课件17张PPT。1.5 定积分的概念1.5.1 曲边梯形的面积问题提出1.任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算.2.如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，则称函数f(x)为区间I上的连续函数. 3.如图所示的平面图形，是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积是一个需要探讨的课题.曲边梯形
的面积探究（一）：三角形面积的算法 思考1：设△ABC的底边AB＝a，AB边上的高CD＝h，将CD分成n等分，过每个分点按如图所示作n－1个矩形，则从下到上各矩形的长分别为多少？宽为多少？第i个矩形的长为 ，
每个矩形的宽为 . 思考2：这n－1个矩形的面积之和Sn－1等于多少？思考3：随着n的增大，Sn－1与△ABC的面积愈接近，当n趋向于无穷大时，Sn－1的极限为多少？由此可得什么结论？结论：三角形的面积等于各矩形面积之和的极限. 探究（二）：曲边梯形面积的算法 思考1：由抛物线y＝x2与直线x＝1， y＝0所围成的平面图形是什么？它与我们熟悉的平面多边形的主要区别是什么？ 直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的曲边梯形.多边形的每条边都是直线段，上图中有一边是曲线段.思考2：设想用极限逼近思想求上面图形的面积，在该曲边梯形内作若干个小矩形，具体如何操作？？ 将区间[0，1]分成n等分，按如图所示作n－1个矩形.思考3：上述n－1个矩形，从左到右各矩形的高分别为多少？宽为多少？ 第i个矩形的高为 ，
每个矩形的宽为 . 思考4：利用公式
计算，这n－1个小矩形的面积之和Sn－1等于多少？思考5：如何利用各小矩形的面积之和求曲边梯形的面积S？所得的结果是什么？ 思考6：上述用极限逼近思想求曲边梯形面积的过程有哪几个基本步骤? 分割→近似代替→求和→取极限. 思考7：若按如图所示作小矩形，那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗？ 思考8：若分别以区间
内任意一点对应的函数值为高作矩形，那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗？ 相等理论迁移 例 求直线x＝0，x＝3，y＝0和曲线y＝－x2＋2x＋3所围成的曲边梯形的面积. 小结作业 2.求曲边梯形的面积的基本思路是：把曲边梯形分割成n个小曲边梯形→用小矩形近似替代小曲边梯形→求各小矩形的面积之和→求各小矩形面积之和的极限. 1.用极限逼近原理求曲边梯形的面积，是一种“以直代曲”的思想，它体现了对立统一，量变与质变的辨证关系. 3. 上述求曲边梯形面积的方法有一定的局限性，如果用一般方法不能求出各小矩形的面积之和，则得不到曲边梯形的面积.作业：
P42 练习.课件15张PPT。1.5.2 汽车行驶的路程 问题提出 1.用极限逼近思想求曲边梯形面积的基本步骤是什么？， 分割→近似代替→求和→取极限. 2.若已知物体的运动路程s与时间t的函数关系：s＝f(t)，如何求物体在某时刻t0的瞬时速度？ v＝f ′(t0) 3.若已知物体的运动速度v与时间t的函数关系：v＝f(t)，那么f ′(t0)的含义是什么？如何求物体在某时段内经过的路程呢？ f ′(t0)表示加速度汽车行驶的路程探究（一）：汽车行驶的路程 思考1：汽车以速度v作匀速直线运动，经过时间t所行驶的路程为多少？如果汽车作变速直线运动，那么在相同时间内所行驶的路程相等吗？ s＝vt 不相等思考2：已知汽车作变速直线运动，在时刻t(单位：h)的速度为v(t)＝－t2＋2 (单位：km/h)，为了计算汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程，将区间[0，1]等分成n个小区间，那么各个小区间对应的时段分别是什么？ 思考3：当n很大时，在每个小区间上，由于v(t)的变化很小，可以认为汽车近似于以左端点时刻对应的速度作匀速直线运动，那么汽车在上述各时段内行驶的路程的近似值分别为多少？思考4：汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程的近似值如何计算？其结果是什么？思考5：利用极限逼近思想，汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程为多少？思考6：若汽车在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2，那么汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程为多少？探究（二）：汽车行驶路程的拓展探究 思考1：在每个小区间上，如果认为汽车近似于以右端点时刻对应的速度作匀速直线运动，那么汽车在前述各时段内行驶的路程的近似值分别为多少？思考2：汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程如何计算？其结果是什么？ 思考3：由直线t＝0，t＝1，v＝0和曲线v＝－t2＋2围成一个曲边梯形，那么图中各小矩形的面积有什么物理意义？汽车在各时段内行驶的路程的近似值.思考4：汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程，在数值上与这个曲边梯形的面积有什么关系？ 相等 理论迁移 例 一辆汽车作变速直线运动，在时
刻t(单位：h)的速度为v(t)＝ (单位：km/h)，求汽车在1≤t≤2时段内行驶的路程. s＝3小结作业 1.求变速直线运动的物体在某时段内所走过的路程，可以用“以匀代变”和“极限逼近”的数学思想求解，其操作步骤仍然是：分割→近似代替→求和→取极限. 2.在平面直角坐标系中，若横轴表示时间，纵轴表示速度，那么求变速直线运动的物体在某时段内所走过的路程，可转化为求曲边梯形的面积，二者对立统一. 作业：
P45练习：2 .课件16张PPT。1.5.3 定积分的概念 问题提出 1.求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程，都可以通过“四步曲”解决，这四个步骤是什么？其中哪个步骤是难点？ 分割→近似代替→求和→取极限. 2.求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程是两类不同的问题，但它们有共同的解决途径，我们可以此为基点，构建一个新的数学理论，使得这些问题归结为某个数学问题来解决，并应用于更多的研究领域.定积分的概念探究（一）：定积分的有关概念与表示 思考1：对于由直线x＝a，x＝b(a＜b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S，可以归结为一个什么形式的和的极限？ 思考2：对于做变速直线运动的物体，若速度函数为v＝v(t)，则物体在a≤t≤b时段内行驶的路程s，可以归结为一个什么形式的和的极限？思考3：一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点
a＝x0＜x1＜x2＜…＜xi＜…＜xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi](i＝1，2,…，n)上任取一
点 作和式 ，那么
当n→∞时，Sn的极限是否一定存在？一定存在思考4：数学上，把 叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，
记作 ，即
其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.那么定积分 ， ，
分别等于什么？
被积函数，积分上、下限. 思考5：定积分 的值由哪些要素所确定？探究（二）：定积分的几何意义与性质 表示由直线x＝a，x＝b(a＜b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积. 思考1：如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)≥0，那么定积分
的几何意义是什么？ 思考2：下列两图中阴影部分的面积用定积分分别怎样表示？思考3：根据定积分的定义或几何意义，你认为 (k为常数)，
，
(其中a＜c＜b)分别等于什么？ (1)(2)（3）思考4：定积分 的值等于多
少？它有什么实际意义？ 它表示半径为r的圆的面积.理论迁移 例1 利用定积分定义，计算 . 例2 计算. 例2 计算 .小结作业1.定积分是一个特定形式和的极限，其几何意义是曲边梯形的面积，定积分的值由被积函数，积分上限和下限所确定. 2.在实际问题中，定积分可以表示面积、体积、路程、功等等，求定积分的值目前有定义法和几何法两种，有时利用定积分的性质进行计算，能简化解题过程. 作业：
P48 练习题.
P50习题1.5A组：2，4.
