2023-2024学年沪科版下学期七年级数学5月份段考试卷 (含答案)

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2023-2024学年沪科版下学期七年级数学5月份段考试卷 (含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在、0、1、这四个数中，无理数是（ ）．
A． B．1 C． D．0
2．小麦被称为“五谷之贵”．我国是世界上栽培小麦最古老的国家之一，有五千多年的种植历史．经测算，一粒小麦的质量约为千克，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．若，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列关于的描述错误的是（ ）
A．面积为15的正方形的边长 B．15的算术平方根
C．在整数3和4之间 D．方程中未知数x的值
8．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
9．如图所示，以长方形的各边为直径向外作半圆得到一个新的图形其周长为，同时此图形中四个半圆面积之和为，则长方形的面积为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
10．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．的立方根是 ．
12．分解因式：3x3－27x= ．
13．定义一种新运算：对于任意非零实数a，b，，若，则x的值为 .
14．已知关于的方程
（1）当时，方程的解为 ；
（2）若方程的解是非负数，则的取值范围是 ．
三、解答题
15．（1）计算；
（2）化简．
16．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图按下列程序进行计算．规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算，结果大于244，则输出此结果，则将此结果的值赋给m，再进行第二次计算．

(1)若，求运算进行多少次才会停止？
(2)若运算进行了3次才停止．求m的取值范围．
19．已知的平方根是，的立方根是3．
(1)求、的值；
(2)求的算术平方根．
20．观察下列等式：
第个等式：；第个等式：；
第个等式：；第个等式：；
请回答下列问题：
（1）按以上规律列出第个等式：__________________；
（2）用含的代数式表示第个等式：__________________为正整数；
（3）求的值．
（4）求的值
21．从年到年，经过17年的冲刺，中国高铁技术迅疾跨入世界领先行列．年某“G”次等级列车行驶的里程，它的平均速度是年普通“Z”等级列车的倍，所用的时间比年普通“Z”等级列车少2小时．求某次“G”等级列车2024年的平均速度．
22．材料阅读：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（a，b是整数），所以是“完美数”．
根据上面的材料，解决下列问题：
(1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是______．
(2)试判断（x，y是整数）是否为“完美数”，并说明理由．
(3)已知（x，y是整数，k为常数），要使M为“完美数”，试求出一个符合条件的k值，并说明理由．
23．某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
（1）若现有A型板材150张，B型板材300张，可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？
（2）若该工厂准备用不超过24000元资金去购买A、B两种型号板材，制作竖式、横式箱子共100个，已知A型板材每张20元，B型板材每张60元，问最多可以制作竖式箱子多少个？
（3）若该工厂新购得65张规格为的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于10个，且材料恰好用完，则最多可以制作竖式箱子多少个？
参考答案：
1．A
【分析】根据无理数的定义即可得出答案．
【详解】∵无理数是无限不循环小数，
∴在、0、1、这四个数中，无理数是．
故选：A．
【点睛】本题考查无理数的定义，掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键．
2．C
【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于正确的确定a和n的值．
科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数，由此即可得解．
【详解】解：用科学记数法表示为，
故选C．
3．A
【详解】解：原式
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的运算法则，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键．
4．C
【分析】根据不等式的性质，逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、由，则，无法判断，该选项错误，不符合题意；
B、由，则，该选项错误，不符合题意；
C、由，则，该选项正确，符合题意；
D、由，则，该选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查不等式性质，熟练掌握不等式性质是解决问题的关键．
5．A
【分析】本题考查了二次根式及分式有意义的条件，根据题意得，进而可求解，熟练掌握：“被开方数是非负的”和“分母不为0”是解题的关键．
【详解】解：依题意得：
解得：，
所以x的取值范围是．
故选A．
6．C
【分析】根据分式的基本性质及约分逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、的分子分母没有公因式，不能约分，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算正确，符合题意；
D、的分子分母没有公因式，不能约分，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了约分以及分式的基本性质，约分的关键是找出分子分母的公因式，若分子分母出现多项式，应先将多项式分解后再找公因式，然后根据分式的基本性质将分子分母同时除以公因式，化为最简分式，此过程称为约分．
7．D
【分析】
根据每个选项所述分别计算出结果，并判断对错即可．
【详解】解：A、面积为15的正方形的边长为，故正确，不符合题意；
B、15的算术平方根为，故正确，不符合题意；
C、，故在整数3和4之间，故正确，不符合题意；
D、，则，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平方根，算术平方根的计算，算术平方根的取值范围，能够数量掌握算术平方根的运算是解决本题的关键．
8．D
【分析】此题考查了分式方程的解．由分式方程的解为非负数得到关于的不等式，进而求出的范围即可．
【详解】解：分式方程去分母得：，
即，
由分式方程的解为非负数，得到
，且，
解得：且，
故选：D．
9．C
【分析】设AB=a，BC=b，再表示新图形的周长与阴影部分面积，再利用完全平方公式的变形可得长方形面积．
【详解】解：设AB=a，BC=b，
由题意得：πa+πb=16π，π×()2+π×()2=44π．
∴a+b=16，a2+b2=176．
∵（a+b）2=a2+b2+2ab．
∴256=176+2ab．
∴ab=40．
∴S长方形ABCD=40．
故选：C．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景和圆的面积公式，正确表示周长和面积是求解本题的关键．
10．A
【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答．
【详解】解：由题意得：，
故选A.
【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键．
11．
【详解】试题分析：根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根：
∵，∴的立方根是．
12．3x(x－3)(x＋3)
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，理提取公因式法和平方差公式是解答关键．
13．1
【分析】根据定义得到，由得到，解分式方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
经检验，是分式方程的根，
即x的值为1．
故答案为：．
【点睛】此题考查了新定义运算，根据新定义得到分式方程是解题的关键．
14． 且
【分析】（1）把代入方程，再方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）先求出方程的解是，根据方程的解是非负数得出，求出，再根据分母求出，把代入整式方程求出，再得出答案即可．
【详解】解：（1），
当时，方程为，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
故答案为：；
（2），
方程两边都乘，得，
解得：，
方程的解是非负数，
，即，
，
，
当时，方程为，
解得：，
且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了解分式方程和分式方程的解，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
15．（1）；（2）．
【分析】本题考查了实数的运算，整式的运算，解题的关键是：
（1）利用乘方的意义，零指数幂的意义，算术平方根的定义计算即可；
（2）先利用同底数幂相乘法则、积的乘方法则、同底数幂相除法则计算，然后合并同类项即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
16．，见解析
【分析】根据不等式去分母，去括号，移项合并，将系数化为1，即可求出解．
【详解】解：去分母得：
去括号得：
移项得：，
合并同类项得：
系数化为1得：
不等式的解集在数轴上表示：

【点睛】此题考查了解一元一次不等式，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将系数化为1，求出解．
17．，
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．
18．(1)运算进行4次才会停止
(2)
【分析】（1）根据程序运行规则，可求出：当时，运算进行4次才会停止；
（2）根据运算进行了3次才停止，可列出关于m的一元一次不等式组，解之即可求出m的取值范围．
【详解】（1）解：运行1次：；
运行2次：；
运行3次：；
运行4次：．
∴当时，运算进行4次才会停止；
（2）解：根据题意得：，
解得：．
答：m的取值范围为．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
19．(1)，
(2)9
【分析】（1）根据立方根与平方根的意义求出、的值；
（2）求出的值，再根据算术平方根的定义求出结果．
【详解】（1）解：的平方根是，
，
，
的立方根是3，
，
．
（2）解：由（1）可知，，
的算术平方根是9．
【点睛】本题考查了立方根、算术平方根与平方根，正确理解相应的定义是解题的关键．
20．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据前面4个等式找到规律即可得出第5个等式；
（2）由题意可知：分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，可以拆成分子是1，分母是以这两个奇数为分母差的一半，由此得出答案即可；
（3）依照上述规律，相加后，采用拆项相消法即可得出结果；
（4）模仿上述规律，相加后，采用拆项相消法即可得出结果．
【详解】解：；
；
，
，
，
；
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是有理数运算中的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法，并运用运算规律解决问题”是解题的关键．
21．
【分析】本题考查了分式方程的应用，设年普通Z等级列车的平均速度为，则年G等级列车平均速度为，列方程解答即可．
【详解】解：设年普通Z等级列车的平均速度为，则年G等级列车平均速度为，
根据题意得，，
即，
解得 ，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴
答：某次G等级列车列车年的平均速度为．
22．(1)2（答案不唯一）
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据“完美数”的定义判断，并写出一个小于10的“完美数”即可说明；
（2）根据新定义，先进行计算，然后因式分解成两个平方和的形式即可求解；
（3）先运用完全平方公式将进行化简，再根据“完美数”的定义计算即可．
【详解】（1）解：，
是“完美数”，
故答案为：2（答案不唯一）．
（2）解：
，
是“完美数”．
（3）解：
，
为“完美数”，
，
．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，整式的运算，有理数的运算，用完全平方公式因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
23．（1）可制作竖式无盖箱子30个，可制作横式无盖箱子60个；（2）最多可以制作竖式箱子50个；（3）最多可以制作竖式箱子45个
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，再解方程组即可解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得最多可以制作竖式箱子多少个；
（3）根据题意可以列出相应的二元一次方程，再根据a为整数和a≥10，即可解答本题．
【详解】解：（1）设可制作竖式无盖箱子m个，可制作横式无盖箱子n个，依题意有
，
解得，
故可制作竖式无盖箱子30个，可制作横式无盖箱子60个；
（2）由题意可得，
1个竖式箱子需要1个A型和4个B型，1个横式箱子需要2个A型和3个B型，
设竖式箱子x个，则横式箱子（100-x）个，
（20+4×60）x+（2×20+3×60）（100-x）≤24000，
解得x≤50，
故x的最大值是50，
答：最多可以制作竖式箱子50个；
（3）C型可以看成三列，每一列可以做成3个A型或1个B型，65个C型就有65×3=195列，
∵材料恰好用完，
∴最后A型的数量一定是3的倍数，
设竖式a个，横式b个，
∵1个竖式箱子需要1个A型和4个B型，1个横式箱子需要2个A型和3个B型，1个B型相当于3个A型，
∴（1+4×3）a+（2+3×3）b=195×3，
∴13a+11b=585，
∵a、b均为整数，a≥10，
∴或或或，
故最多可以制作竖式箱子45个．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程（组）的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程和不等式的性质解答．
试卷第1页，共3页
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