陕西省铜川市王益中学2024届高三下学期高考猜题信息卷（二）理科数学试题（含解析）

2024年普通高等学校招生全国统一考试猜题信息卷（二）
理科数学
注意事项：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列的前n项和为，且，则的值为（ ）
A．24 B．21 C．16 D．14
4．某圆台的下底面周长是上底面周长的4倍，母线长为10，该圆台的侧面积为100π，则该圆台的体积为（ ）
A．184π B．208π C．224π D．248π
5．在中，点D为线段BC的中点，点E满足，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．执行如图所示的程序框图，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，设甲：函数在区间上单调递增，乙：ω的取值范围是，则则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知正方形ABCD的顶点均在表面积为4π的球O的球面上，则当四棱锥的体积取得最大值时，点O到平面ABCD的距离为（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F ，F ，点P是C的右支上的一点，C在点P处的切线与C的渐近线交于M，N两点，O为坐标原点，给出下列四个结论：
①直线的斜率的取值范围是；
②点P到C的两条渐近线的距离之积为；
③；
④．
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知函数，若对任意的恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知某品牌的新能源汽车的使用时间x（年）与维护费用y（千元）之间有如下数据：
使用时间x（年） 2 4 6 8 10
维护费用y（千元） 2.4 3.2 4.4 6.8 7.6
若x与y之间具有线性相关关系，且y关于x的线性回归方程为据此估计，该品牌的新能源汽车的使用时间为12年时，维护费用约为______千元．
14．若实数x，y满足约束条件则的最大值为______．
15．已知，抛物线的焦点为F，准线为l，点A是直线l与x轴的交点，过抛物线上一点P作直线l的垂线，垂足为Q，直线PF与MQ相交于点N，若，则的面积为______．
16．已知非负实数m，n满足，则的最大值为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）若，点D是线段BC上的一点，，，求的值．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，点M是棱PC的中点．
（1）求证：平面PAD；
（2）求平面PAB与平面BMD所成锐二面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
2024年诞生的首个网红城市，非哈尔滨莫属．从“尔滨”“滨子”“南方小土豆”“广西砂糖橘”这些双方间亲密、趣味的称呼和各方的好评可以看出，哈尔滨在这个冰雪季推出的活动很受欢迎和认可．统计数据显示，今年元旦假期，拥有900多万常住人口的哈尔滨累计接待游客超过300万人次，实现旅游总收入59亿元，双双达到历史峰值．为了能够让游客感到宾至如归的服务，某校号召学生利用周末从事志愿活动，高三（2）班某学习小组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、旅游宣传员、文明监督员三项可供选择．每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为．
每人每参加1项活动可获得综合评价5分，选择参加几项活动彼此互不影响．
（1）在有女生参加活动的条件下，求恰有一名女生参加活动的概率；
（2）记随机变量X为随机选取的两人得分之和，求X的分布列和数学期望．
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C：的右顶点为，离心率为，过点的直线l与C交于M，N两点．
（1）若C的上顶点为B，直线BM，BN的斜率分别为，，求的值；
（2）过点M且垂直于x轴的直线交直线AN于点Q，证明：线段MQ的中点在定直线上．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是．
（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；
（2）若点M的直角坐标为，过C上任意一点P作直线交l于点A（不同于点M），使得，求的最大值和最小值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为m，且，求证：．
理科数学（二）参考答案
1．B 由题意知，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第二象限，故选B．
2．A 由题意知，，所以，所以．故选A．
3．B 解析：略
4．C 设圆台的上底面的半径为r，下底面的半径为R，则，故，因为该圆台的侧面积为100π，母线长，所以，解得，则，所以圆台上底面的面积为下底面的面积为，圆台的高，所以该圆台的体积．故选C．
5．D 因为点D为线段BC的中点，点E满足，所以消去，得，所以．所以，．所以，故选D．
6．C第一次循环，条件满足，，；第二次循环，条件满足，；第三次循环，条件满足，，；第四次循环，条件满足，，，条件不满足，跳出循环体，输出S的值为，故判断框中填写的内容可以是．故选C．
7．B 甲：在区间上单调递增，当时，则，所以，，解得，，又，故k只能取0，所以，又乙：ω的取值范围是，所以甲是乙的必要不充分条件．故选B．
8．C 解析略
9．A 设点，则，，所以，
所以P的轨迹方程为，圆心为，半径为3．由此可知圆与有公共点，又圆的圆心为，半径为2，所以，解得，即a的取值范围是．故选A．
10．A设正方形ABCD的中心为E，连接OE，由球的性质可知平面ABCD．设球O的半径为R，所以，解得．设正方形ABCD的边长为x，因为正方形ABCD的顶点均在表面积为4π的球O的球面上，且不在大圆上，所以，所以，所以四棱锥的体积为．令，则，令，则，令，解得，，所以当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以当时，有最大值，所以，当且仅当时等号成立，此时，即点O到平面ABCD的距离为．故选A．
11．C 由题意知，，设，又点P在C上，所以，所以，所以直线的斜率，所以，令，，所以以，所以，即直线的斜率的取值范围是，故①正确；C的渐近线方程为，所以点P到C的两条渐近线的距离之积为，故②错误；，故③正确；当时，显然在点P处的切线的斜率存在，设在点P处的切线方程为，由得，所以，得，解得，所以在点P处的切线方程为，即．当时，在点P处的切线方程为，所以在点P处的切线方程为．由解得，由解得，又，所以点P是线段MN的中点，所以，故④正确．故选C．
12．D 解析略
13．9.08 由题意可得，，由于回归直线过样本的中心点，所以，解得．所以回归直线方程为．当时，，所以当该品牌的新能源汽车的使用时间为12年时，维护费用约为9.08千元．
14．-1 实数x，y满足约束条件表示的可行域如图阴影部分所示．当直线经过点A时，z取得最大值．由解得，，即，所以，即的最大值为-1．
15． 如图，由，得，又因为为，的中点，所以，即N为PF的三等分点，且，又因为，|所以，且，所以．不妨设，且在第一象限，，，解得，因为点在抛物线上，所以，所以的面积．
16． 由，得，令，，又m，n为非负实数，所以，，又，所以，即，所以，解得，所以．所以，其中，，当，即，所以，即，又在上单调递减，所以当时，取得最小值，故当，时，取得最大值，最大值为．
17．解：（1）因为．
由正弦定理得．
所以，……3分
由正弦定理得，…4分
又，，则或（舍去）．……5分
（2）因为，所以．
所以，设，
由，，所以，则，，．7分
在中，由余弦定理得，8分
设AC的中点为E，连接DE，如图所示，则，
在中．，9分
所，10分
解得或（舍去），所以，12分
18．（1）证明：取PD的中点E，连接ME，AE，如图所示．
因为E是PD的中点，M是PC的中点，所以，，又，，所以，，所以四边形ABME是平行四边形，所以，…2分
又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．5分
（2）解：因为平面ABCD，DA，平面ABCD，所以，，又，，所以．以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则D（0，0，0），P（0，0，2），A（1，0，0），B（1，1，0），
，所以．
设平面BDM的一个法向量，又，，所以
令，解得，，
所以平面BMD的一个法向量．7分
设平面PAB的一个法向量，又，，所以
令，解得，，所以平面PAB的一个法向量，…9分
设平面PAB与平面BMD所成锐二面角的大小为θ，
所以．
即平面PAB与平面BMD所成锐二面角的余弦值为．……12分
19． 解析略
20．（1）解：由题意知，…1分
当时，，所以在上单调递减；……3分
当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增．…5分
（2）证明：由（1）得，7分
要证，即证，即证．8分
令，则，9分
令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，…10分
所以，则恒成立，
所以当时，．12分
21．（1）解：由题意知2分
解得，，，2分
所以C的方程为．3分
显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，，，
由得，
所以，．5分
易得，所以，，
所以
．7分
（2）证明：设线段MQ的中点为，又，所以，，即，又A，N，Q三点共线，所以，即，所以，又，所以，10分
所以，即线段MQ的中点在定直线上．12分
22．解：（1）由C的参数方程是C：（t为参数），得，
即C的普通方程是．…3分
将，代入l的极坐标方程，得，
即l的直角坐标方程是．…5分
（2）在C上任意取一点到l的距离，…7分
则，其中为锐角且．8分
当时，取得最大值，最大值为；9分
当时，取得最小值，最小值为．10分
23．（1）解：当时，，
解得，所以；1分
当时，，所以；2分
当时，，解得，所以．3分
综上，不等式的解集为．4分
（2）证明：，当且仅当，即时等号成立，所以，即．6分
所以，又，，
所以
．9分
当且仅当，即时等号成立，所以原不等式成立．10分