8.6.2 直线与平面垂直 学案

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8.6.2 直线与平面垂直
班级 姓名
学习目标
1．理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．
2．理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．
3．能利用直线与平面垂直的性质定理进行证明．
4．理解空间距离相关定义并会求相应的距离．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 一、直线与平面垂直的定义定义一般地，如果直线l与平面α内的 直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的 ．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做 图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
阅读教材，完成右边的内容 二、直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条 直线垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言 作用判断直线与平面垂直【即时训练1】(1)下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．⑥若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．(2)在正方体ABCD A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(　　)A．平面DD1C1C　　　　　　B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB
阅读教材，完成右边的内容 三、直线与平面所成的角1．相关概念：斜线一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线斜足斜线与平面的交点射影过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO2．定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．3．直线与平面所成的角θ的取值范围：0°≤θ≤90°．【即时训练2】(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，①直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为________；②直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________；③直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为________．
阅读教材，完成右边的内容 四、直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线 符号语言 图形语言作　用证明两条直线平行【即时训练3】(多选题)在空间中，下列哪些命题是正确的(　　)A．平行于同一条直线的两条直线互相平行 B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行C．平行于同一个平面的两条直线互相平行 D．垂直于同一个平面的两条直线互相平行
变式2、如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
直线与平面垂直的性质 例5、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-268.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-268.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-268.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-268.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\数学 人A 必修第二册（新教材）最新（加双选）\\8-268.TIF" \* MERGEFORMATINET 变式3、如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a α，a⊥AB.求证：a∥l.
直线与平面所成的角 例6、(1)如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为 ．(2)等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为 ．变式4、在正三棱柱ABC A′B′C′中，AB＝1，AA′＝2，求直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值．
空间中的距离问题 例7、如图，在四棱锥P ABCD中，CD⊥平面PAD，AD＝2PD＝4，AB＝6，PA＝2，∠BAD＝60°，点Q在棱AB上．(1)证明：PD⊥平面ABCD；(2)若三棱锥P ADQ的体积为2，求点B到平面PDQ的距离．变式5、在如图所示的几何体中，ABC A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，AA1＝AC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°．(1)求证：AC1⊥平面A1B1CD；(2)若CD＝2，求C1到平面A1B1CD的距离．
射影问题 例8、三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的(　　)A．内心　　　　　　　　B．重心C．外心 D．垂心变式6、(1)三棱锥P－ABC三条侧棱两两相等，且P在面ABC上的射影是BC边的中点O，则△ABC形状为________．(2)长方体ABCD－A1B1C1D1中，A在截面A1BD上的射影是△A1BD的_______心．(3)两条异面直线在同一平面上的射影可能是________________________．
课后作业
一、基础训练题
1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　B．垂直 C．相交不垂直 D．不确定
2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是(　　)
A．α∥β，且m α B．m∥n，且n⊥β
C．m⊥n，且n β D．m⊥n，且n∥β
3．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，与直线AD1垂直的平面是(　　)
A．平面DD1C1C B．平面A1DCB1
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB
4．如图，四面体PABC中，BC是Rt△ABC的斜边，PA⊥平面ABC，PD⊥BC于D，
连接AD，那么图中共有直角三角形的个数为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
5．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
6．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2AB，D是BB1的中点，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值等于(　　)
A．　　　　　　　　　　 B．
C． D．
7．如图甲，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图乙)，使G1，G2，G3三点重合于点G，下面结论成立的是(　　)
A．SG⊥平面EFG　　　　　 B．SD⊥平面EFG
C．GF⊥平面SEG D．GD⊥平面SEF
8．(多选题)如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是(　　)
A．BC⊥平面PAB
B．AD⊥PC
C．AD⊥平面PBC
D．PB⊥平面ADC
9．设三棱锥P ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA，PB，PC的关系是________．
10．已知圆锥的底面半径为1 cm，侧面积为2π cm2，则母线与底面所成角的大小为________．
11．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则平面AB1C，平面ACC1A1，平面OCN，平面A1C1D中，与直线OM垂直的是________．
12．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AA1，AB1∩A1B＝M．
求证：A1B⊥平面MAC．
13．如图，ABCD是圆柱的一个轴截面，点E是上底面圆周上的一点，已知AB＝BC＝5，AE＝3．
(1)求证：DE⊥平面ABE；
(2)求直线BE与平面ADE所成角的正切值．
14．如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN⊥CD；
(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
15．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为正三角形，AB＝AA1，点D在棱BC上，且CD＝3BD，点E，F分别为棱AB，BB1的中点．
(1)求证：DE⊥平面BCC1B1；
(2)若AB＝4，求点C1到平面DEF的距离．
二、综合训练题
16．如图，点A∈α，点B∈α，点P α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则动点C在平面α内所组成的集合是(　　)
A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点
C．两条平行直线 D．半圆，但要去掉两个点
17．如图，已知△ABC是等腰三角形，且∠ACB＝120°，AC＝2，点D是AB的中点．将△ACD沿CD折起，使得AC⊥BC，则此时直线BC与平面ACD所成角的正弦值为(　　)
A． B．
C． D．
18．已知正方体ABCD A1B1C1D1中，点E在棱AB上运动，点F在对角线BD1上运动，设直线EF与平面ABCD所成的角为θ，直线EF与平面BDD1所成的角为β，则(　　)
A．θ≥β
B．θ≤β
C．存在直线EF，使得θ＝50°
D．存在直线EF，使得β＝50°
三、能力提升题
19．(多选题)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，CC1的中点，△MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动，则(　　)
A．平面MB1P⊥ND1
B．MB1⊥平面ND1A1
C．△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值
D．△MB1P在侧面DD1C1C上的射影图形是三角形
20．设三棱锥P－ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下说法：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；
③若点P到△ABC的三边距离相等，且H在△ABC的内部，则H是△ABC的内心；
④若PA＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．
其中正确的说法是________(填序号)．
8.6.2直线与平面垂直
参考答案
1、【答案】B
【解析】一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．
2、【答案】B　
【解析】A中，由α∥β，且m α，知m∥β；
B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，
所以m⊥β，B符合题意；
C，D中，m β或m∥β或m与β相交，不符合题意．
3、【答案】B
【解析】由几何体ABCD A1B1C1D1为正方体，可知AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D，A1B1∩A1D＝A1，
故AD1⊥平面A1DCB1．
4、【答案】D
【解析】△PAB，△PAC，△ABC，△PBD，△PDC，△ABD，△ACD，△PAD.
5、【答案】A
【解析】∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PCA为PC与平面ABCD所成的角，
tan∠PCA＝＝＝.∴∠PCA＝30°.
6、【答案】C
【解析】记P，Q分别为AC，A1C1的中点，连接PQ，取PQ的中点E，连接AE，DE，B1Q，
所以在正三棱柱ABC－A1B1C1中，
B1Q⊥平面AA1C1C.又D是BB1的中点，
所以DE∥B1Q，所以DE⊥平面AA1C1C，
故∠DAE即是AD与平面AA1C1C所成的角．
设AA1＝2AB＝4，则AD＝＝2，DE＝B1Q＝＝，
所以sin∠DAE＝＝＝，故选C.
7、【答案】AC
【解析】方法一：在正方形SG1G2G3中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，
在四面体S－EFG中，SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，GE，GF 平面EFG，
所以SG⊥平面EFG.
同理GF⊥平面SEG
方法二：GF即G3F不垂直于SF，所以可以排除C；在△GSD中，设GS＝a(正方形边长)，
则GD＝a，SD＝a，所以GS2≠SD2＋GD2，∠SDG≠90°，从而排除B、D.
8、【答案】ABC　
【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故A判断正确；
由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，
∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C判断正确；
∵PC 平面PBC，∴AD⊥PC，故B判断正确；
在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判断不正确．
9、【答案】PA＝PB＝PC　
【解析】因为H为AC中点，∠ABC＝90°，所以AH＝BH＝CH，
又PH⊥平面ABC，由勾股定理知PA＝PB＝PC．
10、【答案】　
【解析】由圆锥侧面积公式S＝πrl＝π·1·l＝2π，解得l＝2，设母线与底面所成角为θ，
则cos θ＝＝，所以θ＝．
11、【答案】平面AB1C，平面A1C1D　
【解析】因为AC⊥平面BDD1，所以AC⊥OM，同理可证B1C⊥OM，AC∩B1C＝C，
所以OM⊥平面AB1C；同理，OM⊥平面A1C1D．
12、【证明】因为在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AA1，A1B∩AB1＝M，
所以A1B⊥AM，AC⊥AA1．
因为AB∩AA1＝A，
所以AC⊥平面ABB1A1，
所以AC⊥A1B，因为AM∩AC＝A，所以A1B⊥平面MAC．
13、【解】(1)证明：ABCD是圆柱的一个轴截面，AB⊥平面ADE，因为ED 平面ADE，
所以AB⊥ED，又E在底面圆上，AD为直径，
所以AE⊥DE，又AE∩AB＝A，
所以DE⊥平面ABE．
(2)因为AB⊥平面ADE，
所以∠AEB为直线BE与平面ADE所成角，
在Rt△ABE中，AB＝5，AE＝3，
所以tan∠AEB＝＝．
14、【证明】(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE，
∵N为PC的中点，E为PD的中点，
∴NE∥CD，且NE＝CD，
而AM∥CD，且AM＝AB＝CD，
∴NE∥AM，且NE＝AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥CD，又AD∩PA＝A，
∴CD⊥平面PAD，又AE 平面PAD，
∴CD⊥AE，∵AE∥MN，∴MN⊥CD.
(2)∵∠PDA＝45°，∴△PAD是等腰直角三角形，
又E为PD的中点，∴AE⊥PD，
∵CD⊥AE，CD∩PD＝D，
∴AE⊥平面PCD，又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.
15、【解】(1)证明：方法一：取CB的中点为G，连接AG，
因为E为AB的中点，点D在棱BC上，且CD＝3BD，所以AG∥DE.
因为△ABC为正三角形，所以AG⊥BC，故DE⊥BC.
直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC.
又DE 平面ABC，所以BB1⊥DE，
因为BC∩BB1＝B，BC 平面BCC1B1，BB1 平面BCC1B1，
所以DE⊥平面BCC1B1.
方法二：因为BB1⊥平面ABC，DE 平面ABC，
所以BB1⊥DE，且∠B1BC＝∠B1BA＝90°.
设AB＝4a，因为AB＝AA1，则AA1＝4a，
因为CD＝3BD，所以BD＝a.
因为点E，F分别为棱AB，BB1的中点，所以BE＝BF＝2a，
因为△ABC为正三角形，所以∠ABC＝60°，
在△BDE中，根据余弦定理，得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BE·cos 60°＝a2＋(2a)2－2a×2a×＝3a2，
在Rt△BDF中，DF2＝BD2＋BF2＝a2＋(2a)2＝5a2.
在Rt△BEF中，EF2＝BE2＋BF2＝(2a)2＋(2a)2＝8a2.
所以EF2＝DE2＋DF2，所以DE⊥DF.
又DF∩BB1＝F，DF 平面BCC1B1，BB1 平面BCC1B1，
所以DE⊥平面BCC1B1.
(2)因为AB＝4，所以四边形BCC1B1是以4为边长的正方形，连接C1D，C1F，C1E，
则S△C1DF＝S正方形BCC1B1－(S△DBF＋S△C1CD＋S△C1B1F)＝42－＝5.
由(1)知，DE⊥平面BCC1B1，易得DE＝，
所以三棱锥E－C1DF的体积V＝S△C1DF×DE＝×5×＝.
在Rt△DEF中，S△DEF＝×DE×DF＝××＝.
设点C1到平面DEF的距离为h.
因为V三棱锥E－C1DF＝V三棱锥C1－DEF，
所以＝×S△DEF×h，所以＝××h，解得h＝2，
即C1到平面DEF的距离为2.
16、【答案】B　
【解析】连接BC，AB(图略)，由于PC⊥AC，PB⊥AC，
所以AC⊥平面PBC，
所以AC⊥BC，
说明动点C在以AB为直径的圆上，但不与点A，B重合．
17、【答案】A　
【解析】如图，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE．
∵AD⊥CD，BD⊥CD，AD∩BD＝D，∴CD⊥平面ADB．
∵BE 平面ADB，
∴CD⊥BE，
又BE⊥AD，
AD∩CD＝D，
∴BE⊥平面ACD，
∴∠BCE为直线BC与平面ACD所成的角．
由题意，可知AD＝BD＝，AB＝＝2．
设△ADB中，AB边上的高为h，则h＝＝1．
由AD·BE＝AB·h，得BE＝，
∴sin∠BCE＝＝，故选A．
18、【答案】D　
【解析】过F作DD1的平行线，交BD于点G，连接EG，则∠FEG＝θ，如图1所示．
图1　　　　　　　　图2
则tan θ＝，显然当GE⊥AB时，tan θ最大，此时θ＝∠D1AD＝45°，故C错误．
过E作BD的垂线，垂足为M，连接MF，取BD的中点O，过O作OT⊥D1B，
则∠EFM＝β，如图2所示，则tan β＝，
显然当FM⊥D1B时，tan β最大，此时β＝∠ATO，
易得tan∠ATO＝＝，
所以βmax＝60°，故D正确．
当点E在点B时，θ＞0，β＝0；
当点F在点B时，θ＝0，β＞0，
故A，B不正确．故选D．
19、【答案】BC
【解析】当P，N重合时，平面MB1P⊥ND1不成立，故A错误；
由正方体的性质得MB1⊥A1D1，MB1⊥D1N，A1D1∩D1N＝D1，
所以MB1⊥平面ND1A1，故B正确；
△MB1P在底面ABCD上的射影三角形的底边是MB，
点P在底面ABCD上的射影在DC上，
所以点P的射影到MB的距离不变，即射影图形的面积为定值，故C正确；
当P，C1重合时，P，B1在侧面DD1C1C上的射影重合，
所以射影不能构成三角形，故D错误．
20、【答案】①②③④
【解析】①正确，因为点P在平面ABC上的射影是H，则PH⊥平面ABC，故PH⊥BC.
又PA⊥BC，PA∩PH＝P，所以BC⊥平面PAH，所以AH⊥BC，
同理，BH⊥AC，所以H是△ABC的垂心；
②正确，若PA，PB，PC两两互相垂直，容易推出AH⊥BC，
同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心；
③正确，易证Rt△PHD≌Rt△PHE≌Rt△PHF(D，E，F为△ABC各边的垂足)，
所以HD＝HE＝HF，且点H在△ABC的内部，则H是△ABC的内心；
④正确，可得Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△PHC，
所以HA＝HB＝HC，则H是△ABC的外心．
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