课件13张PPT。12.1 平方差公式七年级数学下册青岛版 第12章 乘法公式与因式分解(a+b)(a-b)=a2-b2
一、学习目标：
1、会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算；?
2、了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法；?
3、通过平方差公式的应用，培养观察、分析、比较的能力?。二、重难点：
重点：会推导平方差公式并掌握公式的结构特征?
难点：运用公式进行简单的计算?本课的学习任务观察与思考 （1）时代中学计划将一个边长为a米的正方形花坛改造成长为(a+2)米，宽为(a-2)米的长方形花坛，你会计算改造后的花坛面积吗？如果改造成长为（a+1）米、宽为（a-1）米的长方形花坛呢？（2）观察上面两个乘式中的因式以及它们的乘积，你发现了什么？(a+2) (a-2)=a2-2a+2a-4=a2-4(a+1) (a-1)=a2-a+a-1=a2-1（3）如图（1）在长为a+b，宽为a-b的长方形中，减去一个长为a-b,宽为b(a>b>0)的小长方形，然后把长方形① ②拼接成图（2）的图形，分别计算它们的面积，由此你得出一个怎样的等式？图（1）图（2）=a2-b2(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)=a2-b2
用语言叙述平方差公式 两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。平方差公式：平方差公式有何结构特征？1.左边两个多项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
2.右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差。 公式中的a,b可以表示一个单项式，也可以表示一个数,或者是一个多项式。说明:(a+b)(a-b)=a2-b22ab（2a）2-b2
y3y2-32a2-(3b)2a3b-mn(-m)2-n2a+bc(a+b)2-c2填充下列表格：（1） (a-b)(a+b)
（2） (-a+b)(-a-b)
（3） (a-b)(-a+b)
（4） (a+b)(-a-b)
（5） (3x+5y)(3x-5y)
（6） (m+n+p)(m+n-p)=a2-b2=a2-b2不能不能=9x2-25y2=(m+n)2-p2下列各式能否用平方差公式计算例1：利用平方差公式计算： ⑴ (3x+2y)(3x-2y) ⑵ (-7+2m2)(-7-2m2)(3) (x+1) (x-1) (x2+1)=(3x)2_ (2y)2
=9x2_4y2=(-7)2_ (2m2)2
=49_4m4=(x2_ 1) (x2+1)
=x4-1 简化了多项式的乘法运算例2 计算： 803 ×797= (800+3) ×(800-3)
= 8002-32
= 640000-9
= 639991
转变成
(a+b)(a-b)的形式！
速算有理数的乘法通过本节课的内容，你有哪些收获？?课堂小结（a+b)(a-b)=a2-b2一个公式公式中的a，b可表示
(1)单项式
(2)具体数
(3)多项式三个表示(1)简化某些多项式的乘法运算
(2)提供有理数乘法的速算方法两种作用1、运用平方差公式快速计算：（1）、(m+n)(-n+m) =
（2）、(-x-y) (x-y) =
（3）、(2a+b)(2a-b) =
（4）、(x2+y2)(x2-y2)=
（5）、 51 × 49 =
m2-n2y2-x24a2-b2x4-y42499达标检测：2、下列计算正确的是（ ）
A、(x+3)(x+2)=x2-6 B、(x-3)(x-3)=x2-9
C、(a2+b)(a2-b)=a2-b2 D、(4x-1)(-4x-1)=1-16x2
3、计算： 20052-2004×2006的值为_________
4、计算：
(1)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x+y)
(2)(2a-b)(2a+b)-(2b-3a)(3a+2b)
(3)x(x-3)-(x+7)(x-7)
(4)(2x-5)(x-2)+(3x-4)(3x+4)D1=5x2+4xy=13a2-5b2=49-3x=11x2-9x-612.1平方差公式教学设计
一、内容和内容解析
1、教学内容
本节课是义务教育课程标准实验教科书青岛出版社册第15章第1部分内容――乘法公式的第一课时，两数的和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差。（即平方差公式）。把某些具有特殊形式的多项式相乘的式子及其结果写成公式的形式，就是乘法公式。本节学习平方差公式。是本章的重点内容。
2、内容解析
从多项式乘法到乘法公式是一个一般到特殊的认识过程，从一些特殊形式的多项式乘法到乘法公式，又是特殊到一般的过程，对平方差公式的学习和研究，既为符合公式特征的整式乘法运算带来简便；又为后续学习利用公式法分解因式奠定基础；同时，平方差公式在“正与逆”两方面的灵活运用有助于学生数学能力的提高。为此，它在初中代数教学中占有重要地位。
二、目标和目标解析
1、目标
知识与技能目标：
（1）掌握平方差公式及其结构特征；
（2）理解公式中字母的广泛含义；
（2）会运用此公式进行运算。
过程与方法目标：
（1）学生经历由特殊到一般的过程，归纳出平方差公式，从中体会归纳的思想；
（2）通过变式练习，理解公式中字母的含义，领会代数思想，提高观察、分析和总结能力；
情感态度价值观目标：
通过自主学习、合作探究、展示交流等环节，积累成功的心理体验。
2、目标解析
平方差公式的结构，呈现出一种对称美，其特点还可以通过面积图得到解释。
公式中的字母既可以代表一个数或字母，又可以代表一个复杂的代数式。并且，这种代表（实际是一种代数思想），还要靠适当的变形才能看出来，变式练习在这方面，恰恰能发挥积极地作用，因此，设计合理的变式练习，就显得非常重要。于是，理解公式中字母的广泛含义，掌握平方差公式及其结构特征且会运用此公式进行计算是本节的教学重点。
在教学过程中，主要引导学生开展“独立探究与合作性学习有机结合”。坚持以“学生发展为本”，引导、学生鼓励学生对同一个问题积极寻求不同的思路、依靠他们自己的活动去探索数学，以便培养学生的实践能力和创新意识。
三、教学问题诊断
“平方差公式”的得出过程，是一个由特殊到一般的归纳过程，在这个过程中，学生对公式的理解和掌握往往停留在简单的数字和字母上，对公式的变形以及灵活应用会有困难或错误，所以在重视学生对过程归纳的同时也要重视用文字语言正确的表述以及对公式中字母广泛含义的理解。使学生能在理解的基础上加以记忆，在巩固的基础上灵活应用。例如：对于
（a+b+c）(a+b-c); (a+b-c)(a-b-c); (a+b+c)(a-b-c)的计算学生就往往难于领会到它的思想和方法。
一般情况，对于平方差公式几何意义的了解有部分学生也会感到困难。
揭示公式的特征和公式的灵活运用是本节的难点。
四、教学支持条件
学生有前面多项式乘法的基础知识，所以对于平方差公式的推导以及这个知识的发生过程比较清晰明确，为此可以在学生自己得出公式之后，层层递进。
对于平方差几何意义的了解以及问题的提出和学生各种解答可以借助于多媒体。
五、课堂教学模式
以小组为核心的任务型课堂教学模式
六、教学过程设计
第一次循环
（一）创设情境，明确任务
师：从前有一个狡猾的地主，他把一块长为x米的正方形的土地租给张老汉种植，有一天，他对张老汉说：“我把这块的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听觉得没有吃亏，就答应了，回到家中，他把这件事对邻居讲了，邻居一听，说：“张老汉你吃亏了！”，张老汉非常吃惊。同学们，你能告诉张老汉这是为什么吗？
任务1、计算下列各题,看谁做的又快又准确:
(1)(a+b)(a-b) (2)(x+y)(x-y)
(3)(2a+b)(2a-b) (4)(2m+3)(2m-3)
任务2、观察、分析其特征结构.
①等式左边的两个多项式有什么特点？
②等式右边的多项式有什么规律？
任务3、你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？
任务4、举两道例题说明什么情况下可用这一规律？怎样用？
（组内交叉完成）
（设计意图：让学生通过自己动手，发现把具有特殊形式的多项式相乘会有特殊的规律，同时培养他们实践、观察、猜想、归纳、再实践的能力。）
（二）自主学习，合作探究
（活动方式：学生学习，教师巡视。在活动中教师重点关注学生，能否正确的计算、分析，积极的思考讨论。对出现的问题让其展示出来，发动学生进行评价，以增强教学的有效性。）
（预设的情况：任务1和2会比较快的达成一致意见，任务3教师需要对一些小组加以引导和规范，并要一个组把其结果展示在中间黑板上。任务4教师若发现需要展示的可以用实物投影仪。）
（三）展示反馈，评价提升
（任务1和2可以让一个小组口头展示，正常情况可以达成共识，不需再讲解。）
（教师就学生展示在黑板上的任务3进行总结。）
师：我们把这个规律称之为“平方差公式”（教师板书课题同时要求学生读出其展示的内容）
生：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
师：能用字母表示吗？
生：(a+b)(a-b)=a2-b2（教师板书在课题下面）
师：在完成任务4的时候，哪个组内出现了形式不满足此公式的情况，请实物展示给大家以期借鉴。
（设计意图：通过从一般到特殊的认识过程，让学生自己实现知识的建构，通过归纳得到“平方差公式”，让学生体会数学思想方法在知识建构中的作用，同时让学生大胆猜想，增强学生的探究意识。）
第二次循环
（一）应用理解，明确任务（借助投影仪）
任务1、按要求填写下面的表格
算式
与平方差公式中a对应的项
与平方差公式中b对应的项
写成“a2-b2”的形式
计算结果
?(x+y)(x-y)
?
?
?
?
?(2x+1)(2x-1)
?
?
?
?
(2a-3b)(2a+3b)
?
?
?
?
任务2、计算：
1、（2x+y)(2x-y)=
2、(9x+5y)(9x-5y)=
任务3、思考:你能计算吗？
(1)（-4a-0.1）(-4a+0.1)
(2) (2x+y)(y-2x)
上面各式能不能用平方差公式进行计算？如果能的话，每一式可以看作是哪两式（或数）的和与差的积？
任务4、应用探究
给（a+b)乘上一个什么样的多项式能构成一个平方差公式的形式任务5、计算下列各题：（选做）
(1)1002×998 (转化思想)
(2) (x+y)(x-y)(x2+y2) (灵活运用)
(3) (a+b)2-(a-b)2 (逆向思维训练)
（设计意图：由于学生的能力有一个发展过程，理解公式的特征与字母的广泛含义以及对于公式的灵活应用这个难点的突破都需要由易到难逐步安排，不能操之过急。所以任务5的三种类型题的设置，只供学有余力的学生选做。）
（二）自主学习，合作探究
（活动方式：1到3组的C类学生把任务1完成在黑板上，2到6组的C类学生把任务2完成在黑板上，7到9组的B类学生把任务3完成在黑板上，10到12组的B类学生把任务4完成在黑板上，下面的学生在把4个任务完成之后要关注自己组上面展示的代表是否需要帮助，可以即时给以指正。同时四个任务都解决了或都思考过之后可以交流讨论，有能力的学生争取完成任务5。）
（操作意图：下要包底，上不封顶。）
（三）展示反馈，评价提升
（活动方式：竞争组的A类学生去评价对方已经展示在黑板上的内容，其他组可以补充，必要时教师要做出评判与提升。时间许可时可以让学生用实物投影展示任务5。）
七、目标检测设计
1、计算：
（1）(m+n)(n-m)=
（2）(-2y+3)(2y+3)=
2、判断正误：如果错误，应怎样改正？
( 1 ) (-a-b)(a-b)=-a2+b2 ( )
( 2 ) (-a+b)(-a-b)=-a2-b2 ( )
( 3 ) (2x+3)(2x-3)=2x2-9 ( )
( 4 ) (3x-1)(-3x-1)=9x2-1 ( )
3、根据平方差公式的特点，编4个能利用平方差公式计算的题目。
《12.1平方差公式》评测练习
1、 运用平方差公式计算：
(1)102×98； (2)(y+2)(y-2)(y2+4)．
2．运用平方差公式计算：
(1)103×97； (2)(x+3)(x-3)(x2+9)；
(3)59.8×60.2；
3、 填空：
(1)a2-4＝(a+2)( )；(2)25-x2＝(5-x)( )；
(3)m2-n2＝( )( )；
(4)x2-25＝( )( )；
(5)、4m2-49＝(2m-7)( )；
(6)、a4-m4＝(a2+m2)( )＝(a2+m2)( )( )；
4、计算：
(1)(a+b-3)(a+b+3)； (2)(m2+n-7)(m2-n-7)．
拓展延伸 迁移升华
1．运用平方差公式计算：
(1)(a2+b)(a2-b)；
(2)(-4m2+5n)(4m2+5n)；
(3)(x2-y2)(x2+y2)；(4)(9a2+7b2)(7b2-9a2)．
2．运用平方差公式计算：
