第十二章 二次根式单元培优训练
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：第12章 二次根式 ，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握运算法则是解本题的关键；直接合并同类二次根式即可．
【详解】解：
，
故选：C．
2．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得：，
故选B．
3．的值在哪两个整数之间（ ）
A．和0 B．和 C．和 D．和
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的减法运算，无理数的估算，准确熟练的进行计算是解答的关键．先利用二次根式的减法进行计算，再根据无理数的估值进行解答即可．
【详解】原式
故选：C ．
4．在，，，，，3.14，中，有理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了有理数，熟练掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键．根据整数和分数统称为有理数，即可解答．
【详解】解：，是无理数，不是有理数；
，，，3.14，是有理数，共5个，
故选：D．
5．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若点E，F分别为，的中点，连接，，，则四边形的周长为（ ）
A． B． C．40 D．24
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，中位线的性质．证明是菱形，可得是的中位线，根据勾股定理求得，根据菱形的性质求得周长．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴是菱形，
∴；
∵点分别为的中点，
∴是的中位线，，
∴，
由（1）可知，四边形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴菱形的周长．
故选：B．
6．下列各式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的性质与化简，根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式判断即可．
【详解】解：A．原式，能合并，故该选项符合题意；
B．原式，不能合并，故该选项不符合题意；
C． 是最简二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
D．是最简二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
故选：A．
7．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的运算．根据二次根式的加法和除法法则计算即可判断．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：D．
8．已知，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，根据绝对值的性质得，即，所以，，再根据二次根式的性质化简即可．掌握二次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键．也考查了完全平方公式的应用．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴
．
故选：A．
9．如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，根据二次根式的性质求出正方形的边长即可求解，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：由题意得，大正方形的边长，
小正方形的边长，
∴阴影部分的面积，
故选：C．
10．已知 ，则二次根式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的运算，先化简，再利用因式分解和完全平方公式把转化为，把化简后的值代入计算得到的值，即可求出的值，掌握二次根式的化简和完全平方公式的应用是解题的关键．
【详解】解：，
，
∴
，
，
，
，
，
∴，
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．当时，化简的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的化简，根据二次根式的意义化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
12．如果两个最简二次根式与能合并，那么 ．
【答案】4
【分析】本题考查了同类二次根式的知识，解题的关键是掌握最简同类二次根式的根指数相同且被开方数相同．
根据题意可得最简二次根式与可是同类二次根式，根据被开方数相同即可得出a的值．
【详解】解：由题意得，最简二次根式与是同类二次根式，
故可得：，
解得：．
故答案为：．
13．计算的结果为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了二次根式的运算，正确计算、掌握平方差公式是解题关键．根据平方差公式计算即可．
【详解】
．
故答案为：7．
14．请写出一个使式子有意义的m的值： ．
【答案】3（答案不唯一，且均可）
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式中的被开方数是非负数及分母不可为零是解题的关键．
根据二次根式非负性以及分母不为零即可得到结果，
【详解】由题意得，
解得：且，
故答案为：3（答案不唯一，且均可）．
15．计算： ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及二次根式化简的方法．先算除法，再化简二次根式即可．
【详解】解：，
，
，
；
故答案为：．
16．如图，在正方形中，点在边上，且，过点作交于点，在矩形内部作正方形，若矩形的面积为2，则正方形的面积为： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，二次根式的混合运算；设，根据可得正方形边长，进而由矩形的面积为2，得出，即可由正方形面积公式解题．
【详解】解：设，则，
∴，
∴在正方形中，，
∴，
∵矩形的面积为2，即：，
∴，
∴，
∴正方形的面积为，
故答案为：．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．下面是王倩同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：
……………………………第一步
………………………第二步
……………………………第三步
……………………………第四步
……………………………第五步
任务一：以上化简步骤中第一步化简的依据是 ．
任务二：第 步开始出现错误，该式运算后的正确结果是 ．
【答案】任务一：商的算术平方根，等于算术平方根的商或（，）；任务二：二；
【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握性质，灵活进行混合运算是解题的关键．
任务一：利用商的算术平方根，等于算术平方根的商判断即可；
任务二：根据二次根式的加减法法则、除法法则计算可得结论．
【详解】任务一：由，
∴依据是商的算术平方根，等于算术平方根的商；
任务二：从第二步开始出现错误；
．
18．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，绝对值，零指数幂，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则，
根据去绝对值，零指数幂，二次根式的运算法则计算即可
【详解】解：
19．如图，在中，，于点，，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了垂线的定义以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据垂线的定义得出，在中，根据勾股定理求出，再根据线段的和差求出，然后在中，利用勾股定理即可求出的值．
【详解】解：，
在中，
，
在中，．
20．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足 （不考虑风速的影响）．
(1)从高处抛下的物体落地所需的时间 ；从高处抛下的物体落地所需的时间
(2)是的多少倍？
(3)若从高空抛下的物体经过落地，则该物体下落的高度是多少？
【答案】(1)；
(2)是的倍
(3)下落的高度是
【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用：
（1）根据所给公式代值计算即可；
（2）根据（1）的计算结果求解即可；
（3）把代入公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，，
故答案为：；；
（2）解：，
∴是的倍；
（3）解：由题意得，，
解得，
∴下落的高度是．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．先化简，再求值：，其中
【答案】，
【分析】本题考查分式的混合运算，化简求值、分母有理化，掌握运算顺序是解题的关键，先因式分解，按照分式的加法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
22．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可；
（2）根据二次根式的乘法、分母有理化、化简绝对值的运算法则计算即可得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
23．如图，已知四边形为矩形，且B点坐标为，反比例函数的图象与矩形交于D点和E点，且，连接．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的应用，勾股定理的应用，化为最简二次根式，熟练的求解反比例函数的解析式是解本题的关键；
（1）由矩形的性质先求解，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）先求解D的坐标，求解，，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
∵B点坐标为，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵比例函数的图象与矩形交于D点和E点，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵比例函数的图象与矩形交于D点，
∴D点的纵坐标为4，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．【规律探究题】观察下列运算：
①由，得；
②由，得；
……
问题：
(1)______；______；
(2)利用（1）中发现的规律计算：
．
【答案】(1)；（n为正整数）
(2)2024
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
（1）根据已知算式得出规律即可；
（2）根据（1）中得出的规律进行变形，再根据二次根式的加法法则进行计算，最后根据平方差公式求出答案即可．
【详解】（1），
（n为正整数）
（2）原式
25．爱动脑筋的南南在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：来进一步化简．比如：，∴当，即时，原式＝；当，即时，原式＝．通过进一步思考，南南发现，像这样的二次根式，可以通过变形成这样的形式后，通过构造成完全平方式的结构即可化简为，就可以进行后续计算．
(1)仿照上面的例子，请你尝试化简．
(2)化简：=__________；=__________．
(3)解方程：．
【答案】(1)
(2)；
(3)或
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分类讨论和判断被开方式子的符号是关键．
（1）仿照上面的例子，即可化简；
（2）仿照上面的例子，即可判断出答案；
（3）先化简，再化简可得，分为当时，当时，当时，即可化简求值．
【详解】（1）解：，
∵，∴原式．
（2）解：
；
．
（3）解：
；
可化为，
即，
当时，可化为，解得：；
当时，可化为，无解；
当时，可化为，解得：；
综上，的解为或．第十二章 二次根式单元培优训练
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：第12章 二次根式 ，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．2
2．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．的值在哪两个整数之间（ ）
A．和0 B．和 C．和 D．和
4．在，，，，，3.14，中，有理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若点E，F分别为，的中点，连接，，，则四边形的周长为（ ）
A． B． C．40 D．24
6．下列各式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．3 D．4
10．已知 ，则二次根式的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．当时，化简的结果是 ．
12．如果两个最简二次根式与能合并，那么 ．
13．计算的结果为 ．
14．请写出一个使式子有意义的m的值： ．
15．计算： ．
16．如图，在正方形中，点在边上，且，过点作交于点，在矩形内部作正方形，若矩形的面积为2，则正方形的面积为： ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．下面是王倩同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：
……………………………第一步
………………………第二步
……………………………第三步
……………………………第四步
……………………………第五步
任务一：以上化简步骤中第一步化简的依据是 ．
任务二：第 步开始出现错误，该式运算后的正确结果是 ．
18．计算：．
19．如图，在中，，于点，，求的长．
20．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足 （不考虑风速的影响）．
(1)从高处抛下的物体落地所需的时间 ；从高处抛下的物体落地所需的时间
(2)是的多少倍？
(3)若从高空抛下的物体经过落地，则该物体下落的高度是多少？
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．先化简，再求值：，其中
22．计算：
(1)；
(2)．
23．如图，已知四边形为矩形，且B点坐标为，反比例函数的图象与矩形交于D点和E点，且，连接．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的长．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．【规律探究题】观察下列运算：
①由，得；
②由，得；
……
问题：
(1)______；______；
(2)利用（1）中发现的规律计算：
．
25．爱动脑筋的南南在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：来进一步化简．比如：，∴当，即时，原式＝；当，即时，原式＝．通过进一步思考，南南发现，像这样的二次根式，可以通过变形成这样的形式后，通过构造成完全平方式的结构即可化简为，就可以进行后续计算．
(1)仿照上面的例子，请你尝试化简．
(2)化简：=__________；=__________．
(3)解方程：．
