查了运算能力、逻辑推理能力和转化思想．
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