北师大燕化附中2023-2024学年第二学期期中质量检测
高一年级数学
本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷自行保留，答题卡上交．
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 若角的终边过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出到原点的距离，根据三角函数定义即可求得答案.
【详解】由题意角的终边过点，则,
故，
故选：A.
2. 向量，，若⊥，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂直关系得到方程，求出答案.
【详解】由题意得，解得.
故选：D
3. 如果，那么与角终边相同的角的集合可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据角终边相同角的集合为即可得答案.
【详解】因为与角终边相同的角的集合为，
故当时，角终边相同的角的集合可以表示为.
故选：A
【点睛】方法点睛：角终边相同的角的集合为
4. 下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据基本初等函数的单调性以及奇偶性即可求解.
【详解】对于A，为奇函数，且为单调递增的幂函数，故A正确，
对于B，为非奇非偶函数，故不符合，
对于C，为反比例函数，在和均为单调递增函数，但在定义域内不是单调递增，故不符合，
对于D，在单调递增，但在定义域内不是单调递增，故不符合，
故选：A
5. 要得到函数图象，只要把函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦函数平移的原则即可得到答案.
【详解】，
则把函数图象上所有的点向右平移个单位即可.
故选：D
6. 《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A. B. C. D. 120
【答案】A
【解析】
【分析】根据扇形面积公式得到面积为120步，设出扇形圆心角，根据求出扇形圆心角.
【详解】因为直径16步，故半径为步，
（平方步），
设扇形的圆心角为，则，
即．
故选：A
7. 若非零向量满足，则必有（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可得，即可判断ACD选项；由于即可判断B选项
【详解】因为，所以，
因为，所以，故得不到，和，故ACD错误，
因为，所以，故B正确，
故选：B
8. 在△ABC中，若，则△ABC为（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】利用和角正弦公式及三角形内角和性质，可得，讨论、情况下，判断△ABC对应形状.
【详解】由题意，，又，
∴，即，，
∴当时，；当时，，又，则；
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
故选：D
9. 已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分讨论，求出的范围，根据在范围内建立不等式求解即可.
【详解】当时，，
由题意知，，即，
当时，，
由题意知，，即，
的取值范围是，
故选：D
10. 如图，在四边形中，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法错误的是（ ）
A.
B. 若为线段的中点，则
C. 的最小值为
D. 的最大值比最小值大
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，作出辅助线，利用相似求出边长，求出点的坐标，进而利用向量解决四个选项.
【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，过点C作CG⊥x轴于点G，作CH⊥y轴于点H，过点B作BM⊥CH交HC的延长线于点M，则，
因为，
所以，设，则，则，，
则，即，解得：或（舍去），
则，，
，A说法正确；
若为线段的中点，则，
所以，
则，解得：，则，B说法正确；
设，
则，
故当时，取得最小值，故最小值为，C选项说法错误；
，则，
因为，则，所以，
解得：，，
所以最大值比最小值大，D说法正确.
故选：C
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】定义域满足 .
【详解】的定义域满足 ，即 .
故答案为：.
12. 已知向量，，那么______.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，
所以，
所以.
故答案为：
13. 已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题一组的值为__________， _________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.
【详解】因为在上单调递增，若，则，
取，
则，即，
令，则，
因为，则，
即，则.
不妨取，即满足题意.
故答案为：.
14. 记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则T的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的最小值，从而得的最大值；
【详解】因为，所以最小正周期，
因为，又，所以，
即，又为的零点，
所以，解得，
因为，所以当时，，
所以的最大值为.
故答案为：
15. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.已知函数，函数，则下列4个命题中
①函数不是周期函数；②函数的值域是；
③函数的图象关于对称； ④方程只有一个实数根；
其中全部正确结论的序号是______.
【答案】②④
【解析】
【分析】先研究函数的奇偶性，作出函数的图象，作出函数的图象判断①②的正确性，由特值判断③的正确性，再分类讨论判断方程的根的个数得解.
【详解】函数的定义域为R，
因为，所以为偶函数，
当时，，
则，
当时，，
当时，，
所以函数的图象如下图所示
由可知，在内，，
当，Z时，，
当，且，Z时，，
当或，Z时，，
因为，所以为偶函数，
则函数的图象如下图所示：
由函数的图象得到不是周期函数，故选项①不正确；
所以函数的值域是，故选项②正确；
由，，
所以函数的图象不关于对称，故选项③不正确；
对于方程，当时，方程有一个实数根，
当时，，此时，方程没有实数根，
当时，，此时，方程没有实数根，
所以方程只有一个实数根，故④正确.
故答案为：②④
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用正弦函数的性质分析函数的图象和性质，进而利用高斯函数的定义可得函数的性质即得.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知，与的夹角是.
（1）求的值及的值；
（2）当为何值时，？
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由定义求出数量积，再利用模长公式及向量数量积的运算律即得；
（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．
【小问1详解】
∵，与的夹角是，
∴，
；
【小问2详解】
由题意，，
即，
解得，
即时，.
17. 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出，再根据两角差的正弦公式求解；
（2）先求出，再根据两角差的正切公式求解.
【小问1详解】
因为，，所以，
所以；
【小问2详解】
因为，
，
所以，
所以.
18. 设函数，.
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据周期公式计算即得；
（2）将看成整体，利用正弦函数的递增区间列出不等式组，求解即得.
【小问1详解】
由可得，故函数的最小正周期为；
【小问2详解】
由，得，
所以函数的单调递增区间是.
19. 已知函数．
（1）求的值；
（2）已知．
（ⅰ）求的最值及相应的值；
（ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）（ⅰ），最大值，，最小值0；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）将直接代入表达式即可求解；
（2）利用二倍角公式化简得，（ⅰ）由，则，利用整体代换法从而可求解；（ⅱ）由（ⅰ）可得，从而可求解.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
，
（ⅰ）由，得，
所以，
所以，
当时，即时，，
当时，即时，，
（ⅱ）由（ⅰ）结论可得，所以，
所以，即的取值范围是．
20. 如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处.
（1）已知在时点距离地面的高度为.求时，点距离地面的高度；
（2）当离地面m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点处有多少时间可以看到公园的全貌.
【答案】（1）
（2）转一圈中在点处有的时间可以看到公园的全貌.
【解析】
【分析】（1）根据题意，确定的表达式，代入运算即可；
（2）要求，即，解不等式即可.
【小问1详解】
依题意知，，，，
由，解得，所以，
因为，所以，又，所以，
所以，
所以，
即时点距离地面的高度为；
【小问2详解】
令，即，
解得，
即，
又，
所以转一圈中在点处有的时间可以看到公园的全貌.
21. 已知非常数函数的定义域为，如果存在正数，使得，都有恒成立，则称函数具有性质T.
（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质T ？并说明理由;
① ；②.
（Ⅱ）若函数具有性质T，求的最小值;
（Ⅲ）设函数具有性质T，且存在，使得，都有成立，求证：是周期函数.
【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）； （Ⅲ）见解析.
【解析】
【分析】（Ⅰ）利用反证法和函数的周期性的定义，即可作出结论.
（Ⅱ）由函数具有性质T，转化为存在正数，使得，都有恒成立.利用三角函数的图象与性质，即可求解.
（Ⅲ）由题意得出存在正数，使得，恒成立，即 ，以此类推可得. 利用函数的性质，即可求解.
【详解】（Ⅰ）函数不具有性质T，函数具有性质T.理由如下：
①假设函数具有性质T，即存在正数，使得恒成立.
则 对恒成立.
所以 此方程组无解，与存在正数矛盾.
所以 函数不具有性质T.
②取，则，
即对恒成立.
所以 函数具有性质T.
（Ⅱ）因为函数具有性质T，
所以存在正数，使得，都有恒成立.
令，则对恒成立.
若，取，则，矛盾；
若，取，则，即，矛盾；
所以 .
则 当且仅当时，对恒成立.
因为 ， 所以 .
所以 当时，函数具有性质T.
所以 的最小值是.
（Ⅲ）因为 函数具有性质T，
所以 存在正数，使得，恒成立.
所以 ，以此类推可得.
用代替，可得.
因为 不是常数函数，
所以 存在，使得.
若，则.
所以 .
因为 存在，使得，都有成立，
取，则，矛盾.
若，则.
同上可知存在，使得，矛盾.
所以 .
所以对，.
所以是周期为1的函数.
【点睛】本题主要考查了函数的周期性和函数基本性质的综合应用，其中解答中正确理解题意，合理利用函数的周期性的定义和函数的基本性质，灵活化简、运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题.北师大燕化附中2023-2024学年第二学期期中质量检测
高一年级数学
本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷自行保留，答题卡上交．
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 若角的终边过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 向量，，若⊥，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如果，那么与角终边相同的角的集合可以表示为（ ）
A B.
C. D.
4. 下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数是（ ）
A. B. C. D.
5. 要得到函数的图象，只要把函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
6. 《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A. B. C. D. 120
7. 若非零向量满足，则必有（ ）
A. B. C. D.
8. 在△ABC中，若，则△ABC为（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
9. 已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，在四边形中，为线段中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法错误的是（ ）
A.
B. 若为线段的中点，则
C. 的最小值为
D. 的最大值比最小值大
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数的定义域为______．
12. 已知向量，，那么______.
13. 已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________．
14. 记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则T的最大值为______.
15. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.已知函数，函数，则下列4个命题中
①函数不是周期函数；②函数值域是；
③函数的图象关于对称； ④方程只有一个实数根；
其中全部正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知，与的夹角是.
（1）求的值及的值；
（2）当为何值时，？
17. 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
18. 设函数，.
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间.
19. 已知函数．
（1）求的值；
（2）已知．
（ⅰ）求的最值及相应的值；
（ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
20. 如图，某公园摩天轮半径为40m，圆心O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处.
（1）已知在时点距离地面的高度为.求时，点距离地面的高度；
（2）当离地面m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点处有多少时间可以看到公园的全貌.
21. 已知非常数函数的定义域为，如果存在正数，使得，都有恒成立，则称函数具有性质T.
（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质T ？并说明理由;
① ；②.
（Ⅱ）若函数具有性质T，求的最小值;
（Ⅲ）设函数具有性质T，且存在，使得，都有成立，求证：是周期函数.
