湖南省2024年普通高中学业水平合格性考试数学考前押题卷（一）（含解析）

湖南省2024年普通高中学业水平合格性考试考前押题卷（一）
数学
时量：90分钟，满分：100分
注意事项：
1.答题前，请考生先将自己的姓名 准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名 准考证号 考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸 试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保证字体工整 笔迹清晰 卡面清洁.
一 单选题：本大题共18小题，每小题3分，共54分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知，则（ ）
A.1 B. C. D.
4.下列数中最大的是（ ）
A. B. C. D.
5.函数的零点为（ ）
A.2 B.1 C.0 D.-2
6.已知，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.口袋中有100个大小相同的红球 白球 黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为（ ）
A.0.32 B.0.45 C.0.67 D.0.77
8.已知复数，则复数（ ）
A. B.
C. D.
9.已知，则（ ）
A. B.-3 C. D.3
10.已知函数的图象如图所示，则它的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
11.不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
12.如图，在平行四边形中，，则可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
13.下列结论中正确的是（ ）
A.三点确定一个平面
B.平行于同一平面的两条直线平行
C.垂直于同一直线的两条直线平行
D.垂直于同一平面的两条直线平行
14.如图，圆柱的底面半径是2，高是3，则这个圆柱的体积是（ ）
A. B. C. D.
15.某学校数学 物理 化学老师的人数分别为，现采用分层随机抽样的方法，从中抽取7人，进行睡眠时间的调查，应从数学教师中抽取人数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
16.已知向量，且，则的值是（ ）
A.-3 B. C.3 D.
17.如图，正方体中，分别是的中点，则下列结论正解的是（ ）
A. B.
C.与相交 D.与相交
18.为了得到函数的图象，只需将余弦曲线上所有的点（ ）
A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度
二 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
19.棱长为2的正方体的内切球的直径为__________.
20.已知幂函数的图象经过点，则__________.
21.已知向量和的夹角为，则__________.
22.根据某地不同身高的未成年男性的体重平均值，建立了能够近似地反映该地未成年男性平均体重（单位：）与身高（单位：）的函数关系：，如果体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地一名身高为，体重为的未成年男性的体重状况为__________.（填“偏胖”或“正常”或“偏瘦”，参考数据：）
三 解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
23.如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点.
（1）若，求四棱锥的体积；
（2）求证：平面.
24.2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长（单位：），随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值；
（2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.
25.若二次函数的图象的对称轴为直线，最小值为-1，且.
（1）求的解析式；
（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
湖南省2024年普通高中学业水平合格性考试考前押题卷（一）
数学答案解析
1.B 【解析】根据交集运算直接求解.
因为，
所以.故选：B.
2.A 【解析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可.
命题“”为全称量词命题，
其否定为：.故选：A.
3.C 【解析】直接将2代入函数的解析即可求得函数值.
因为，
所以，故选：C.
4.D 【解析】根据对数函数单调性分析判断.
在定义域内单调递增，且，
.故选：D.
5.D 【解析】令，求出方程的解，即可得到函数的零点.
解：令，即，解得，
所以函数的零点为-2；故选：D.
6.A 【解析】将相互推导，根据能否推导的情况判断出充分 必要条件.
由，可得出，故，
由，得不出，
所以是的充分而不必要条件，故选：A.
7.A 【解析】首先求出袋子中白球的数量，从而得到黑球的数量，即可得解.
口袋中有100个大小相同的红球 白球 黑球，其中红球45个，
从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，
口袋中有个黑球，
摸出黑球的概率.故选：A.
8.C 【解析】根据共轭复数的定义得出结果.
根据共轭复数的定义，时，.故选：C.
9.D 【解析】根据给定条件，利用商数关系直接计算作答.
因为，所以.故选：D.
10.A 【解析】利用给定图象直接写出单调递减区间作答.
观察图象知，函数在上的图象从左到右是下降的，
在上的图象从左到右是上升的，
所以函数的单调递减间是.故选：A.
11.C 【解析】由一元二次不等式的解法求解即可.不等式所对应的方程为：，
方程的根为：或，
所以不等式的解集为：.故选：C.
12.B 【解析】根据向量加法的平行四边形法则判断即可.
在平行四边形中.故选：B.
13.D 【解析】利用平面基本事实判断；举例说明判断；利用线面垂直的性质判断作答.
因经过不共线的三点确定一个平面，当三点共线时不能确定平面，错误；
三棱柱同一底面的两条边所在直线都平行于另一底面，而这两边所在直线相交，错误；
直三棱柱同一底面的两边所在直线都垂直于侧棱所在直线，而这两边所在直线相交，C错误；
由线面垂直的性质知，垂直于同一平面的两条直线平行，D正确.故选：D.
14.D 【解析】直接根据圆柱的体积公式进行计算.由圆柱的体积公式可得，该圆柱的体积为：.故选：D.
15.B 【解析】根据分层抽样的知识求得正确答案.依题意，应从数学教师中抽取人数为人.故选：B.
16.C 【解析】根据向量垂直列方程，从而求得的值.
由于，所以，.故选：C.
17.B 【解析】直接由及即可求解.
由分别是的中点可得，
又易得，则.故选：.
18.B 【解析】根据余弦函数平移规律直接判断.
将图象所有的点向右平移个单位长度，得到图象，
即为了得到函数的图象，
只需将余弦曲线上所有的点向右平行移动个单位长度.故选：B.
19.2 【解析】根据正方体的几何性质可得结果.
棱长为2的正方体的内切球的直径为2.
故答案为：2.
20.2 【解析】将点的坐标代入函数解析式计算即可.
由题意知，点在图象上，
所以，所以.
故答案为：2
21.0 【解析】利用平面向量数量积的定义可求得.的值.
由平面向量数量积的定义可得.
故答案为：0.
22.偏胖 【解析】根据题意得到身高为的未成年男性平均体重，然后得到平均体重的1.2倍，最后比较大小即可.
由题意得身高为的末成年男性平均体重为，而，所以该男性体重偏胖.故答案为：偏胖.
23.（1）
（2）证明详见解析
【解析】（1）根据锥体的体积公式，即可求出结果
（2）根据线面垂直的判定定理，即可证明面，又由中位线定理，可得，进而证明出结果.
（1）解：在底面是矩形的四棱锥中，底面，；
（2）证明：四边形为矩形，
，
底面面，
，
又面，
又分别是的中点，
，
平面.
24.（1）（2）
【解析】（1）根据直方图，频率最大的区间中点横坐标为众数即可求众数；（2）由学习的周均时长不少于的区间有，它们的频率之和，即为该校学生学习的周均时长不少于的概率.
（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，
由频率最大区间为，则众数为25；
（2）由图知：不少于的区间有 ，
该校学生学习的周均时长不少于的概率.
【点睛】本题考查了根据直方图求众数 概率，应用了众数的概念 频率法求概率，属于简单题.
25.（1）
（2）
【解析】（1）根据已知条件列方程组来求得，，也即求得.
（2）由分离常数，进而求得的取值范围.
（1）由为二次函数，可设
图象的对称轴为直线，最小值为-1，且，
.
（2），即在上恒成立，
又当时，有最小值，
实数的取值范围为.