8.6.3 平面与平面垂直（二） 学案

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8.6.3 平面与平面垂直（二）
平面与平面垂直的性质
班级 姓名
学习目标
1．掌握平面与平面垂直的性质定理，学会用定理证明垂直关系．
2．熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直间判定和性质的转化．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言图形语言作用①面面垂直 线面垂直 ②作面的垂线【即时训练】(1)(多选题)已知两个平面垂直，下列命题中不正确的是(　　)A．—个平面内的已知直线必垂直于另—个平面内的任意—条直线B．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线C．一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面(2)对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)A．m⊥n，m∥α，n∥β　　　 B．m⊥n，α∩β＝m，n αC．m∥n，n⊥β，m α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
平面与平面垂直的性质定理 例2、如图，P是边长为a的菱形ABCD所在平面外的一点，∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.变式2、如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC.求证：BC⊥AC.
变式3、如图，M是半圆弧上异于C，D的点，四边形ABCD是矩形，P为AM中点．(1)证明：MC∥平面PBD；(2)若矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，证明：平面AMD⊥平面BMC．例4、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，将C沿BD折至C′，使C′的射影O恰好落在AB上．①求证：BC′⊥平面AC′D；②求A点到平面BC′D的距离．
课后作业
一、基础训练题
1．(多选题)下列命题中正确的是(　　)
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内的所有直线都垂直于平面β
2．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则(　　)
A．直线a必垂直于平面β B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β D．过a的平面与过b的平面垂直
3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　　)
A．α∥γ　　　　　　 B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
4．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．
设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，
以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是(　　)
A．8　　　 B．12　　 　 C．16　　　 D．18
5．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(　　)
A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β
6．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是(　　)
A．平面ADC⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ABD⊥平面ABC
7．(多选题)如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是(　　)
A．PE⊥AC B．PE⊥BC
C．平面PBE⊥平面ABCD
D．平面PBE⊥平面PAD
8．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：
①l⊥α，②l∥β，③α⊥β．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，
写出你认为正确的一个命题：________．(用序号表示)
9．如下左图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝________．
10．如上右图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．
11．已知m，n是两条不相同的直线，α，β是两个不重合的平面，现有以下说法：
①若α∥β，n α，m β，则m∥n；
②若m⊥α，m⊥β，n⊥α，则n⊥β；
③若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β；
④若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n；
⑤若α⊥β，m α，n β，则m⊥n.
其中正确说法的序号有________．
12．如图，已知△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，AB⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且CE∥BD，BD＝2CE，点F为AD中点，连接EF．
求证：平面AED⊥平面ABD．
13．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC．
求证：平面AEC⊥平面AFC．
14．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E，F分别是棱PC和PD的中点．
(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)若AP＝AD，且平面PAD⊥平面ABCD，证明：AF⊥平面PCD.
15．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE.
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1－BCDE的体积为36，求a的值．
二、综合训练题
16．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下面三个结论：
①点H是△A1BD的中心；
②AH垂直于平面CB1D1；
③直线AC1与直线B1C所成的角是90°.
其中正确结论的序号是________．
17．如图，线段AB的两端在直二面角α－l－β的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是(　　)
A．30°　　　　　　　　　 B．45°
C．60° D．75°
三、能力提升题
18．如图所示，四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，
AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是(　　)
A．PB⊥AC
B．PD⊥平面ABCD
C．AC⊥PD
D．平面PBD⊥平面ABCD
19．(多选题)如图，在四面体P ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDF⊥平面ABC
20．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，
AB⊥AD，且CD＝2AB.
(1)若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为45°，求二面角P－CD－B的大小；
(2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并说明理由．
8.6.3　平面与平面垂直（二）
1、【答案】ABC
【解析】平面α⊥平面β，α∩β＝l，直线a在平面α内，且a∥l，所以a∥β，所以A正确，D错误．
若平面α内存在垂直于平面β的直线，根据面面垂直的判定定理，有平面α⊥平面β，与前提矛盾，
所以B正确．
设平面α∩平面γ＝m，平面β∩平面γ＝n，
在平面γ内任取一点A，过该点作c⊥m，d⊥n，且c，d γ.
因为平面α⊥平面γ，平面α∩平面γ＝m，c 平面γ，所以c⊥平面α.
又l 平面α，所以l⊥c.同理l⊥d.
因为c∩d＝A，所以l⊥平面γ.所以C正确．
2、【答案】C　
【解析】当b＝α∩β时，必有a⊥β；当b不是α与β的交线时，直线a不一定垂直于平面β．
3、【答案】D　
【解析】两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，
故A，B，C都有可能．
4、【答案】C　
【解析】如图，根据正六边形的性质可知，以四边形A1ABB1，A1AFF1，A1ACC1和A1AEE1为底面矩形，各有4个阳马，故共有4×4＝16(个)阳马．故选C．
5、【答案】D
【解析】如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥α AC⊥m，AB∥l AB∥β． 故选D．
6、【答案】A
解析　易知CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，
且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD 平面BCD，
∴CD⊥平面ABD，又BA 平面ABD，∴CD⊥BA.
又BA⊥AD，且AD∩CD＝D，AD，CD 平面ADC，
∴BA⊥平面ADC，又BA 平面ABC，
∴平面ADC⊥平面ABC.
7、【答案】ABC　
【解析】因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，
所以A，B结论一定成立．又PE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，
所以C结论一定成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，
此关系不一定成立，故选ABC．
8、【答案】①② ③(答案不唯一)　
【解析】由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，∵l′ β，∴α⊥β，故①② ③．
9、【答案】1　
【解析】因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，
所以∠BDC是二面角B AD C的平面角，
因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°．
在△BCD中∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，
所以BD＝CD＝，所以BC＝＝1．
10、【答案】45°　
【解析】如图，过A作AO⊥BD于O 点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，
则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB ＝AD．∴∠ADO＝45°．
11、【答案】②③
【解析】对于①，分别位于两个平行平面内的两条直线未必平行，可能是异面直线，因此①不正确；
对于②，由定理“垂直于同一直线的两个平面平行”得α，β平行，由性质“若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面”得n⊥β，因此②正确；
对于③，由性质“由空间一点向一个二面角的两个半平面分别引垂线，则这两条垂线所成的角与该二面角相等或互补”得③正确；
对于④，分别平行两个垂直平面的两条直线未必垂直，因此④不正确；对于⑤，m与n还有可能平行或异面，因此⑤不正确．综上所述，说法正确的有②③.
12、【证明】取AB中点O，连接OC，OF．
∵O，F分别为AB，AD中点，则OF∥BD且BD＝2OF．
又∵CE∥BD且BD＝2CE，
∴CE∥OF且CE＝OF，
∴四边形OCEF为平行四边形，∴EF∥OC．
∵△ABC为等边三角形，∴OC⊥AB．
又∵平面ABC⊥平面ABD，且平面ABC∩平面ABD＝AB，
∴OC⊥平面ABD．
∵EF∥OC，∴EF⊥平面ABD，又∵EF 平面AED，
∴平面AED⊥平面ABD．
13、【证明】如图，连接BD，设BD交AC于点G，连接EG，FG，EF．
在菱形ABCD中，不妨设GB＝1，
由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝．
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC．
又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC．
在Rt△EBG中，BE＝＝，故DF＝．
在Rt△FDG中，FG＝＝．
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝．
因为EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG．
又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC．
又EG 平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC．
14、【证明】(1)∵E，F分别是棱PC和PD的中点，
∴EF∥CD，
又在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴EF∥AB，
∵AB 平面PAB，EF 平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
(2)在矩形ABCD中，AD⊥CD，
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD 平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD，
又AF 平面PAD，∴CD⊥AF.
∵PA＝AD，F是PD的中点，∴AF⊥PD，
∵PD 平面PCD，CD 平面PCD，PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD.
15、【解】①证明：在题图1中，由已知条件易得BE⊥AC，
即在题图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，
又A1O∩OC＝O，∴BE⊥平面A1OC.
易知四边形BCDE是平行四边形，
∴BE∥CD，∴CD⊥平面A1OC.
②已知平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE.
又由①知，A1O⊥BE，
∴A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱锥A1－BCDE的高．
易知A1O＝a，S四边形BCDE＝a·a＝a2，
从而四棱锥A1－BCDE的体积V＝×S四边形BCDE×A1O＝×a2×a＝a3＝36，解得a＝6.
16、【答案】①②③
【解析】①正确，连接A1H，BH，DH.
因为AB＝AD＝AA1，AH⊥平面A1BD，
所以Rt△ABH≌Rt△ADH≌Rt△AA1H，
所以HB＝HD＝HA1.
又△A1BD是等边三角形，所以点H是△A1BD的中心．
②正确，因为A1B1∥AB，A1B1＝AB，CD∥AB，CD＝AB，
所以A1B1∥CD，且A1B1＝CD，
所以四边形A1B1CD是平行四边形，
所以B1C∥A1D.
又A1D 平面A1BD，B1C 平面A1BD，
所以B1C∥平面A1BD.
同理可证B1D1∥平面A1BD.
又B1C∩B1D1＝B1，
所以平面CB1D1∥平面A1BD.
又AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1.
③正确，连接BC1，AC1，AD1，因为四边形BCC1B1是正方形，
所以B1C⊥BC1.
因为AB⊥平面BCC1B1，B1C 平面BCC1B1，
所以B1C⊥AB.又BC1∩AB＝B，
所以B1C⊥平面ABC1D1.
又AC1 平面ABC1D1，
所以AC1⊥B1C，所以直线AC1与直线B1C所成的角是90°.
17、【答案】B
【解析】如图，设AB＝a，在平面α内，作AA′⊥l于A′，
则AA′⊥β，连接A′B，则∠ABA′＝30°.
在Rt△AA′B中，AB＝a，所以AA′＝a.
同理作BB′⊥l于B′，连接AB′，则∠BAB′＝30°，
所以BB′＝a，AB′＝a，
所以A′B′＝＝a.
过B作BC綉A′B′，连接A′C，则A′C綉BB′，连接AC.
在Rt△AA′C中，AC＝＝a.
易证BC⊥平面AA′C，所以△ABC为直角三角形，
且AC＝BC，所以∠ABC＝45°，即l与AB所成的角是45°.
18、【答案】B
【解析】如图所示，取PB的中点O，连接AO，CO，
∵△PAB与△PBC是正三角形，
∴AO⊥PB，CO⊥PB，∵AO∩CO＝O，
∴PB⊥平面AOC.∵AC 平面AOC，
∴PB⊥AC，故A成立；
∵△PAB与△PBC是正三角形，∴PA＝PC.
设AC∩BD＝M，易知M为AC中点，
若PD⊥平面ABCD，则PD⊥BD，
由已知条件知点D满足AC⊥BD且位于BM的延长线上，
∴点D的位置不确定，
即PD与BD不一定垂直，故B不一定成立；
∵AC⊥PB，AC⊥BD，PB∩BD＝B，
∴AC⊥平面PBD，∵PD 平面PBD，
∴AC⊥PD，故C成立；
∵AC⊥平面PBD，AC 平面ABCD，
∴平面PBD⊥平面ABCD，故D成立．故选B.
19、【答案】ABC　
【解析】因为D，F分别为AB，AC的中点，
所以DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，
依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，故A中结论正确；
因为E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，所以BC⊥PE，BC⊥AE，
依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE，因为BC∥DF，
所以DF⊥平面PAE，故B中结论正确；
因为DF 平面PDF，DF⊥平面PAE，所以平面PDF⊥平面PAE，故C中结论正确；
假设平面PDF⊥平面ABC，则由平面PDF∩平面ABC＝DF，AE 平面ABC，
AE⊥DF，DF 平面PDF，得AE⊥平面PDF，所以AE⊥PD，AE⊥PF，
由条件知此垂直关系不一定成立，故D中结论不正确．
20．解：(1)∵AB⊥AD，CD∥AB，∴CD⊥AD，
又PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，∴PA⊥CD.
又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，
又PD 平面PAD，∴CD⊥PD，
∴∠PDA即是二面角P－CD－B的平面角．
又直线PB与CD所成的角为45°，∴∠PBA＝45°，∴PA＝AB.
∴在Rt△PAD中，PA＝AD，∴∠PDA＝45°，即二面角P－CD－B的大小为45°.
(2)当点E在线段PC上，且满足PE∶EC＝1∶2时，平面EBD⊥平面ABCD.理由如下：
连接AC交BD于点O，连接EO.
由△AOB∽△COD，且CD＝2AB，得CO＝2AO，
∴PE∶EC＝AO∶CO＝1∶2，∴PA∥EO.
∵PA⊥底面ABCD，∴EO⊥底面ABCD.
又EO 平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.
∴在线段PC上存在点E，满足PE∶EC＝1∶2时，平面EBD⊥平面ABCD.
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