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反比例函数中的K的几何意义与面积之间的关系探究
目录
【题型一 根据K的几何意义求三角形的面积】 1
【题型二 已知三角形的面积求K】 4
【题型三 根据K的几何意义求四边形的面积】 7
【题型四 已知四边形的面积求K】 10
【题型五 根据K的几何意义求坐标】 13
【题型六 根据K的几何意义判断面积的变化情况】 16
【题型一 根据K的几何意义求三角形的面积】
例题：（2024·贵州黔东南·一模）如图，已知为反比例函数图象上的两点，连接，则三角形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例图象上点的坐标特征，分别过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，且的延长线交于点．根据求得即可．
【详解】解：分别过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，且的延长线交于点，
都是反比例函数图象上的两点，
，
，
，
，
，
故选：D．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，P是反比例函数的图象上一点，是轴正半轴上一点，若，则三角形的面积是 ．
【答案】4
【分析】
本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，作于点A，由等腰三角形的性质可得，得到，再由反比例函数系数的几何意义可得，即可得解，熟练掌握反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质是解此题的关键．
【详解】
解：如图，作于点A，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：4．
2．（2023·湖北随州·模拟预测）如图，C，D两点在双曲线（）上，A、B两点在双曲线（，）上，若轴，且，则三角形的面积 ．
【答案】
【分析】如图，过点C作轴于点F，作轴于点G，过点D作轴于点E，则四边形是矩形，设点C和点D的坐标，得到点A和点B的坐标，得到和的长，然后由列出方程，化简得到a与b的关系，然后用切割法求得五边形的面积，由反比例系数k的几何意义求得、、矩形的面积，从而得到梯形的面积和的面积相等，最后求得的面积．
【详解】解：如图，过点C作轴于点F，过点D作轴于点E，
设，，
∴点，，
∴，，，，，
∵，
∴，化简得，，
∴，
∵点C和点D在反比例函数上，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，切割法求多边形的面积，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
【题型二 已知三角形的面积求K】
例题：（2023·四川成都·二模）如图，平面直角坐标系中，点在反比例函数的图像上，直线与反比例函数图像交于点，过点作轴，垂足为，连接，若三角形的面积为，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数图像的性质（图像关于原点对称），设，则，，如图所示，过点作轴于点，用含的式子分别表示的长，根据三角形的面积即可求解．
【详解】解：∵点，点在反比例函数的图像上，
∴设，则，，过点作轴于点，如图所示，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵三角形的面积为，
∴，
∴，即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握反比例函数图像的性质，几何图形的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，直线与反比例函数图象交于点，过点作轴，垂足为，连接，若三角形的面积为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，根据关于对称，则，进而根据，即可求解．
【详解】解：∵直线与反比例函数图象交于点，
∴，
∵三角形的面积为，轴，
∴
∵反比例数图象在第二、四象限，
∴
∴
故答案为：．
2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，A为反比例函数上一动点，C为中点，过点C作轴，交反比例函数于点B，连接，若三角形面积为，则
【答案】
【分析】设点，则，由轴得，利用面积可建立一个关于a、b的方程，解得a、b之积即为k值．
【详解】解：设点A的坐标为，
∵C为中点，
∴，
∵轴，且点B在反比例函数图象上，
∴，
∴的边上的高，
，
又，
∴．即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的k值的几何意义，反比例函数图象上点的纵横坐标之积等于常数k．
【题型三 根据K的几何意义求四边形的面积】
例题：（23-24八年级下·山西长治·期中）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，若正方形的边长是4，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】C
【分析】本题考查的是正方形与反比例函数图象的性质，根据正方形与反比例函数中心对称的性质，即可求解．
【详解】解：∵正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，正方形的边长是4，
∴，
∵反比例函数是中心对称图形，
∴．
故选C．
【变式训练】
1．（2024·山西朔州·三模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且轴，轴于点C，连接，则四边形的面积为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解题的关键．延长交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．
【详解】解：如图，延长交y轴于点D．
轴，
轴，
点A在反比例函数的图象上，
．
轴，轴，点B在反比例函数的图象上，
，
．
2．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数的图象经过点C和边的中点D，点D到x轴的距离为2，则平行四边形的面积为 ．
【答案】36
【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变．也考查了平行四边形的性质．
延长交y轴于E，利用反比例函数向上k的几何意义得出，利用平行四边形的性质得，，，，由点D是边的中点，点D到x轴的距离为2可知B点的纵坐标为4，即，利用三角形面积公式求得，解直角三角形求得，由反比例函数的图象经过点经过边的中点D，求得，进而求得，然后利用平行四边形的面积公式计算四边形的面积．
【详解】解：延长交y轴于E，作轴于F，如图，
四边形为平行四边形，
，，，，
轴，
，
点D是边的中点，点D到x轴的距离为2，
点的纵坐标为4，
，
∵，
，
，
，
，
∴，即，
，
∵反比例函数的图象边的中点D，
，
，
，
四边形的面积．
故答案为：36．
【题型四 已知四边形的面积求K】
例题：（2024·黑龙江牡丹江·一模）如图，矩形的边轴，对角线的交点O为坐标原点，，垂足是G．若反比例函数的图象经过点A，且，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合题．由已知求得，设点A的坐标为，求得，，利用矩形面积公式列式计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵矩形，
∴，
∵反比例函数的图象经过点A，设点A的坐标为，
∵矩形的边轴，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，，
∴，
解得，
故选：C．
【变式训练】
1．（2024·广东云浮·一模）如图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在反比例函数的图象上，轴，且的对角线交点为坐标原点O．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，反比例函数的应用，如图，连接，，设，与轴的交点分别为M，N，由平行四边形的性质可得，再建立方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，，
设，与轴的交点分别为M，N，轴，
∵，
∴，
根据题意，可得．
，，
，解得：，
故答案为3．
2．（2024·安徽合肥·二模）如图，正方形的顶点，在双曲线上，顶点在双曲线上，轴，正方形的面积为，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，正方形的性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质．过点分别作轴、轴的垂线，垂足为，，设，则点，，根据反比例函数的性质求出，，进而求出点的坐标，即可求解．
【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足为，，
设，易知，
点，，
，
或（舍去），
，
，
故答案为：．
【题型五 根据K的几何意义求坐标】
例题：（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，四边形是矩形，四边形是正方形且面积为，点，在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点，在反比例函数 的图象上，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质．根据正方形的性质以及反比例函数的性质求得，推出，据此即可求解．
【详解】解：∵正方形的面积为，
∴，
把代入得：，
∴，
∴，
把代入得：，
∴，
故答案为：．
【变式训练】
1．（2024·江苏徐州·一模）如图，，是反比例函数图象上的两点，连接，，过点作轴于点，交于点，若，的面积为2，点的坐标为，则的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查反比例函数中的几何意义以及反比例函数图象上点的特征．先根据，的面积为2，求得的面积，再根据反比例函数中系数的几何意义求出值，进而得出反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求解值．
【详解】解：，的面积为2，
的面积为3，的面积为5，
，是双曲线上的两点，轴于点，
，则，
，
将点代入中，得，
，
故答案为：5．
2．（2022·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，垂足为，，分别与反比例函数的图象相交于，两点．若为的中点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题考查了反比例函数的图象及性质，过点作轴，垂足为，求出点的坐标为，则的面积为，从而求出的值，代入即可，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数的几何意义．
【详解】过点作轴，垂足为，
由题可知，
∵为的中点，点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴的面积为，
∴，解得：，
∴反比例函数的表达式为，
当时，，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【题型六 根据K的几何意义判断面积的变化情况】
例题：如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点固定，且始终有，当顶点C在函数的图象上从上到下运动时，顶点B在x轴的正半轴上移动，则ABC的面积大小变化情况是（ ）
A．先减小后增大 B．先增大后减小 C．一直不变 D．先增大后不变
【答案】C
【分析】根据三角形ABC的面积是点C的横坐标与纵坐标的乘积除以2，和点C在函数的图象上，可以解答本题．
【详解】解：∵等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数的图象上运动，且AC=BC，
设点C的坐标为，
∴，
即△ABC的面积不变，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是将反比例的系数k与三角形的面积联系在一起．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，是函数在第一象限的图象上任意一点，点关于原点的对称点为，过作平行于轴，过作平行于轴，与交于点点，则的面积（ ）
A．随点的变化而变化 B．等于8
C．等于4 D．等于6
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、关于原点对称的点的坐标，设，则，根据题意得，再根据函数解析式即可求解，解决本题的关键把所求的三角形的面积整理为和反比例函数的比例系数有关的式子．
【详解】解：设，则，
那么的面积，
，
∴的面积为8，
故选B．
2．如图，直线与函数的图像交于A、B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）
A．S=2 B．2＜S＜4 C．S=4 D．S随m的变化而变化
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象的对称性求出四边形ODCE的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出△AOD和△OBE的面积，从而得解．
【详解】解：如图
∵直线y=mx与函数的图象交于A、B两点，
∴点A、B关于点O对称，
∴四边形ODCE的面积=2，
△AOD的面积=×2=1，
△OBE的面积=×2=1，
∴△ABC的面积S=2+1+1=4是定值．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，以及反比例函数的中心对称性，熟记过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|是解题的关键．
一、单选题
1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）若反比例函数图象如图，则图中阴影部分面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题考查值的几何意义，如图，连接，得到阴影部分的面积等于的面积，根据值的几何意义，即可得出结果．
【详解】解：如图，连接，
由图可知轴，
∴阴影部分的面积等于的面积，
∵点在反比例函数图象上，
∴阴影部分的面积等于的面积，
故选C．
2．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，点A为反比例函数图象上一点，点B为反比例函数图象上一点，连接，，若线段的中点C恰好落在x轴上，且，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，全等三角形的判定和性质，过点A作轴，垂足为E，过点B作轴，垂足为F，连接，先证明，再根据反比例函数上过任意一点作两坐标轴的垂线，所得的矩形面积是作答即可，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】过点A作轴，垂足为E，过点B作轴，垂足为F，连接，
∴
∵C是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点A为反比例函数图象上一点，
∴，
∴，
∴，
∵点B为反比例函数图象上一点，
∴，
故选：D．
3．（23-24九年级下·四川自贡·阶段练习）如图，已知点，过点P作轴于点M，轴于点N，反比例函数的图象 交于点A，交于点B．若四边形的面积为12，则k的值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是学会用方程的思想思考问题．
根据反比例函数系数k的几何意义，利用，即可解决问题．
【详解】解： 轴于点M，轴于点N，
四边形是矩形，
又
点A、B在反比例函数的图象上，
即，
，
故选：A
4．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，第一象限的点A、B均在反比例函数的图象上，作轴于点C，轴于点D，连接，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义坐标与图形，熟知反比例函数k的几何意义是解本题的关键．设，则，列示求出即可求出结论．
【详解】解：设，则，
∴，
∵点A、B均在反比例函数的图象上，作轴于点C，轴于点D，
∴点，四边形为直角梯形，
∴，
∴，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：，
∵．
故选：D．
5．（23-24九年级下·湖南永州·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于点，点的横坐标分别为，则（ ）
A．3 B．4 C．2 D．8
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题， 根据题意和函数解析式，可以求得点和点的坐标，得到一次函数和反比例函数的解析式，过点作轴于点，直线与轴交于点，求出点的坐标，从而可以求得的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：把点的横坐标，分别代入函数中，得
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
反比例函数的解析式为：，
∴点，，
过点作轴于点，直线与轴交于点，如图：
当时，，
∴点，
∴
，
故选：B．
二、填空题
6．（23-24八年级下·四川巴中·期中）已知正比例函数图象与反比例函数图象都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，根据反比例函数的图象与正比例函数图象的两个交点一定关于原点对称即可求解．
【详解】解：∵正比例函数图象与反比例函数图象都经过点，
∴由对称性可得这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为，
故答案为：．
7．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，点A在双曲线上，过点A作轴，交y轴于点C，交双曲线于点B，若．则k的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数中系数k的几何意义，熟练掌握和运用反比例函数中系数k的几何意义是解决本题的关键．
过点A作轴于D，过点B作x轴于E，首先得到，，根据得到，进而求解即可．
【详解】解：过点A作轴于D，过点B作x轴于E，
∵轴，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∵点A在双曲线上，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，
故选答案为：．
8．（23-24八年级下·四川遂宁·期中）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于A，B两点，连结OA，OB，已知的面积为6，则 ．
【答案】12
【分析】本题考查反比例函数的几何意义，根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，然后两个三角形面积作差即可求出结果．
【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，
∴的面积为，
∴，
∴．
故答案为：12．
9．（2024·安徽马鞍山·二模）已知在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限内，的边与反比例函数有交点．
（1）如图①，点A在反比例函数的图象上，轴，垂足为点B，的面积为6，则k的值为 ．
（2）如图②，反比例函数的图象经过的顶点A和边的中点C．若的面积为6，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合，k的几何意义，以及三角形中位线性质．
（1）根据k的几何意义得到求解，再结合，即可解题；
（2）根据三角形中位线性质得到的面积为6，的面积为12，设，表示出点B，点C的坐标，利用点A，点C都在反比例函数图象上建立等式求解出，即可解题．
【详解】（1）解：的面积为6，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）解：边的中点为C．的面积为6，
的面积为6，的面积为12，
设，
，
，即，
，
，
整理得，
解得，
k的值为，
故答案为：．
10．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，正比例函数与函数的图象交于，两点，轴，轴，则 ．
【答案】10
【分析】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，先设点坐标，根据反比例函数正比例函数的中心对称性再确定点坐标，于是可得到点坐标，然后根据三角形面积公式进行计算,根据函数的性质得出、、的坐标是解题的关键．
【详解】解：设点坐标为，则点坐标为，
点坐标为，
，，
的面积．
故答案为：10．
三、解答题
11．（2024·青海·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求：
(1)反比例函数上的解析式；
(2)的面积．
【答案】(1)
(2)的面积是2
【分析】本题考查的知识点是正比例函数以及反比例函数图象上点的坐标．
（1）根据题意A的纵坐标为2，代入，求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值；
（2）分别求出和即可求解．
【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交点A的纵坐标为2，
，
解得：，
把代入，得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：轴，垂足是C，
，
∵点A和点B关于原点对称，
，
∴，，
∴，
的面积是2．
12．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，连接，交反比例函数的图象于点C，已知．
(1)求k的值；
(2)连接，若点A的横坐标为4，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，求反比例函数的解析式；
（1）延长交轴于点，根据反比例函数的几何意义直接计算即可；
（2）过点作，先求出正比例函数的解析式，然后求出点的坐标，从而求出，最后根据计算即可；
熟知反比例函数的几何意义是关键．
【详解】（1）解：如图，延长交轴于点，
∵点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，且
∴，
解得，
故k的值为；
（2）如图，过点作，
∵点A的横坐标为4，点A是反比例函数图象上一点，
∴，
∵平行于y轴，
∴点的横坐标为4，
解得，
∴正比例函数的图象与反比例函数图象的交点的坐标为
，
故的面积为．
13．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点A、B分别在反比例函数（）和反比例函数的图象上，轴，求的面积．
【答案】1
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，延长交y轴于C，得到轴，设，则，即可得到，，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，延长交y轴于C，
∵轴，
∴轴，
设，则，
∴，，
∴．
14．（2024·江西吉安·模拟预测）如图，已知点的坐标为，将线段向左平移6个单位长度，再向上平移个单位长度可得到线段．
(1)点的坐标为_______，点的坐标为______（均用含的式子表示）
(2)若点同时落在反比例函数的图象上．
①求及的值；
②求的面积
【答案】(1)，；
(2)①；②18．
【分析】本题考查了坐标的平移、反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据坐标平移的法则：左移减，右移加，上移加，下移减，即可得出答案；
（2）①由题意得出，求解即可得出及的值；②连接．由平移的性质可得，，，求出即可得解．
【详解】（1）解：点的坐标为，将线段向左平移6个单位长度，再向上平移个单位长度可得到线段，
点的坐标为，点的坐标为；
（2）解：①∵点同时落在反比例函数的图象上，
∴，
解得，．
②连接．
由平移得，，
∴，
∵点与点的纵坐标相等，
∴轴．
∴．
．
15．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点．已知，．
(1)若，求的值：
(2)连接，若，求的长．
【答案】(1)20
(2)
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出点坐标即可得出答案；
（2）首先表示出，点坐标，进而利用反比例函数图象的性质求出点坐标，然后利用勾股定理即可求得的长．
【详解】（1）解：作，垂足为，
，，
．
在中，，，
，
，
点的坐标为：，
反比例函数的图象经过点，
，
（2）解：设点的坐标为，
，，
，
，两点的坐标分别为：，．
点，都在反比例函数的图象上，
，
，
点的坐标为：，
．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象的性质，正确得出方程，解一元一次方程是解题关键．中小学教育资源及组卷应用平台
反比例函数中的K的几何意义与面积之间的关系探究
目录
【题型一 根据K的几何意义求三角形的面积】 1
【题型二 已知三角形的面积求K】 2
【题型三 根据K的几何意义求四边形的面积】 3
【题型四 已知四边形的面积求K】 4
【题型五 根据K的几何意义求坐标】 5
【题型六 根据K的几何意义判断面积的变化情况】 6
【题型一 根据K的几何意义求三角形的面积】
例题：（2024·贵州黔东南·一模）如图，已知为反比例函数图象上的两点，连接，则三角形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，P是反比例函数的图象上一点，是轴正半轴上一点，若，则三角形的面积是 ．
2．（2023·湖北随州·模拟预测）如图，C，D两点在双曲线（）上，A、B两点在双曲线（，）上，若轴，且，则三角形的面积 ．
【题型二 已知三角形的面积求K】
例题：（2023·四川成都·二模）如图，平面直角坐标系中，点在反比例函数的图像上，直线与反比例函数图像交于点，过点作轴，垂足为，连接，若三角形的面积为，则的值为 ．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，直线与反比例函数图象交于点，过点作轴，垂足为，连接，若三角形的面积为，则的值为 ．
2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，A为反比例函数上一动点，C为中点，过点C作轴，交反比例函数于点B，连接，若三角形面积为，则
【题型三 根据K的几何意义求四边形的面积】
例题：（23-24八年级下·山西长治·期中）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，若正方形的边长是4，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【变式训练】
1．（2024·山西朔州·三模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且轴，轴于点C，连接，则四边形的面积为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数的图象经过点C和边的中点D，点D到x轴的距离为2，则平行四边形的面积为 ．
【题型四 已知四边形的面积求K】
例题：（2024·黑龙江牡丹江·一模）如图，矩形的边轴，对角线的交点O为坐标原点，，垂足是G．若反比例函数的图象经过点A，且，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2024·广东云浮·一模）如图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在反比例函数的图象上，轴，且的对角线交点为坐标原点O．若，则 ．
2．（2024·安徽合肥·二模）如图，正方形的顶点，在双曲线上，顶点在双曲线上，轴，正方形的面积为，则的值是 ．
【题型五 根据K的几何意义求坐标】
例题：（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，四边形是矩形，四边形是正方形且面积为，点，在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点，在反比例函数 的图象上，则点的坐标为 ．
【变式训练】
1．（2024·江苏徐州·一模）如图，，是反比例函数图象上的两点，连接，，过点作轴于点，交于点，若，的面积为2，点的坐标为，则的值为 ．
2．（2022·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，垂足为，，分别与反比例函数的图象相交于，两点．若为的中点，则点的坐标为 ．
【题型六 根据K的几何意义判断面积的变化情况】
例题：如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点固定，且始终有，当顶点C在函数的图象上从上到下运动时，顶点B在x轴的正半轴上移动，则ABC的面积大小变化情况是（ ）
A．先减小后增大 B．先增大后减小 C．一直不变 D．先增大后不变
【变式训练】
1．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，是函数在第一象限的图象上任意一点，点关于原点的对称点为，过作平行于轴，过作平行于轴，与交于点点，则的面积（ ）
A．随点的变化而变化 B．等于8
C．等于4 D．等于6
2．如图，直线与函数的图像交于A、B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）
A．S=2 B．2＜S＜4 C．S=4 D．S随m的变化而变化
一、单选题
1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）若反比例函数图象如图，则图中阴影部分面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，点A为反比例函数图象上一点，点B为反比例函数图象上一点，连接，，若线段的中点C恰好落在x轴上，且，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级下·四川自贡·阶段练习）如图，已知点，过点P作轴于点M，轴于点N，反比例函数的图象 交于点A，交于点B．若四边形的面积为12，则k的值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
4．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，第一象限的点A、B均在反比例函数的图象上，作轴于点C，轴于点D，连接，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级下·湖南永州·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于点，点的横坐标分别为，则（ ）
A．3 B．4 C．2 D．8
二、填空题
6．（23-24八年级下·四川巴中·期中）已知正比例函数图象与反比例函数图象都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ．
7．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，点A在双曲线上，过点A作轴，交y轴于点C，交双曲线于点B，若．则k的值是 ．
8．（23-24八年级下·四川遂宁·期中）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于A，B两点，连结OA，OB，已知的面积为6，则 ．
9．（2024·安徽马鞍山·二模）已知在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限内，的边与反比例函数有交点．
（1）如图①，点A在反比例函数的图象上，轴，垂足为点B，的面积为6，则k的值为 ．
（2）如图②，反比例函数的图象经过的顶点A和边的中点C．若的面积为6，则k的值为 ．
10．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，正比例函数与函数的图象交于，两点，轴，轴，则 ．
三、解答题
11．（2024·青海·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求：
(1)反比例函数上的解析式；
(2)的面积．
12．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，连接，交反比例函数的图象于点C，已知．
(1)求k的值；
(2)连接，若点A的横坐标为4，求的面积．
13．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点A、B分别在反比例函数（）和反比例函数的图象上，轴，求的面积．
14．（2024·江西吉安·模拟预测）如图，已知点的坐标为，将线段向左平移6个单位长度，再向上平移个单位长度可得到线段．
(1)点的坐标为_______，点的坐标为______（均用含的式子表示）
(2)若点同时落在反比例函数的图象上．
①求及的值；
②求的面积
15．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点．已知，．
(1)若，求的值：
(2)连接，若，求的长．
