8.6.3 平面与平面垂直（一） 学案

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8.6.3 平面与平面垂直（一）
二面角及平面与平面垂直的判定定理
班级 姓名
学习目标
1．理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．
2．了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．
3．熟悉线线垂直、线面垂直的转化．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 一、二面角的概念(1)半平面的定义：平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．(2)二面角的定义：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．(3)二面角记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q(AB为棱，α，β分别为二面角的两个面，P在α内，Q在β内，且P，Q不在棱上)．(4)二面角的画法第一种是卧式法，也称为平卧式；第二种是立式法，也称为直立式. (5)二面角的大小用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．(6)二面角的平面角若有①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB．二面角的平面角α的取值范围是 .平面角是直角的二面角叫做直二面角．【即时训练1】(1)(多选题)下列说法正确的是(　　)A．两个相交平面组成的图形叫做二面角B．异面直线a，b分别和一个二面角的两个半平面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补C．二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个半平面内作射线所成的角的最小角D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系(2)以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角．其中可能为钝角的有 .
阅读教材，完成右边的内容 二、平面与平面垂直的定义(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直．(2)画法 (3)记作： ．
阅读教材，完成右边的内容 三、平面与平面垂直的判定定理(1)文字语言：如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两个平面垂直．(2)符号语言： .(3)图形语言：【即时训练2】设有直线m，n和平面α，β，则下列结论中正确的是 .①若m⊥n，m α，n β，则α⊥β；②若m∥n，n⊥β，m α，则α⊥β；③若m⊥n，α∩β＝m，n α，则α⊥β；④若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.⑤α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β； ⑥m∥α，m⊥β，则α⊥β
简单的二面角的求法 例1、(1)如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．(2)如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，求二面角V－AB－C的大小．变式1、(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为 .(2)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形是等边三角形，且AB＝，AA1＝，则二面角A1－BC－A的大小为 .
定义法证明面面垂直 例2、如图，在四面体ABCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求证：平面ABD⊥平面BCD.变式2、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1A的中点，求证：平面EBD⊥平面C1BD.
例5、如图，E，F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A′EF位置，连接A′B，A′C，P为A′C的中点．(1)求证：EP∥平面A′FB；(2)求证：平面A′EC⊥平面A′BC.
课后作业
一、基础训练题
1．直线l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是(　　)
A．平行　　　 　B．可能重合　 C．相交且垂直 D．相交不垂直
2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是(　　)
A．互为余角 B．相等 C．其和为周角 D．互为补角
3．(多选题)若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法不正确的是(　　)
A．若m⊥β，m α，则α⊥β B．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ
C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
4．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则△ABC是(　　)
A．等边三角形　 B．直角三角形　　C．锐角三角形 D．钝角三角形
5．下列不能确定两个平面垂直的是(　　)
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角
B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C．一个平面经过另一个平面的一条垂线
D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
6．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P BC A的大小为(　　)
A．60° B．30° C．45° D．15°
7．已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD垂直于圆柱的底面，则必有(　　)
A．平面ABC⊥平面BCD
B．平面BCD⊥平面ACD
C．平面ABD⊥平面ACD
D．平面BCD⊥平面ABD
8．(多选题)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A．D1O∥平面A1BC1
B．MO⊥平面A1BC1
C．异面直线BC1与AC所成的角等于60°
D．二面角M－AC－B等于90°
9．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)
10．以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折叠后原等腰直角三角形两条直角边的夹角为________．
11．如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V－AB－C的度数是________．
12．如图，在四面体PABC中，PA＝PB＝PC，△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，O为AB的中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面________(只填序号)．
①平面PAB；②平面ABC；③平面PAC；④平面PBC；⑤平面POC.
13．如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是________．(填序号)
①PB⊥AD；
②平面PAB⊥平面PAE；
③BC∥平面PAE；
④直线PD与平面ABC所成的角为45°．
14．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD．
求证：平面PDC⊥平面PAD．
15．如图，棱柱ABC A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B．
证明：平面AB1C⊥平面A1BC1．
16．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别AD和BC上，且EF∥AB．若二面角C1 EF C等于45°，求BF的值．
17．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠CDA＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝DC＝1，AB＝2．
(1)证明：平面PAC⊥平面PBC；
(2)求点D到平面PBC的距离．
二、综合训练题
18．(多选题)如图，在三棱锥P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中，正确的是(　　)
A．平面EFG∥平面PBC
B．平面EFG⊥平面ABC
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
19．如图，在一个60°的二面角的棱上有A，B两点，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱AB，且AB＝AC＝1，BD＝2，
则CD的长为(　　)
A．2 B.
C．2 D.
20．如图，在三棱锥P ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则在三棱锥P ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．
三、能力提升题
21．如图，二面角α l β的大小是60°，线段AB α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．
22．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC，则二面角F－BC－A的余弦值为________．
8.6.3　平面与平面垂直
参考答案
1、【答案】C
【解析】由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C．
2、【答案】D
【解析】画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D．
3、【答案】BCD
4、【答案】A
【解析】如图①，设正方形ABCD的边长为1，
AC与BD相交于O，则折成直二面角后如图②，
AB＝BC＝1，AC＝＝＝1，则△ABC是等边三角形．
5、【答案】D　
【解析】如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，
平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，
但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．
6、【答案】C　
【解析】由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，
∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P BC A的平面角．
在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．
7、【答案】B
【解析】因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC．又AD垂直于圆柱的底面，
所以AD⊥BC．因为AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD．又BC 平面BCD，
所以平面BCD⊥平面ACD．故选B．
8、【答案】ABC
【解析】对于A，连接B1D1交A1C1于E，连接BE，则四边形D1OBE为平行四边形，所以D1O∥BE，
因为D1O 平面A1BC1，BE 平面A1BC1，所以D1O∥平面A1BC1，故正确；
对于B，连接B1D，BD，因为O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，
所以MO∥B1D，易证B1D⊥平面A1BC1，所以MO⊥平面A1BC1，故正确；
对于C，因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B为异面直线BC1与AC所成的角，
因为△A1C1B为等边三角形，所以∠A1C1B＝60°，故正确；
对于D，因为BO⊥AC，MO⊥AC，所以∠MOB为二面角M－AC－B的平面角，
显然不等于90°，故不正确．故选D.
9、【答案】垂直
【解析】如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD．
又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，
所以BD⊥平面AA1C1C．
又BD 平面EBD，所以平面EBD⊥平面AA1C1C．
10、【答案】60°　
【解析】如图所示，是等腰直角三角形ABC以斜边AB上的高CD为棱，
折成直二面角后的图形，折叠后AD⊥CD，BD⊥DC，
∠ADB即所成二面角的平面角，故∠ADB＝90°．
设AD＝a，则有BD＝CD＝a，所以AB＝AC＝BC＝a，
所以△ABC是等边三角形，
所以折叠后原等腰直角三角形两条直角边AC，BC的夹角为60°．
11、【答案】60°
【解析】如图，取AB的中点E，CD的中点F，连接VE，EF，VF，
由题意知，AB⊥VE，AB⊥EF，所以∠VEF为二面角V－AB－C的平面角．
易知△VEF为正三角形，所以∠VEF＝60°.
12、【答案】②⑤(或①⑤)
【解析】∵在四面体PABC中，PA＝PB＝PC，△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，O为AB的中点，
∴CO⊥AB，PO⊥AB. ∵CO∩PO＝O，CO，PO 平面POC，∴AB⊥平面POC.
∵AB 平面ABC，AB 平面PAB，∴平面POC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面POC.
13、【答案】②④　
【解析】因为AD∥BC，PB与BC不垂直，故PB与AD不垂直，①不正确；
由PA⊥AB，AE⊥AB，PA∩AE＝A，得AB⊥平面PAE，
因为AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAE，②正确；
延长CB，EA，两者相交(图略)，因此BC与平面PAE相交，③不正确；
由于PA⊥平面ABC，所以∠PDA就是直线PD与平面ABC所成的角，
由PA＝2AB，AD＝2AB，得PA＝AD，所以∠PDA＝45°，④正确．
14、【证明】因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD．
因为CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD．
因为CD 平面PDC，所以平面PDC⊥平面PAD．
15、【证明】因为BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，
又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，所以B1C⊥平面A1BC1，
又B1C 平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1．
16、【解】因为AB⊥平面BC1，C1F 平面BC1，CF 平面BC1，所以AB⊥C1F，AB⊥CF．
又EF∥AB，所以C1F⊥EF，CF⊥EF，所以∠C1FC是二面角C1 EF C的平面角，即∠C1FC＝45°．
所以△FCC1是等腰直角三角形，所以CF＝CC1＝AA1＝1．
又BC＝2，所以BF＝BC－CF＝2－1＝1．
17、【解】(1)证明：由已知得AC＝＝，BC＝＝，AB＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以BC⊥AC，
因为PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PA⊥BC，
因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，
因为BC 平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．
(2)由(1)得BC⊥平面PAC，BC⊥AC，BC＝，PC＝＝，
设点D到平面PBC的距离为d，
因为VP BCD＝VD PBC，所以××DC×AD×PA＝××PC×BC×d，
所以××1×1×1＝××××d，
解得d＝，所以点D到平面PBC的距离为．
18、【答案】ABC
【解析】易得GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，
∴平面EFG∥平面PBC，∴A正确．
∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，
∴GF⊥BC，GF⊥AC.
又BC∩AC＝C，BC，AC 平面ABC，
∴GF⊥平面ABC.∵GF 平面EFG，
∴平面EFG⊥平面ABC，∴B正确．
易知EF∥BP，∠BPC为锐角，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，∴C正确．
∵GE与AB不一定垂直，∴∠FEG不一定是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，∴D错误．
19、【答案】C
【解析】过点A作AE∥BD，且AE＝BD，
连接DE，CE，∵BD⊥AB，∴AE⊥AB，
又AC⊥AB，∴∠CAE即为二面角的平面角，
∴∠CAE＝60°，
∴CE＝＝＝.
∵AC⊥AB，AE⊥AB，AC∩AE＝A，
∴AB⊥平面CAE.
由AE∥BD，AE＝BD，知四边形ABDE为平行四边形，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∴DE⊥平面CAE，又CE 平面CAE，∴DE⊥CE，
∴CD＝＝＝2.
20、【答案】3　
【解析】因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，所以PA⊥平面PBC．
因为PA 平面PAB，PA 平面PAC，
所以平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC．
同理可证平面PAB⊥平面PAC．
21、【答案】　
【解析】如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l．
设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，
由图得sin θ＝＝·＝sin 30°·sin 60°＝．
22、【答案】
【解析】连接OO′，过点F作FM⊥OB，垂足为点M，则有FM∥OO′.
又OO′⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC，可得FM＝＝3.
过点M作MN⊥BC，垂足为点N，连接FN，可得FN⊥BC，
从而∠FNM为二面角F－BC－A的平面角．
又AB＝BC，AC是圆O的直径，所以MN＝BMsin 45°＝.
从而FN＝，可得cos∠FNM＝.
所以二面角F－BC－A的余弦值为.
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