上海市南洋中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

上海市南洋中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
一、填空题（本大题共有12题，第1题至第6题，每题4分，第7题至第12题，每题5分，满分54分）
1．（4分）直线x+y﹣3＝0的倾斜角是　 　．
2．（4分）抛物线x2＝4y的准线方程为　 　．
3．（4分）物体的运动位移方程s（t）＝2+sint，则它的初始速度是 　 　．
4．（4分）在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是　 　．（用数字作答）
5．（4分）若k∈R，则“k＞3”是“方程﹣＝1表示双曲线”的　 　条件．（填：“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”）
6．（4分）一枚骰子先后投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数的概率：　 　．
7．（5分）已知直线l1的方程为2x+（5+m）y＝8，直线l2的方程为（3+m）x+4y＝5﹣3m．若l1∥l2，则实数m＝　 　．
8．（5分）曲线y＝xex﹣1在点（1，1）处的切线方程为　 　．
9．（5分）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，且满足，则＝　 　．
10．（5分）已知y＝f（x）在R上是可导函数，y＝f（x）的图像如图所示，则不等式f'（x）＞0的解集为 　 　．
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知A为双曲线的右顶点，以OA为直径的圆与C的一条渐近线交于另一点M，若，则C的离心率为 　 　．
12．（5分）已知，则a1+2a2+3a3+ +2024a2024＝2024a（a≠0），则实数a＝　 　．
二、选择题（本大题共有4题，第13、14题，每题4分，第15、16题，每题5分，满分18分）
13．（4分）下列抽样方法是简单随机抽样的是（　　）
A．某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加抗疫活动
B．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验
C．从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本
D．饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查
14．（4分）函数的导数是（　　）
A． B．
C． D．
15．（5分）若直线3x+4y+m＝0与圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是（　　）
A．﹣5＜m＜15 B．m＜﹣5或m＞15
C．m＜4或m＞13 D．4＜m＜13
16．（5分）已知A（﹣2，0），B（2，0），设点P是圆x2+y2＝1上的点，若动点Q满足：，＝λ（+），则Q的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（14分）如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A的中点．
（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；
（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）
18．（14分）已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，又知此抛物线顶点到焦点的距离为2．
（1）求此抛物线的方程；
（2）若此抛物线方程与直线y＝kx﹣2相交于不同的两点A，B，且AB中点的横坐标为2，求k的值．
19．（14分）已知圆M过C（1，﹣1），D（﹣1，1）两点，且圆心M在x+y﹣2＝0上．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）设P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
20．（18分）已知函数f（x）＝x3+ax2+x+1，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数f（x）在区间（﹣，﹣）内是减函数，求a的取值范围．
21．（18分）已知相圆C：+y2＝1，点F1、F2分别为椭圆的左、右焦点．
（1）若椭圆上点P满足PF2⊥F1F2，求|PF1|的值；
（2）点A为椭圆的右顶点，定点T（t，0）在x轴上，若点S为椭圆上一动点，当|ST|取得最小值时点S恰与点A重合，求实数t的取值范围；
（3）已知m为常数，过点F2且法向量为（1，﹣m）的直线l交椭圆于M、N两点，若椭圆C上存在点R满足＝λ+μ（λ，μ∈R），求λμ的最大值．
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，第1题至第6题，每题4分，第7题至第12题，每题5分，满分54分）
1．（4分）直线x+y﹣3＝0的倾斜角是　π　．
【解答】解：直线x+y﹣3＝0 即 y＝﹣x+，故直线的斜率等于﹣，设直线的倾斜角等于α，
则 0≤α＜π，且tanα＝﹣，故 α＝，
故答案为：．
2．（4分）抛物线x2＝4y的准线方程为　y＝﹣1　．
【解答】解：∵抛物线方程为x2＝4y，
∴其准线方程为：y＝﹣1．
故答案为：y＝﹣1．
3．（4分）物体的运动位移方程s（t）＝2+sint，则它的初始速度是 　1　．
【解答】解：s（t）＝2+sint，
则s'（t）＝cost，
s'（0）＝1，即它的初始速度是1．
故答案为：1．
4．（4分）在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是　15　．（用数字作答）
【解答】解：（1+）6展开式的通项为Tr+1＝C6r（）r＝C6r，
令r＝4得含x2的项的系数是C64＝15，
∴在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是：15．
故答案为：15
5．（4分）若k∈R，则“k＞3”是“方程﹣＝1表示双曲线”的　充分不必要　条件．（填：“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”）
【解答】解：k＞3时，方程﹣＝1 表示焦点在x轴上的双曲线，故充分性成立．
而当方程表示双曲线时，应有 （k﹣3） （k+3）＞0，∴k＞3或k＜﹣3，
∴由方程表示双曲线，不能推出：k＞3，∴必要性不成立．
故k＞3是方程﹣＝1表示双曲线的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
6．（4分）一枚骰子先后投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数的概率：　　．
【解答】解：两次向上点数之和为5的倍数，所以两次向上点数之和为5或者10，包含（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（4，6），（5，5），（6，4），共7个基本事件．
两次掷骰子包含：6×6＝36个基本事件，两次向上点数之和为5的倍数的概率为：．
故填：．
7．（5分）已知直线l1的方程为2x+（5+m）y＝8，直线l2的方程为（3+m）x+4y＝5﹣3m．若l1∥l2，则实数m＝　﹣7　．
【解答】解：直线l1的方程为2x+（5+m）y＝8，直线l2的方程为（3+m）x+4y＝5﹣3m，l1∥l2，
则2×4＝（m+5）（3+m），解得m＝﹣7或m＝﹣1，
当m＝﹣1时，两直线重合，不符合题意，
当m＝﹣7时，两直线不重合，符合题意，
故m＝﹣7．
故答案为：﹣7．
8．（5分）曲线y＝xex﹣1在点（1，1）处的切线方程为　2x﹣y﹣1＝0　．
【解答】解：由题意得，y′＝ex﹣1+xex﹣1，
∴在x＝1处的切线的斜率是2，且切点坐标是（1，1），
则在x＝1处的切线方程是：y﹣1＝2（x﹣1），
即2x﹣y﹣1＝0，
故答案为：2x﹣y﹣1＝0．
9．（5分）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，且满足，则＝　18　．
【解答】解：由题意，椭圆，可得a＝5，b＝3，则，
根据椭圆的定义，可得，
又由，可得，所以，
因为，
即，解得．
故答案为：18．
10．（5分）已知y＝f（x）在R上是可导函数，y＝f（x）的图像如图所示，则不等式f'（x）＞0的解集为 　（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）　．
【解答】解：由图可知f（x）的增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），
∴不等式f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知A为双曲线的右顶点，以OA为直径的圆与C的一条渐近线交于另一点M，若，则C的离心率为 　2　．
【解答】解：由题意得，OM⊥AM，双曲线的一条渐近线方程为，
故，即，
又，所以，
由勾股定理得|OM|2+|AM|2＝|OA|2，即，
解得b2＝3a2，
．
故答案为：2．
12．（5分）已知，则a1+2a2+3a3+ +2024a2024＝2024a（a≠0），则实数a＝　2　．
【解答】解：已知，
所以，
令x＝1，故2024（﹣a）（1﹣a）2023＝a1+2a2+...+2024a2024＝2024a，
故a＝2．
故答案为：2．
二、选择题（本大题共有4题，第13、14题，每题4分，第15、16题，每题5分，满分18分）
13．（4分）下列抽样方法是简单随机抽样的是（　　）
A．某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加抗疫活动
B．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验
C．从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本
D．饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查
【解答】解：对于A，从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生，它不是“逐个”抽取，所以不是简单随机抽样；
对于B，从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个，是简单随机抽样；
对于C，从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本，总体是无限的，不是简单随机抽样；
对于D：从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱，不是随机抽取，所以不是简单随机抽样．
故选：B．
14．（4分）函数的导数是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：y′＝＝．
故选：A．
15．（5分）若直线3x+4y+m＝0与圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是（　　）
A．﹣5＜m＜15 B．m＜﹣5或m＞15
C．m＜4或m＞13 D．4＜m＜13
【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的圆心为（1．﹣2），半径为2，
圆心到直线3x+4y+m＝0的距离：＞2
所以m＜﹣5或m＞15．
故选：B．
16．（5分）已知A（﹣2，0），B（2，0），设点P是圆x2+y2＝1上的点，若动点Q满足：，＝λ（+），则Q的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由，可得QP⊥PB，而＝λ（+），可知P在∠BQA的平分线上．
圆O：x2+y2＝1，圆心为原点O，半径r＝1，连接AQ，延长BP交AQ于点C，连接OP，
因为∠PQB＝∠PQC且PQ⊥BC，所以QB＝QC，且P为BC中点，
因此，|QA|﹣|QB|＝|QA|﹣|QC|＝|AC|＝2|OP|＝2，
点Q在以A、B为焦点的双曲线上，设双曲线方程为（a＞0，b＞0），
可知c＝2，a2+b2＝c2＝4，由2a＝|QA|﹣|QB|＝2，得a＝1，故b2＝3，双曲线方程为．
故选：A．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（14分）如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A的中点．
（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；
（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）
【解答】解：（1）∵，
∴V＝S△ABC A1A＝×4＝2．
（2）∵BC∥B1C1，
∴∠MBC或其补角是异面直线BM与B1C1所成的角，
在△MBC中，BM＝CM＝，BC＝，
由余弦定理得，cos∠MBC＝＝，
∴∠MBC＝arccos，
故异面直线BM与B1C1所成的角为．
18．（14分）已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，又知此抛物线顶点到焦点的距离为2．
（1）求此抛物线的方程；
（2）若此抛物线方程与直线y＝kx﹣2相交于不同的两点A，B，且AB中点的横坐标为2，求k的值．
【解答】解：（1）∵抛物线顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，
∴设抛物线方程为：y2＝2px（p＞0），
又知此抛物线顶点到焦点的距离为2，
∴＝2，p＝4，
则抛物线的方程为y2＝8x；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由得k2x2﹣（8+4k）x+4＝0，
∵此抛物线方程与直线y＝kx﹣2相交于不同的两点A，B，
∴Δ＝（8+4k）2﹣16k2＞0，即k＞﹣1，
又AB中点的横坐标为2，
∴，即k＝﹣1或k＝2，
又k＞﹣1，所以k＝2．
19．（14分）已知圆M过C（1，﹣1），D（﹣1，1）两点，且圆心M在x+y﹣2＝0上．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）设P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
【解答】解：（1）设圆M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
根据题意得，解得：a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4；
（2）由题知，四边形PAMB的面积为S＝S△PAM+S△PBM＝（|AM||PA|+|BM||PB|）．
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，
而|PA|2＝|PM|2﹣|AM|2＝|PM|2﹣4，
即S＝2．
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝＝3，所以四边形PAMB面积的最小值为2＝2．
20．（18分）已知函数f（x）＝x3+ax2+x+1，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数f（x）在区间（﹣，﹣）内是减函数，求a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝x3+ax2+x+1∴f'（x）＝3x2+2ax+1，
当a2≤3时，即﹣≤a≤时，△≤0，f'（x）≥0，f（x）在R上递增．
当a2＞3时，即 a＜﹣或 a＞时，Δ＞0，
f'（x）＝0求得两根为 x＝，
即f（x）在 （﹣∞，），（ ，+∞）上递增，
在 （ ，）递减．
（Ⅱ）f'（x）＝3x2+2ax+1≤0在 （﹣，﹣）恒成立．
即 2a≥在 （﹣，﹣）恒成立，
令h（x）＝＝﹣﹣3x，x∈（﹣，﹣），
则h′（x）＝﹣3＝，
令h′（x）＞0，解得：x＞﹣，令h′（x）＜0，解得：x＜﹣，
故h（x）在 （﹣，﹣）上为减函数，在 （﹣，﹣）上为增函数，
而h（﹣）＝＜h（﹣）＝4，
故＜4，所以2a≥4，故a≥2，
即a的取值范围是[2，+∞）．
21．（18分）已知相圆C：+y2＝1，点F1、F2分别为椭圆的左、右焦点．
（1）若椭圆上点P满足PF2⊥F1F2，求|PF1|的值；
（2）点A为椭圆的右顶点，定点T（t，0）在x轴上，若点S为椭圆上一动点，当|ST|取得最小值时点S恰与点A重合，求实数t的取值范围；
（3）已知m为常数，过点F2且法向量为（1，﹣m）的直线l交椭圆于M、N两点，若椭圆C上存在点R满足＝λ+μ（λ，μ∈R），求λμ的最大值．
【解答】解：（1）因为PF2⊥F1F2，所以设点P（1，t），
则＝1，所以|t|＝，即|PF2|＝，
所以|PF1|＝2a﹣|PF2|＝2；
（2）设S（m，n），则，
则|ST|2＝（m﹣t）2+n2＝m2﹣2tm+t2+1﹣+1，
所以|ST|2＝，
要m＝时|ST|2取最小值，则必有2t≥，
所以t≥；
（3）设过点F2且法向量为（1，﹣m）的直线l的方程为x﹣1﹣my＝0，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，消去x2得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，Δ＝8m2+8＞0，
则y1+y2＝，
则x1+x2＝m（y1+y2）+2＝，
x1x2＝m2y1y2+m（y1+y2）+1＝，
又，
又点R在椭圆C上，则＝1，
所以λ2+2λμx1x2+μ2+2（λ2+2λμy1y2+μ2）＝2，
即λ2（+2）+2λμ（x1x2+2y1y2）+μ2（+2）＝2，
所以＝2，
所以，
所以λμ≤，当且仅当λ＝μ时等号成立，
即λμ的最大值为．