上海市奉贤中学2023-2024学年高一下学期第三学程考试
数学
（考试时间：120分钟 满分150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据弧长公式进行化简即可.
【详解】在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为,
故答案为：
2. 若，，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量垂直的充要条件列方程即可求解.
【详解】因为，，且，
所以3x+3=0，
解得：.
故答案为：-1.
3. 四边形为菱形，其中，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由菱形的性质结合条件可得为边长为等边三角形，由向量减法运算即可得到答案.
【详解】四边形为菱形，其中，
连接，所以为边长为等边三角形，所以
故答案：
4. 已知向量的夹角为，，则___________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据题意，由向量数量积公式可得，再由计算可得答案．
【详解】根据题意，向量的夹角为，，，则，
则，
则；
故答案为：．
5. 已知钝角的终边上的一点，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用三角函数的定义即可求解.
【详解】因为钝角的终边上的一点，所以，则，故，
故答案为：
6. 若函数满足，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数周期，利用公式即可得到的值.
【详解】因为函数满足，所以的最小正周期为，即，则满足条件；
故答案为：
7. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用三角函数的图象变化规律，结合三角函数的奇偶性、诱导公式，求得的值.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后，可得的图象，
根据所得函数为奇函数，可得 ，即，因为，令，可得，
故答案：
8. 设当x＝θ时，函数取得最大值，则cosθ＝_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用辅助角公式先对函数化简，可得，其中，
由题意得，得，从而可求出的值
【详解】解：,
令，则，
因为当时，函数取得最大值，
所以，所以，所以，
所以，所以，
故答案为：.
9. 如图所示的平行四边形ABCD中，为DC的中点，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】先用的线性组合表示出，然后根据向量的数量积运算结合向量模长以及夹角求解出的值.
【详解】因为为中点，所以，
所以，
所以，
故答案为：.
10. 由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】连接，利用余弦定理分别得到，的长，再利用圆内接四边形的面积公式即可得到答案.
【详解】连接
因为在圆内接四边形中，，，，，所以，
在中，由余弦定理可得：，
所以在中，由余弦定理可得：，
化简可得，解得或(舍去)，
所以，则圆内接四边形的面积公式为
故答案为：
11. 在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形面积求得，根据两不等式恒成立，判断，，再由，结合三角形和三角形面积公式，推出和，最后根据向量数量积的定义式即可求得.
【详解】因的面积为10，且，则有，解得，
由图知表示直线上一点到点的向量，
而则表示直线上一点到点 的距离，
由对任意恒成立可知，的长是点到直线上的点的最短距离，
故易得，此时,同理可得.
如图所示,因，由可得：，
由可得：，
由锐角可得是锐角，故是钝角，
于是，
于是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题主要考查不等式恒成立和向量数量积的计算，属于较难题.
处理恒成立问题，一般可考虑分类讨论法，参变分离法，结合图形几何意义判断法等方法；对于数量积运算，可考虑定义法，基向量表示法和向量坐标法来解决.
12. 已知平面向量，，，满足：，，，，则的最大值为___________.
【答案】3
【解析】
【分析】依题意，如图作出各向量，可判断点共线，且，，点的轨迹是以线段为直径的圆，故即可理解为点到圆上点的距离，即得点与点重合时取得最大值.
【详解】
依题意，如图分别作，其中,,
由知，依题意知点有两个位置，即点和点，
又,，由知,
即点的轨迹是以线段为直径的圆.
故的模长当且仅当点与点重合时取得最大，最大值为.
故答案为：3.
【点睛】方法点睛：本题主要考查向量的模长的最值问题，属于难题.对于抽象的向量的共线，垂直，模长等相关量的问题，一般是根据题意作出满足条件的图形，将问题转化成几何图形的距离、夹角等相关量来解决.
二、选择题（本大题共有4题，4+4+5+5=18分）
13. 若的图像与的图象关于轴对称，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据、、与的图象特征依次判断即可得到结果.
【详解】对于A，，图象与重合，A错误；
对于B，与图象关于轴对称，与图象关于轴对称，B正确；
对于C，当时，，可知其图象不可能与关于轴对称，C错误；
对于D，将位于轴下方的图象翻折到轴上方，就可以得到的图象，可知其图象与的图象不关于轴对称，D错误.
故选：B.
14. 在中，“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质和充分和必要条件的概念即可判断．
【详解】在中，，且，则，
即等价于，
因为是的真子集，
所以在中，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A．
15. 在中，，，，则满足条件的有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意判断的大小关系，即可得出答案.
【详解】解：因为，，，，
所以，
所以三角形有两个解，即满足条件的有2个.
故选：C.
16. 设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦函数性质，由已知条件得出最小正周期的范围，从而得的范围，再由函数值为0得出的关系式，从而得出，，取出可能的，确定出值，即可得结论．
【详解】且在上为严格减函数，则，
又，，因此，，
又，所以，即，
由，则且，，
，，
因此，，
若，则，取，满足题意，
若，则，取，满足题意，
的值有2个．
故选：D．
三、解答题（本大题共有5题，14+14+14+18+18=78分）
17. 已知．
（1）若，求实数x的值；
（2）若，求实数x的值．
【答案】（1）4； （2）
【解析】
【分析】（1）利用向量平行(共线)的坐标关系可得;
（2）利用向量垂直即数量积为零即得.
【小问1详解】
解：故；
【小问2详解】
解：
.
18. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）求函数在区间的值域；
【答案】（1）最小正周期为，递增区间为，；
（2）
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式，结合辅助角公式得，再利用周期、正弦型函数单调性求结果；
（2）由的范围求的范围，进而可求出的范围，从而可求的值域.
【小问1详解】
，
∴函数的最小正周期为.
令，，则，，
所以单调递增区间为，.
【小问2详解】
∵，则，∴，
∴，故函数在区间的值域为.
19. 已知村庄在村庄的东偏北方向，且村庄之间的距离是千米，村庄在村庄的北偏西方向，且村庄在村庄的正西方向，现要在村庄的北偏东方向建立一个农贸市场，使得农贸市场到村庄的距离是到村庄的距离的倍.
（1）求村庄之间的距离；
（2）求农贸市场到村庄的距离之和.
【答案】（1）千米
（2）千米
【解析】
【分析】（1）在中，由正弦定理计算即可；
（2）在中，由余弦定理结合可得进而求解
【小问1详解】
由题意可得，，
在中，由正弦定理可得，则，故
即村中，之间的距离为千米；
【小问2详解】
村庄在村庄的正西方向，因为农贸市场在村庄的北偏东的方向，所以.在中，由余弦定理可得，
因为，所以，解得，则，故，
即农贸市场到村庄 的距离之和为千米.
20. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点在直线上运动，动点在直线上运动，为平面上的一个动点，记，，.
（1）若，，求与夹角的余弦值；
（2）若，求的取值范围；
（3）若点，且满足，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接使用数量积的定义和坐标表示即可求出夹角余弦值；
（2）设，并由条件证明，进而得到，再验证对任意的都存在满足的即可；
（3）设，，然后直接计算可知条件等价于，再使用不等式证明，最后给出取到等号的例子即可.
【小问1详解】
由于，，故.
【小问2详解】
设，，由于，，故
，.
由，知.
所以，得
对，令，则此时，.
所以的取值范围是.
【小问3详解】
设，.
由于，，，故.
从而，这表明条件等价于.
而在的条件下，我们有
（这一步使用了不等式，其中）
，
所以.
而当，时，有，且
.
所以的最小值是.
【点睛】方法点睛：解决的方法即是尽量借助于向量坐标计算，没有坐标的，可选设基向量，运用平面向量基本定理进行表达解决，有时还需利用函数的性质或基本不等式辅助解决.
21. 已知定义在上的函数，若存在实数，，使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”；
（1）已知，判断它是否为“函数”；
（2）若函数是“函数”，当，，求在上的解.
（3）证明函数为“函数”并求所有符合条件的、、.
【答案】（1）为“函数”
（2）
（3）证明见解析，，，
【解析】
【分析】（1）根据题意可得对任意的实数恒成立，即可解得，，从而得到结论；
（2）根据题意得到，求出在的解析式，结合余弦函数的图象与性质即可得到答案；
（3）利用辅助角公式化简，由化简，结合题意列方程，解方程从而得到答案.
【小问1详解】
若是为“函数”，则存在实数，，使得对任意的实数恒成立，
即，即对任意的实数恒成立，
则， 解得，
所以是为“函数”
【小问2详解】
因为函数是“函数”，所以，
由于当，，
当，则，所以，
当，则，所以，
当，则，所以，
当，则，所以，
则，
所以当，，
令，则，
所以或，即或，
因为，所以
故在上的解为.
【小问3详解】
由题可得：，
则，其中，且，
由于，可化为，
即
由已知条件，上式对任意的实数恒成立，故必有：
解得：，
由，解得：
所以函数为“函数，其中，，.
【点睛】方法点睛：解决新定义问题，关键读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，找到解题的突破点，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答.上海市奉贤中学2023-2024学年高一下学期第三学程考试
数学
（考试时间：120分钟 满分150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为__________.
2. 若，，且，则______．
3. 四边形为菱形，其中，，则__________.
4. 已知向量的夹角为，，则___________．
5. 已知钝角的终边上的一点，则__________.
6. 若函数满足，则__________.
7. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则__________.
8. 设当x＝θ时，函数取得最大值，则cosθ＝_________．
9. 如图所示的平行四边形ABCD中，为DC的中点，则____________.
10. 由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为___________.
11. 在锐角中，，它面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________.
12. 已知平面向量，，，满足：，，，，则最大值为___________.
二、选择题（本大题共有4题，4+4+5+5=18分）
13. 若的图像与的图象关于轴对称，则的解析式为（ ）
A. B.
C D.
14. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
15. 在中，，，，则满足条件的有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不确定
16. 设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
三、解答题（本大题共有5题，14+14+14+18+18=78分）
17. 已知．
（1）若，求实数x的值；
（2）若，求实数x的值．
18. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）求函数在区间值域；
19. 已知村庄在村庄的东偏北方向，且村庄之间的距离是千米，村庄在村庄的北偏西方向，且村庄在村庄的正西方向，现要在村庄的北偏东方向建立一个农贸市场，使得农贸市场到村庄的距离是到村庄的距离的倍.
（1）求村庄之间的距离；
（2）求农贸市场到村庄的距离之和.
20. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点在直线上运动，动点在直线上运动，为平面上的一个动点，记，，.
（1）若，，求与夹角的余弦值；
（2）若，求取值范围；
（3）若点，且满足，求的最小值.
21. 已知定义在上的函数，若存在实数，，使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”；
（1）已知，判断它是否为“函数”；
（2）若函数是“函数”，当，，求在上的解.
（3）证明函数为“函数”并求所有符合条件的、、.
