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邯郸市2024届高三年级保温试题
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，为第一象限角，则的值为
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是
A．， B．，
C．， D．，
3．的展开式中，常数项为
A．60 B． C．120 D．
4．中国地震台网测定：2024年4月3日，中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震．已知地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，则它所释放出来的能量约是中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震的多少倍？
A．98 B．105 C．355 D．463
5．已知，是圆：上的两个点，且，为的中点，Q为直线上的一点，则的最小值为
A． B． C． D．
6．某疾病全球发病率为0.03%，该疾病检测的漏诊率（患病者判定为阴性的概率）为5%，检测的误诊率（未患病者判定为阳性的概率）为1%，则某人检测成阳性的概率约为
A．0.03 % B．0.99 % C．1.03 % D．2.85 %
若函数（）的部分图象如图所示，，为图象上的两个顶点．设，其中O为坐标原点，，则的值为
A． B． C． D．
8．已知双曲线：，O为坐标原点，、分别为C的左、右焦点，点在双曲线上，且轴，在外角平分线上，且．若，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知复数，是其共轭复数，则下列命题正确的是
A． B．若，则的最小值为1
C． D．若是关于的方程的一个根，则
10．如图，将一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是
A．当时，正四棱锥的侧面积为
B．当时，正四棱锥的体积为
C．当时，正四棱锥外接球的体积为
D．正四棱锥的体积最大值为
11．定义在上的函数满足：，且，则下列结论正确的是
A． B．是的对称中心
C．是偶函数 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量，若向量a在上的投影向量为，且a与不共线，请写出一个符合条件的向量a的坐标________．
13．记为等比数列的前项的和，若，，则________．
14．若不等式恒成立，则a的取值范围为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若为增函数，求的取值范围．
16．（15分）
某人投掷两枚骰子，取其中一枚的点数记为点的横坐标，另一枚的点数记为点的纵坐标，令事件A =“”，事件B =“为奇数”．
（1）证明：事件A、B相互独立；
（2）若连续抛掷这两枚骰子三次，求点在圆内的次数的分布列与期望．
17．（15分）
如图，已知菱形和菱形的边长均为2，，，、分别为、上的动点，且．
（1）证明：平面；
（2）当的长最小时，求平面与平面的夹角余弦值．
18．（17分）
动点到定点的距离与它到直线的距离之比为，记点的轨迹为曲线．若为上的点，且．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）已知，，直线交曲线于、两点，点在轴上方．
① 求证：为定值；
② 若，直线是否过定点，若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．
19．（17分）
柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：
设，则
当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立．
（1）请你写出柯西不等式的二元形式；
（2）设是棱长为的正四面体ABCD内的任意一点，点到四个面的距离分别为d1、d2、d3、d4，求的最小值；
（3）已知无穷正数数列满足：①存在，使得；②对任意正整数、，均有．
求证：对任意，，恒有．邯郸市2024届高三年级保温试题
高三数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A C B C A B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 BC BCD ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（答案不唯一，设满足即可，但不得分）
13．
14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（1）当时，，求导得：
故切线斜率，
又，所以切线方程为，
即切线方程为． 6分
（2）依题意，为增函数，等价于，即
设，求导得：，
设（）
易知，在上单调递减，且，
当时，，，
当时，，，
所以在上单调递增，上单调递减，
所以，所以．
当时，不恒等于0，满足条件．
所以的取值范围为． 13分
16．（1）证明：由题意可知点的坐标有种，其中事件所包含的基本事件有
，，，，，，6种，则，
事件所包含的基本事件有种，则，
积事件有，，，3种，则
所以．
所以事件A、B相互独立 7分
（2）点P在圆内的概率为，
由题意可知，，
，
，
，
，
所以，X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以． 15分
17．（1）方法一：
延长交的延长线于点，连接，
因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
由于平面，平面，
所以平面 6分
方法二：
在上取点，使得，
则，
由于平面EDC，平面EDC
所以平面EDC，
因为，所以，所以，
由于，则，
由于平面EDC，平面EDC
所以平面EDC，
又因为，所以平面平面，
由于平面，
所以平面 6分
（2）方法一：向量法
取中点为，连接，，
因为四边形为菱形且，
所以是等边三角形，则，且，
同理可得，且，
又因为，所以为等边三角形，则，
因为，所以平面，
如图，以点O为原点，以OA、OB、垂直于平面ABCD且过点O的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，，
设，则，
，
则
故，
当时，最小，
此时，，
设平面的法向量为，则，则，
令，可得平面的法向量为
同理可得，平面的法向量
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角余弦值为． 15分
方法二：基底法
设，
在中，,由余弦定理得：，
所以
设，
则，
，
所以,
，当时，的长度为最小．
此时分为中点，取的中点，连接，
易知，，
所以，，
所以为二面角的平面角，
易求得，
设平面与平面的夹角为，
所以，
所以平面与平面的夹角余弦值为． 15分
18．（1）设，
由题意得：，化简得：．
所以曲线的方程为． 4分
（2）① 由题知，、分别为椭圆的左、右顶点，
因为点在椭圆上，所以，
则． 9分
② 直线l恒过定点．理由如下：
由①知，
因为，所以
由题可知直线l的斜率不为0，设直线l：，
联立，得，
，
设，，则，，
所以，
即，
所以
由题知，，所以．
即直线l恒过定点． 17分
19．（1）柯西不等式的二元形式为：
设，则，
当且仅当时等号成立． 3分
（2）由，
得，所以
又由柯西不等式得
，
所以，
当且仅当时等号成立． 8分
（3）对，记是的一个排列，
且满足．
由条件②得：.
于是，对任意的，都有
由柯西不等式得
所以
．
从而，对任意的，都有．
故对任意，，恒有． 17分
