山东省日照市五莲县第一中学2024届高三下学期综合模拟（二）数学试卷（含答案）

五莲县第一中学2024届高三下学期综合模拟（二）数学考试
（考试时间：120分钟　满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．双曲线两渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．在平行四边形中，点E满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A．9 B． C．4 D．6
4．已知，则“”是“直线和直线垂直”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
5．已知函数的部分图像如图所示，若将函数的图像向右平移个单位后所得曲线关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为1.97%，但统计分析结果显示患病率为1%．医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为0.01，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（ ）
A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.99
7．已知曲线与曲线在第一象限交于点A，在A处两条曲线的切线倾斜角分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
8．设l为某正方体的一条体对角线，S为该正方体的各顶点与各棱中点所构成的点集，若从S中任选两点连成线段，则与l垂直的线段数目是（ ）
A．12 B．21 C．27 D．33
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知一组数据，，…，是公差不为0的等差数列，若去掉数据，则（ ）
A．中位数不变 B．平均数不变 C．方差变大 D．方差变小
10．已知平面平面，且，且，，且，，下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则几何体是柱体
C．若，，则几何体是台体
D．若，且，则直线，与所成角的大小相等
11．定义在R上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．为偶函数 B．为奇函数
C．函数是周期函数 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知复数的实部为0，则______．
13．若函数的四个零点成等差数列，则______．
14．设A，B，C是一个三角形的三个内角，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为．规定：．
　
　　
　　　
　　　　
　　　　　
　　　　　　
…　…　　　…　　　…　　　　…　　　　…　　　　…
（1）试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；
（2）求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数．
16．（15分）
已知椭圆的右焦点为F，左顶点为A，短轴长为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F的直线l（不与x轴重合）与C交于P，Q两点，直线，与直线的交点分别为M，N，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
17．（15分）
如图，三棱柱中，侧面底面，，，，点D是棱的中点，，．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（17分）
已知曲线在点处的切线为l．
（1）求直线l的方程；
（2）证明：除点A外，曲线C在直线l的下方；
（3）设，，求证：．
19．（17分）
已知常数，在成功的概率为p的伯努利试验中，记X为首次成功时所需的试验次数，X的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量X的概率分布为几何分布．
（1）对于正整数k，求，并根据求；
（2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为p的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）记首次出现连续n次成功时所需的试验次数的期望为，求．
五莲一中高考模拟数学考试二答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．A　2．B　3．B　4．A　5．A　6．C　7．A　8．C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9．ABC　10．AD　11．BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15．（1）解：第1行最后两数，第2行的最后两数．
第行的第m个数为，第个数为，
猜测：．
【法一】即证：，
因为，
只要证明，该式显然成立，
所以，
所以每行最后两个数相等．
【法二】因为
；
又因为
．
即：．
所以每一行的最后两个数相等．
（2）第1行所有数之和为，第2行的最后一个数为，
此时结论成立．
因为，
第行的个数之和为：
．
而第行倒数第二个数为，
由（1）得每行最后两个相等，所以结论得证．
16．解析：（1）因为，所以，再将点代入得，
解得，故椭圆C的方程为；
（2）由题意可设，，，
由可得，
所以，，
又因为，
所以直线的方程为，令，则，故，
同理，
从而，，
故．
17．（1）连接，，，，，
由余弦定理可得．
满足，所以，即．
因为平面平面，且交线为，由，平面，得平面．
由平面，得，．
因为，，且，平面，
所以平面．由平面，得．
设，，有，解得：，即．
所以，满足，即．
又因为，，且，平面，
所以平面．
由平面，得．
（2）以A为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系．
，，，
，．
设平面的法向量，
由，即，
取，得到平面的一个法向量．
又，
设直线与平面所成角的大小为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18．解析：（1）因为，
所以，，，
所以直线l的方程为：
（2）令，则
，令，则，由，解得，由，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当等号成立，
所以除切点之外，曲线C在直线l的下方．
（3）由，解得，，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，，，
当时，．
因为，，则，不妨令，．
因为曲线C在点的切线方程为．
设点在切线上，有，
由（1）知时，，
则，即，
要证：，
只要证：
只要证：，
又，
只要证：，
令，，
则，
易证在上单调递增，在上单调递减．
所以，
所以在上单调递减，所以成立，
所以原命题成立．
19．【小问1详解】
由题可知，
记，
则，
相减得：
；
由题意：．
【小问2详解】
（ⅰ）．
解得：．
（ⅱ）期待在次试验后，首次出现连续次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是，此时总的试验次数为．
即．
整理得：，即，
是公比为的等比数列，
所以．
由（1），
代入得：．