安徽省蚌埠市蚌埠第二中学2023-2024学年高二下学期5月月巩固检测数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项:
1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】逐一求导验证可得结果.
【详解】因为；
；
.
故选：A
2. 若随机变量，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二项分布的概率公式求解.
【详解】由二项分布的概率公式得.
故选：A
【点睛】本题主要考查二项分布的概率公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用导数的几何意义，准确计算，即可求解.
【详解】由函数，可得，
则且，即切线的斜率为，切点坐标为，
所以切线方程为.
故选：C.
4. 为了迎接期中考试，某同学要在5月1日安排6个学科的复习任务，上午安排3科，下午安排2科，晚上安排1科，为了提高学习效率，数学学科的复习时间不安排在早晨第一科，并且语文和英语两科的复习时间不连在一起（上午最后一节和下午第一节不算连在一起，下午最后一节和晚上也不算连在一起），那么6个学科复习的顺序安排总共有（ ）种.
A. 240 B. 480 C. 540 D. 696
【答案】B
【解析】
【分析】先排数学，其他科目任意排列的情况下减去语文和英语相连的情况即可.
【详解】数学排在上午第二科时，其他五科任意排有种，
其中语文和英语排在下午两科有种，所以此时共有种；
数学排在上午第三科时，其他五科任意排有种，
其中语文和英语排在下午两科或上午前两科有种，
所以此时共有种；
数学排在下午第一科时，其他五科任意排有种，
其中语文和英语排在上午连排有种，
所以此时共有种；
同理数学排在下午第二科时，有种；
数学排在晚上时，其他五科任意排有种，
其中语文和英语连排有种，
所以此时共有种；
所以总共有种.
故选：B
5. 已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数的导数求出函数的单调区间，确定极小值点，结合函数在区间上存在最小值，列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】由题意得．
当时，得或，当时，，
可得函数的单调增区间为，．减区间为，
即时，函数取得极小值，
当时，即，
解得或，
故要使函数在区间上存在最小值，
需有，解得，
即实数a的取值范围为
故选：A．
6. 已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：
x 20 23 25 27 30
z 2 2.4 3 3 4.6
由上表可得线性回归方程，则当时，蝗虫的产卵量y的估计值为（ ）．
A B. C. 3 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由表格数据求出、，代入得，代入可得，求出答案即可.
【详解】由表格数据知：，
，
代入，得，
∴，即，∴，
∴时，.
故选：B．
7. 为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才．某学校在不加重学生负担的前提下．提供个性、全面的选修课程．为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高条形图，根据条形图，下列结论正确的是（ ）
A. 样本中不愿意选该门课的人数较多
B. 样本中男生人数多于女生人数
C. 样本中女生人数多于男生人数
D. 该等高条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数
【答案】B
【解析】
【分析】根据等高条形图直接判断各个选项即可.
【详解】对于A，由图乙可知，样本中男生，女生都大部分愿意选择该门课，
则样本中愿意选该门课的人数较多，A错误；
对于BCD，由图甲可知，在愿意和不愿意的人中，都是男生占比较大，
所以可以确定，样本中男生人数多于女生人数，B正确，CD错误.
故选：B．
8. 已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，，利用导数可求得和在上的单调性，由单调性得，，由此可得的大小关系.
【详解】由题意知：，，；
设，则，
当时，，在上单调递增，
，即，又，，即；
设，则；
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，，
在上单调递减，，
即，，即；
综上所述：.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数值大小关系的比较问题，解题关键是将变形后，转化为函数的不同函数值大小关系比较问题，通过构造函数的方式，结合导数知识求得函数单调性，进而得到大小关系.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为随机事件，已知，，下列结论中正确的是（ ）
A. 若为互斥事件，则
B. 若为互斥事件，则
C. 若相互独立，则
D 若，则相互独立
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项根据互斥事件的加法公式进行判断，B选项根据类似集合的运算和对立事件进行判断，C选项结合和独立事件乘法公式计算，D选项根据条件概率公式计算.
【详解】A选项，根据互斥事件的加法公式可得，，A选项正确；
B选项，若为互斥事件,故，类似集合的运算：，
由，故B选项不正确；
C选项，由于是相互独立事件，故，
于是，C选项正确；
D选项：，即，于是相互独立，D选项正确.
故选：ACD.
10. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有6个红球、4个白球，下列说法正确的是（ ）
A. 从甲箱中不放回地取球，在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率为
B. 从甲箱中不放回地每次任取一个球，直至取到白球后停止取球，则抽取两次后停止取球的概率为
C. 从乙箱中有放回地抽取4次，则3次抽到红球的概率为
D. 从乙箱中不放回地抽取3个球，则抽到2个红球的概率为
【答案】AC
【解析】
【分析】结合古典概型和相互独立事件的概率公式对选项逐一判断即可.
【详解】设“从甲箱中不放回地取球，第一次取到红球”为事件A，“第二次取到红球”为事件B，则，，∴，A答案正确；
对于B选项，，B答案错误；
对于C选项，抽到红球的次数，三次抽到红球的概率为，C答案正确；
对于D选项，抽到红球的个数服从超几何分布，，D答案错误．
故选:AC．
11. 已知函数，若对于定义域内的任意实数，总存在实数使得，则满足条件的实数的可能值有（ ）
A. 1 B. C. 0 D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意可得函数无最小值，利用导数分类讨论、时，函数在内最值情况，结合图形判断作答即可.
【详解】函数定义域为，
因为，使得，
则函数在上没有最小值.
对求导得：，
若，当时，；当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，函数值域为，则在内无最小值，因此，.
若，令，，，当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以，显然，即，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
当时，有两个根，不妨令，
当或时，，当或时，，
即函数在，上都单调递减，在，都单调递增，
函数在与处都取得极小值，所以，不符合题意.
当时，，当且仅当时取“=”，则当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意.
综上得：实数的取值范围是：，所以满足条件的实数的可能值有-1，0，.
故选：BCD.
【点睛】图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数；
将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，其中是关于的多项式，则___________;
【答案】2
【解析】
【分析】将化为，展开后观察对应项可得；先求，然后将转化为，展开可得.
【详解】因为
所以，
所以，，所以.
故答案为：.
13. 若一组观测值之间满足，且恒为0，则为___________;（参考公式:）
【答案】1
【解析】
【分析】由恒为0，可得，再结合公式可求.
【详解】由恒为0，知恒成立，即恒成立，故.
故答案为：1
14. 在正三棱柱中，若点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动5次后还在底面ABC的概率为___________;
【答案】
【解析】
【分析】设蚂蚁移动次后还在底面概率为，则，根据题意得底面走到底面的概率为，由上面走到底面的概率为，得到，进而得到是等比数列，求得数列的通项公式，即可求解.
【详解】设蚂蚁移动次后还在底面的概率为，则，
当时，表示第次在平面ABC的顶点上的概率，表示第次在平面的顶点上的概率.
由底面走到底面的概率为，由上面走到底面的概率为，
所以，得，又，
所以是等比数列，首项为，公比为，故，
整理得，所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于概率与数列问题的交汇问题的求解策略：
对于概率与数列的交汇问题，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系，解答此类问题的基本步骤为：
1、定位的精准性，即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率摡型的依据，也是建立递推关系式的准则；
2、准确建模，通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型的运算与求解；
3、解决模型，利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某校高二年级为研究学生数学与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
语文成绩 合计
优秀 不优秀
数学成绩 优秀 45 35 80
不优秀 45 75 120
合计 90 110 200
（1）根据独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
（2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计学中称为似然比.现从该校学生中任选一人，设“选到的学生语文成绩不优秀”，“选到的学生数学成绩不优秀”，请利用样本数据，估计的值.
附：
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）认为数学成绩与语文成绩有关
（2）
【解析】
【分析】（1）零假设后，计算卡方的值与比较即可；
（2）根据条件概率公式计算即可.
【小问1详解】
零假设为：数学成绩与语文成绩独立，
即数学成绩与语文成绩无关，
根据表中数据计算得
根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，
故认为数学成绩与语文成绩有关.
【小问2详解】
，
所以估计的值为.
16. 已知.
（1）若，求的展开式中含的项;
（2）若，且的展开式中含的项的系数为24，那么当m，n为何值时，的展开式中含的项的系数取得最小值
【答案】（1）
（2）当时，的展开式中含的项的系数取得最小值111
【解析】
【分析】（1）根据两个二项式乘积展开式的指定项的系数的求法求解即可.
（2）先根据条件求出满足的关系，再转化成二次函数的最值问题求解.
【小问1详解】
当时，
则的展开式中含的项的系数为：356，
所以的展开式中含的项为.
【小问2详解】
因为，且的展开式中含的项的系数为24，
所以，即5n（其中）.
又的展开式中含的项的系数为：
（其中）
又因为
所以当时，的展开式中含的项的系数取得最小值111.
17. 为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值.养殖场将某周的5000只家禽血液样本中指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分布直方图
（1）根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中指标值的中位数（结果保留两位小数）；
（2）通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中指标的值服从正态分布
（i）若其中一个养殖棚有1000只家禽，估计其中血液指标的值不超过的家禽数量（结果保留整数）；
（ii）在统计学中，把发生概率小于的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的.该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中指标的值大于，判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由.
参考数据：
①；
②若，则
【答案】（1）7.33
（2）（i）841；（ii）不正常，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）先判断中位数所在区间，再设出中位数，利用中位数左侧频率和为0.5求解即可；
（2）（i）由正态分布的对称性及特殊区间的概率求得，再计算家禽数量即可；（ii）先求出，再由独立重复实验的概率公式求出恰有3只血液中指标的值大于的概率，和比较作出判断即可.
【小问1详解】
由可得中位数在区间内，
设中位数为，则，解得；
【小问2详解】
（i）由可得，
则，只；
（ii），，随机抽检20只相当于进行20次独立重复实验，
设恰有3只血液中指标的值大于为事件，则，
所以这一天该养殖场的家禽健康状况不正常.
18. 五一假期后，高二年级篮球赛进入白热化阶段，甲、乙、丙三支种子队在进入半决赛之前不会相遇.他们都需要在最后一轮小组赛中战胜对手从而进入淘汰赛，然后在淘汰赛中胜出才能进入半决赛.已知甲队在小组赛最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为和；乙队在最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为和；丙队在最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为和，其中.
（1）甲、乙、丙三队中，谁进入半决赛的可能性最大；
（2）若甲、乙、丙三队中恰有两队进入半决赛的概率为，求的值；
（3）在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入半决赛的队伍数为，求的分布列及期望.
【答案】（1）乙进入决赛的可能性最大
（2）
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，分别求得甲乙丙进入决赛的概率，即可求解；
（2）由甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率，结合列出方程，即可求解；
（3）根据题意，得到的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望公式，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，甲队进入半决赛的概率为，乙队进入决赛的概率为，
丙队进入决赛的概率为，
因为，所以，
显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大.
【小问2详解】
解：因为甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，
所以，解得或，
因为，所以.
【小问3详解】
解：由题意可知：甲、乙、丙三队进入决赛概率分别为，
且随机变量的可能取值为，
可得，，
，，
所以的分布列为:
0 1 2 3
P
所以，期望为.
19. 设，函数.
（1）讨论函数的单调性;
（2）若时，函数有三个零点，试比较与2的大小关系，并说明理由.
【答案】（1）答案见解析
（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，对函数求导，分别讨论和时函数的单调性即可；
（2）由题可得，再得到，进一步转化处理可得，再利用导数证明即可得出结论.
【小问1详解】
由，得，又因为，所以，
则，所以，
当时，令，得或;令，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减;
当时，令，得;令，得或，
所以在与上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
，理由如下:
因为，
令，
由，得，
解得或，
因为，
所以,是的正根，
则，又，
所以，
两式相减得，
令，则，
得，则，
令，则
所以
得，
设，则，
再设，则，
所以在上为增函数，
所以，即，
则在上为增函数，
所以，
所以，即，
所以，即.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常转化为恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.安徽省蚌埠市蚌埠第二中学2023-2024学年高二下学期5月月巩固检测数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项:
1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若随机变量，则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 为了迎接期中考试，某同学要在5月1日安排6个学科的复习任务，上午安排3科，下午安排2科，晚上安排1科，为了提高学习效率，数学学科的复习时间不安排在早晨第一科，并且语文和英语两科的复习时间不连在一起（上午最后一节和下午第一节不算连在一起，下午最后一节和晚上也不算连在一起），那么6个学科复习的顺序安排总共有（ ）种.
A. 240 B. 480 C. 540 D. 696
5. 已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：
x 20 23 25 27 30
z 2 2.4 3 3 4.6
由上表可得线性回归方程，则当时，蝗虫的产卵量y的估计值为（ ）．
A. B. C. 3 D. 6
7. 为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才．某学校在不加重学生负担的前提下．提供个性、全面的选修课程．为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高条形图，根据条形图，下列结论正确的是（ ）
A. 样本中不愿意选该门课人数较多
B 样本中男生人数多于女生人数
C. 样本中女生人数多于男生人数
D. 该等高条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数
8. 已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为随机事件，已知，，下列结论中正确的是（ ）
A. 若为互斥事件，则
B. 若为互斥事件，则
C. 若相互独立，则
D. 若，则相互独立
10. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有6个红球、4个白球，下列说法正确的是（ ）
A. 从甲箱中不放回地取球，在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率为
B. 从甲箱中不放回地每次任取一个球，直至取到白球后停止取球，则抽取两次后停止取球的概率为
C. 从乙箱中有放回地抽取4次，则3次抽到红球的概率为
D. 从乙箱中不放回地抽取3个球，则抽到2个红球的概率为
11. 已知函数，若对于定义域内的任意实数，总存在实数使得，则满足条件的实数的可能值有（ ）
A. 1 B. C. 0 D.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，其中是关于的多项式，则___________;
13. 若一组观测值之间满足，且恒0，则为___________;（参考公式:）
14. 在正三棱柱中，若点处有一只蚂蚁，随机沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动5次后还在底面ABC的概率为___________;
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某校高二年级为研究学生数学与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
语文成绩 合计
优秀 不优秀
数学成绩 优秀 45 35 80
不优秀 45 75 120
合计 90 110 200
（1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
（2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计学中称为似然比.现从该校学生中任选一人，设“选到的学生语文成绩不优秀”，“选到的学生数学成绩不优秀”，请利用样本数据，估计的值.
附：
0.05 0.01 0001
3.841 6.635 10.828
16. 已知.
（1）若，求的展开式中含的项;
（2）若，且的展开式中含的项的系数为24，那么当m，n为何值时，的展开式中含的项的系数取得最小值
17. 为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值.养殖场将某周的5000只家禽血液样本中指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分布直方图
（1）根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中指标值的中位数（结果保留两位小数）；
（2）通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中指标的值服从正态分布
（i）若其中一个养殖棚有1000只家禽，估计其中血液指标的值不超过的家禽数量（结果保留整数）；
（ii）在统计学中，把发生概率小于的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的.该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中指标的值大于，判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由.
参考数据：
①；
②若，则
18. 五一假期后，高二年级篮球赛进入白热化阶段，甲、乙、丙三支种子队在进入半决赛之前不会相遇.他们都需要在最后一轮小组赛中战胜对手从而进入淘汰赛，然后在淘汰赛中胜出才能进入半决赛.已知甲队在小组赛最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为和；乙队在最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为和；丙队在最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为和，其中.
（1）甲、乙、丙三队中，谁进入半决赛的可能性最大；
（2）若甲、乙、丙三队中恰有两队进入半决赛的概率为，求的值；
（3）在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入半决赛的队伍数为，求的分布列及期望.
19. 设，函数.
（1）讨论函数的单调性;
（2）若时，函数有三个零点，试比较与2的大小关系，并说明理由.
