课件10张PPT。2.1.1 曲线与方程宁乡二中 贺慧欢迎各位领导、同仁亲临指导！【问题1】：明天就是周末了，小明想邀请要好的同学去他家玩，他是这样告诉同学他家的详细地址的“荷花路北，万家丽路东的第一条街”（如图），换作你会怎样说呢？ （150，150）●小明家(150,150)【问题2】：之前我们已经学过方程 表示一、三象限的平分线，可这是为什么呢？【问题3】：我们知道，圆心在（0，1），半径为2的圆C可用方程 表示,请你说出理由？【问题4】：对一般的曲线与方程，你能给出方程是曲线的方程，曲线是方程的曲线的概念吗？ 思考 ：给定命题A：“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”; 命题B:“曲线C是方程f(x,y)=0的曲线”，请问命题A与命题B是否互为充要条件？ 【问题5】：我们知道，直线x-y=0上的点到两坐标轴的距离相等，你认为到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是否为x-y=0？ 结论：若曲线C上存在点，其坐标不是方程f (x,y) = 0 的解，或方程f (x,y) = 0存在解为坐标的点不是曲线C上的点，则方程 f (x,y) = 0不是曲线C的方程，曲线C也不是方程 f (x,y) = 0的曲线.● （1，–1）·●【问题6】：证明与两条坐标轴的距离的积是常数 的点的轨迹方程是 。证明：设 是轨迹上的任意一点，则点 与两坐标轴的距离分别是| |、| |，所以| |·| |= ，即 · = 。故与两条坐标轴的距离的积是常数 ( >0)的点的轨迹方程是 。证明：（1）设 是轨迹上的任意一点，则点 与y轴、x轴的距离分别是︱ ︱、| |，所以| |·| |= 则, · = ，即（ ， ）是方程 的解。
（2）设（ ， ）是方程的解，则 · = ，即 ︱ ︱·| |= ，而︱ ︱、︱ |是点（ ， ）到y轴、x轴的距离，因此该点到这两条坐标轴的距离的积是常数 ，它是轨迹上的点。
由（1）（2）可知与两条坐标轴的距离的积是常数 ( >0)的点的轨迹方程是 。【问题7】：你能说说本节课学习的主要内容是什么吗？谢谢!曲线与方程
宁乡二中 贺慧
教学内容：
1、曲线的方程与方程的曲线的概念；
2、坐标法的基本思想。
内容解析：
“曲线与方程”这一内容既是直线与方程、圆与方程理论的一般化，也是进一步学习椭圆、双曲线、抛物线的指导思想。尽管学习这一内容是学生体会并理解圆锥曲线的基础，但是更为重要的是使人们通过坐标系这座桥，可以利用方程以及代数的运算来研究曲线，这正是这一内容成为数学的核心概念的原因，也是曲线与方程这一概念的核心之所在。因此，教学时不仅要让学生学习如何求曲线的方程，而且要通过这一内容培养学生的坐标法思想，使学生明白求出曲线方程的真正意义在于利用曲线的方程去研究曲线。
事实上，研究曲线与方程的过程，就是把曲线的几何特征转化为代数中的数量关系，并通过代数中的运算等方便手段，处理已得到的数量关系来得出曲线的几何性质，并达到利用曲线为人们服务的目的。因此，学习这一部分内容可以加深学生对数学中的代数方法的认识，也能够让学生更好地体会数学的本质。
在平面直角坐标系建立以后，任何曲线都有唯一的方程，任何方程也都有唯一确定的曲线（或点集），曲线与方程之间的一一对应的关系，是通过曲线上的点所组成的集合与方程所有解所成的集合之间存在的一一对应关系来建立的，因此，曲线的方程是曲线的唯一表示。这种表示，不仅为我们研究曲线提供了方便，还为人们表达自己的思想观点提供了一种规范，这是人们应该具备的基本素质。
教学目标：
1、通过实例理解曲线的方程和方程的曲线的概念，能判断已经学过的特殊的曲线与方程之间是否具有互为表示的关系;
2、通过一些简单曲线的方程及其研究，体会坐标法的基本思想。
目标解析：
教学目标1是教学重点，学生通过直线的方程与圆的方程的学习，对曲线的方程与方程的曲线有了初步认识，但这只是一种意会，我们现在的任务是要建立曲线与方程之间的一般性的概念，让学生能从“定义”的角度去理解这些概念。
如何理解曲线与其方程之间的关系？学生可以很流利的背出曲线与其方程应该满足的两条，但是如何证明“一条曲线与一个方程之间具有互为表示的关系”，这是学生学习时可能遇到的第一个教学问题，也是本节课的教学难点。这个教学问题可以结合“直线与其方程”、“圆与其方程”进行说明。
落实好目标1是实现教学目标2的前提与保证。
教学过程：
师：假期里大家是不是都喜欢邀请自己的好朋友去家里玩呢？（打出幻灯片1【问题1】）
【问题1】：明天就是周末了，小明想邀请要好的同学去他家玩，他是这样告诉同学他家的详细地址的：“荷花路北，万家丽路东的第一条街”（如图一），换作你会怎样说呢？
（图一）
生：…
师：刚才大家说了很多不错的方法，特别是小虎的“荷花路北，万家丽路东的康佳大药房附近”，利用了周围标志性的建筑物，这样找起来就方便多了。其实在我们的数学中要把某一方位的具体位置很明确的表示出来有什么好方法呢？
生：…
师：对了，建立平面直角坐标系。（打出幻灯片2）
（图二）
师：这样小明家就相当于坐标系中的一个点，其具体位置就可以用点的坐标来表示了，这样既简单又明了。（师板书）
师：而且大家发现没有这样一说明，小明家的位置还挺特殊的。（打出幻灯片3）
生1：位于交叉路口的正东北方向；
生2：位于平面直角坐标系一、三象限的平分线上；
生3：位于直线上；
生4：…
师：大家观察得很仔细。之前我们已经学过方程表示一、三象限的平分线，可这是为什么呢？（打出幻灯片4【问题2】，并板书课题“曲线与方程”）请向你的同桌说说理由。
【问题2】：之前我们已经学过方程表示一、三象限的平分线，可这是为什么呢？
生：思考，并和同桌互述理由。
师：请推荐你的同桌说说理由。
生1：因为一、三象限的平分线上的任意一点M（x,y）到两坐标轴的距离相等，即x=y,说明该坐标（x,y）是方程的解，所以方程表示一、三象限的平分线；（几何画板演示）
生2：因为方程的解都满足x=y,说明以方程的解为坐标的点全部在一、三象限的平分线上，所以方程表示一、三象限的平分线；（几何画板演示）
师：刚才两位同学对这个问题进行了回答，一个是从一、三象限的平分线上的点的几何特征来分析的；一个是从方程的解的特点来分析的，各有道理，而且两者都是利用坐标这座桥梁来转化的，那么到底谁的更有说服力呢？我们不妨先来看这么一个问题：
“一、三象限的平分线上所有的点组成的集合P=｛M︱一、三象限的平分线｝，方程的全部的解组成的集合Q={(x,y)|x-y=0}，那么P、Q之间有什么关系呢？”
生：P、Q之间是一一对应的关系。
师：那么我们借助坐标这座桥梁把一、三象限的平分线上所有的点和方程的全部的解一一对应起来了，所以只有综合刚才两位同学的答案，也就是“一、三象限的平分线上的任意一点M（x,y）的坐标都是方程解，同时，方程所有的解为坐标的点都在一、三象限的平分线上”，我们才能够说明“方程表示一、三象限的平分线”。
师：通过以上的讨论与分析我们发现直线及其方程之间存在这么一个互为的关系：如果直线上点的坐标都是某个方程的解；而且以这个方程的解为坐标的点都是直线上的点，那么这个方程就是直线的方程，这条直线就是方程的直线。这也就是这节课我们所研究的“曲线与方程”中的第一种特例“直线与方程”。（师板书课题）
同样的，我们知道，圆心在（0，1），半径为2的圆C可用方程表示,请你说出理由？（幻灯片4【问题3】）
【问题3】：我们知道，圆心在（0，1），半径为2的圆C可用方程表示,请你说出理由？
生：类比问题2简单说理。
师：（1）结合学生的回答板书详细过程并用几何画板演示：
设点是圆C上任意一点，则，
因此，即的坐标是方程的解．
反过来，设是方程的解，则，
即 。
所以，对应的点M满足，即点M在(0,1)为圆心，2为半径的圆C上．
故圆心在（0，1），半径为2的圆C可用方程表示。
（2）给出，，则P、Q之间存在一一对应关系。
师：根据刚才我们了解到的直线与其方程，圆与其方程之间的关系，对于一般的曲线与方程，你能给出方程是曲线的方程，曲线是方程的曲线吗？（打出幻灯片4中的【问题4】）
【问题4】：对一般的曲线与方程，你能给出方程是曲线的方程，曲线是方程的曲线的概念吗？
生：根据【问题2】，【问题3】尝试下定义。
师: 板书概念并引导学生总结出：若，，则“方程 f (x,y) = 0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程 f (x,y) = 0的曲线”等价于“P、Q之间存在一一对应关系”．
师：给定命题A：“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”;命题B:“曲线C是方程f(x,y)=0的曲线”，请问命题A与命题B是否互为充要条件？（打出幻灯片5）
【问题5】：我们知道，直线x-y=0上的点到两坐标轴的距离相等，你认为到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是否为x-y=0？（打出幻灯片5【问题5】）
（1）生：思考，分析。发现“直线x-y = 0上的点到两坐标轴的距离相等”，但点（－1,1）到两坐标轴的距离相等，而（1,–1）的坐标不是方程的解而是方程x+y=0的解，不满足条件（1），所以到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程不是。
师：那轨迹方程应该是？
生：。
师：请大家总结出“方程是曲线的方程”或“曲线是方程的曲线”的否定方法。
生：口答。
师：稍作补充（打出幻灯片5中的结论）。
（2）巩固练习
师:请大家完成教材37页练习第一题，第二题。
生：口答。（第一题答完后变式训练将题中的“中线AO（O为原点）所在直线的方程”修改为“中线AO（O为原点）的方程”）
师：看来大家对“曲线与方程”的概念掌握得还不错。那我们一起来看看【问题6】（打出幻灯片6【问题6】）
【问题6】：证明与两条坐标轴的距离的积是常数(>0)的点的轨迹方程是。
（1）生尝试书写证明过程，师巡视指导。
（2）展示学生解题过程并分析。
生1：证明：设是轨迹上的任意一点，则点与两坐标轴的距离分别是︱︱、︱|，所以︱︱·︱|=，即·=。 故与两条坐标轴的距离的积是常数(>0)的点的轨迹方程是。
生2：证明：（1）设是轨迹上的任意一点，则点与y轴、x轴的距离分别是︱︱、︱|，所以︱︱·︱|= ·=，即（，）是方程的解。
（2）设（，）是方程的解，则·=，即︱︱·︱|=，而
︱︱、︱|是点（，）到y轴、x轴的距离，因此该点到这两条坐标轴的距离的积是常数，它是轨迹上的点。
由（1）（2）可知与两条坐标轴的距离的积是常数(>0)的点的轨迹方程是。
师生共同分析：生1只考虑了条件（1）就下结论不正确，这往往是大家在解题时容易出现的问题，一定要注意证明“一个方程是曲线的方程或曲线是方程的曲线”两个条件缺一不可，而生2分别就“曲线与方程”概念必须满足的两个条件进行了说明，做得很好。
师：以上内容就是我们本节课所学习的知识，你能说说本节课学习的主要内容是什么吗？（打出幻灯片7【问题7】）
【问题7】：你能说说本节课学习的主要内容是什么吗？
生总结，师板书。
