2024年春期高 2023级高一期中考试
数学试题
数学试卷分为第 1卷（选择题）和第 I1卷（非选择题）两部分，共 4页，满分 150分。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置。
2．选择题答案使用 2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效。
3．非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效。
第一卷 选择题（58分）
一、选择题（本大题共 8个小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．复数 (1 i)(2 i)在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．设 e是单位向量， AB e，CD e， AD 1，则四边形 ABCD是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
3．在平行四边形 ABCD中， E为边BC的中点，记 AC a，DB b，则 AE （ ）
1
A． a
1 3 1
b
2 4 B
2 1 1
． a b C． a b2 D． a b3 3 4 4
4．已知向量 a,b满足 | a | 1,| b | 3,| a 2b | 3，则a b （ ）
A． 2 B． 1 C．1 D．2
5．已知 sin sin π π 3 =1，则 sin =6 （ ）
A 1 3 2 2． 2 B． C． 3 D．3 2
6．设在 ABC中,角 A，B,C所对的边分别为a，b,c , 若 b cosC c cos B a sin A , 则 ABC的
形状为 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
π
7．已知 sin 1 cos ，0 π，则 sin 2 5 4
（ ）
A 17 2 17 2 31 2 31 2． B． C． D．
50 50 50 50
r r
8．已知 a b 2， a b 2， 2a c b c 0 ，则 a c 的最大值为（ ）
A．1 3 B．2 3 C．2 D．4
1
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二、多项选择题（每小题 6分，共 3小题，共 18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.）
9．下列等式成立的是（ ）
A．sin26 cos26 cos12 B．4sin15 cos15 1
C 3 tan15 ． sin6 cos6 2sin39 D． 1
1 3tan15
π π
10．函数 f x Asin x （其中 A， ， 是常数， A 0， 0， 2 2）的部分图象如
图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． f x 的值域为 2, 2
B． f x 的最小正周期为π
π
C．
6
π
D．将函数 f（x）的图象向左平移 6个单位，得到函
数 g x 2 cos 2x的图象
11．已知 AC为圆锥 SO底面圆O的直径（S为顶点，O为圆心），点 B为圆O上异于 A,C的动点，
SO 1,OC 3，则下列结论正确的为（ ）
A．圆锥 SO的侧面积为2 3
π , πB SAB ． 的取值范围为 6 3
C．若 AB BC ,E为线段 AB上的动点，则 (SE CE)min 10 2 15
D．过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为 3
第二卷 非选择题（92分）
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）
12．已知平面内三个向量 a (3,2)，b ( 1,2)， c (4,1)，若 (a kc ) / /2b a，则 k= .
13． ABC的内角A、 B、C所对的边分别为 a、b、 c，且acos B C acos A 2 3csin Bcos A，
b2 c2 a2 2，则 ABC的面积为 ．
π
14．在 ABC中， AB 3，C ，当BC 3AC取最大值时， AC 3 ．
2
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四、解答题（本大题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13分）
已知非零向量 e1，e2 不共线．
(1)如果 AB e1 e2 ， BC 2e1 8e2 ，CD 3 e1 e2 ，求证：A， B，D三点共线；
ur ur
(2)欲使 ke1 e2 和 e1 ke2 共线，试确定实数 k的值．
16．（15分）
设函数 f x sin x cos x(x R) .
2
（1 ）求函数 y f
x 2
的最小正周期；
（2）求函数 y f (x) f x
在
4
0, 上的最大值.
2
17．（15分）
已知函数 f x sin 2x
cos 2x 2sin x cos x.
3 6
(1)求函数 f x 的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数 y f x 的图象向左平移12 个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变 横坐标伸长为
原来的 2倍，得到函数 y g x 的图象，求 y g x 在[0，2π]上的单调递减区间.
3
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18．（17分）
在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 a b 3sinC cosC ．
(1)求 B；
π
(2)已知BC 2 3，D为边 AB上的一点，若 BD 1， ACD ，求 AC的长．2
19．（17分）
π
如图，在 ABC中， B 3， AB 2 .
(1)若 BC 5，M 、N分别为 AC、BC的中点，设 AN、 BM交于点 P，求 MPN的余弦值；
1 4
(2)若点M 满足 AM AC，BM AC ，O为 BM中点，点N在线段BC上移动（包括端点），求
3 3
OA ON 的最小值.
4
{#{QQABJYyUogigApAAABhCAwHACECQkAGCCAoGRFAEIAAAyQFABAA=}#}2024年春期高 2023级高一期中考试
数学试题参考答案
1．A 2．B 3．D 4．C 5．B 6．B 7．D 8．A
9．BCD 10．AB 11．AC
16
12 13 3． ． 14 7 13．
13 2 13
15．解：（1）证明：因为 AB e1 e2 ， BD BC CD 2e1 8e 2 3 e1 e 2 5 e1 e 2 5AB ，...........5分
所以 AB，BD共线，且有公共点 B，所以A， B，D三点共线.................................................................6分
ur ur
（2）因为 ke1 e2 与 e1 ke2 共线，所以存在实数 ，使 ke1 e2 e1 ke2 ，......................................9分
k 0
则 k e1 k 1 e2 ，又由于向量 e1 ， e2 不共线，只能有 ，............................................11分
k 1 0
解得： k 1 .....................................................................................................................................................13分
16．解：（1）由辅助角公式得 f (x) sin x cos x 2 sin
x
， ....................................................3分
4
2 2
y f x 则
2 sin
x
3 2 3 3
2 4
2sin x 1 cos 2x 1 sin 2x，.....................6分
4 2
2
所以该函数的最小正周期T ;.........................................................................................................7分
2
（2）由题意， y f x f x 2 sin x 2 sinx 2sin
x sinx ...................................9分
4 4 4
2sin x 2 2 sin x cos x 2 sin
2 x 2 sin xcos x ...........................................................................11分
2 2
2 1 cos 2x 2 sin 2 x 2 sin 2 x 2 cos 2 x 2 sin 2 x
2
，......................................13分2 2 2 2 2 4 2
由 x 0,
3
可得 2x , ，.........................................................................................................14分 2 4 4 4
3 2
所以当 2x 即 x 时，函数取最大值1 ................................................................................15分
4 2 8 2
17 1 3．解：（1） f x sin2x cos2x 3 cos2x 1 sin2x sin2x，...................................................3分
2 2 2 2
f x 3cos2x 3 1 sin2x 2 cos2x sin2x2 2
2 cos2xcos sin2xsin
2cos 2x ，........................................................................................5分
6 6 6
所以函数 f x 的最小正周期为 ，............................................................................................................6分
1
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2x k k 令 ， k Z，得函数 f x 的对称轴方程为 x ， k Z. .....................................8分
6 12 2
（2）将函数 y f x 的图象向左平移 个单位后所得图象的解析式为
12
y 2cos 2 x
2cos 2x
，.............................................................................................10分
12 6 3
g x 1 2cos 2 x 所以 2cos x ，........................................................................................11分
2 3 3
令 2k x 2k ，
3
2
所以 2k x 2k ,k Z .又 x 0,2 ，.................................................................................13分
3 3
所以 y g x 在 0,2 2 5 上的单调递减区间为 0, , , 2
............................................................15分 3 3
18．解：（1）∵ a b 3sinC cosC ，根据正弦定理得，sin A sinB 3sinC cosC ，...........3分
即 sinB cosC cosB sinC 3sinB sinC sinB cosC，...........................................................................5分
所以 cos BsinC 3sin BsinC ，因为 sinC 0，
3
所以 cosB 3 sinB，所以 tan B ，.................................................................................................7分
3
因为 B 0, π π，所以 B ．.....................................................................................................................8分
6
π
（2）因为BC 2 3， BD 1， B ，根据余弦定理得6
CD2 BC2 BD2 2 BC BD cos B 1 3 12 2 1 2 3 7，∴CD 7．.................................11分
2
∵ BDC
π π
A，∴ sin BDC sin A cos A ．....................................................................13分2 2
2 3 7
在 BDC
BC CD
中，由正弦定理知， ，∴
BDC B cos A 1
，..................................................15分
sin sin
2
21 π 2 7
∴ cos A ， A 0, ，所以 sin A ........................................................................................16分
7 2 7
∴ tan A sin A 2 3 CD 21 ，∴ AC ．........................................................................................17分
cos A 3 AC 2
19．解：（1）以 B为原点， BC所在直线为 x轴，过 B作 AB的垂线为 y轴，建立如图所示直角坐标系，
..........................................................................................................................2分
2
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π 3 AB 2， B ， A 1, 3 ，C 5,0 ， N 2.5,0 ，M 3, ，..............................................3分3 2
3
BM 3, ， AN 1.5, 3 ，..................................................................................................4分
2
39 BM AN 21 ， ，.............................................................................................................6分
2 2
由题意知 MPN即为 BM ， AN的夹角，设为 ，
cos AN BM 3 4 91
AN BM 39 21 91 ...................................................................................... ....7分
2 2
（2）设C t,0 ， t 0，
π
AB 2， B ， A 1, 33 ，
设M x, y ， AM x 1, y 3 ， AC t 1, 3 ，................................................................9分
1 AM AC x 1 1 t 1 y 3 1 t 2， ， 3 2 3，则 x ， y ............................10分3 3 3 3 3
t 2 2 3
M ,3 3
，
t 2 2 3
BM , ， AC t 1, 3 ，
3 3
BM AC 4 t 2 t 1 4，即 2 ，解得 t 3（负值舍去），........................................... ....13分
3 3 3
5 2 3 5
M , ，因为O为 BM中点， O ,
3
，.........................................................................14分
3 3 6 3
设 N n,0 1 2 3 5 3，0 n 3， OA , ，ON n , ，..................................................15分
6 3 6 3
OA ON 1 5 2 1 29 n n ，..................................................................................................16分6 6 3 6 36
0 n 3，
1
所以当 n 0时 n
29 29 ，即 OA ON 29 6 36 36 ...........................................................17分 min min 36
3
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