湖南省2024年普通高中学业水平合格性考试数学考前押题卷（四）（含解析）

湖南省2024年普通高中学业水平合格性考试考前押题卷（四）
数学
时量：90分钟，满分：100分
本试题卷包括选择题 填空题和解答题三部分，共4页.
注意事项：
1.答题前，请考生先将自已的姓名 准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名 准考证号 考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸 试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保证字体工整 笔迹清晰 卡面清洁.
一 单选题：本大题共18小题，每小题3分，共54分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“，有”的否定是（ ）
A.，使得 B.，有
C.，使得 D.，有
3.复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A. B.
C. D.
4.下列几何体表示圆锥的是（ ）
A. B.
C. D.
5.下列命题为假命题的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
6.已知，则是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
7.函数在上的图象如图所示，则此函数的最小值 最大值分别是（ ）
A. B. C. D.
8.把化成弧度为（ ）
A. B. C. D.
9.设，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数，那么（ ）
A.20 B.2 C.3 D.1
11.若是向量，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向上平移个单位长度 D.向下平移个单位长度
13.如图，点为正六边形的中心，下列向量中，与相等的是（ ）
A. B. C. D.
14.已知，则的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
15.在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
16.下列函数中，在上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
17.从某校抽取100名学生进行一周课外阅读时间调查，发现他们的一周课外阅读时间都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.则在被调查的学生中，课外阅读时间落在区间内的人数为（ ）
A.6 B.8 C.12 D.25
18.在中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
二 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
19.函数的最大值是__________.
20.设，向量，若，则__________.
21.某校高三年级有男生240名，女生300名，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该年级全体学生中抽出一个容量为27的样本，则应抽取的男生人数为__________.
22.已知分别是三个内角的对边，且，则__________.
三 解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
23.已知向量.
（1）求的坐标；
（2）求的值.
24.某工厂的三个不同车间生产同一产品的数量（单位：件）如下表所示.质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取6件样品进行检测：
车间
数量 50 150 100
（1）求这6件样品中来自各车间产品的数量；
（2）若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测，求这2件产品来自相同车间的概率.
25.如图，在长方体中，底面是正方形.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
湖南省2024年普通高中学业水平合格性考试考前押题卷（四）
数学答案解析
1.A 【解析】由交集运算求解即可.由集合，
集合，得.故选：A.
2.C 【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
解：因为命题“，有”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题即“，使得".故选：C.
3.D 【解析】根据共轭复数的定义直接得出结果.
根据共轭复数的定义，的共轭复数是4i.故选：D.
4.C 【解析】根据圆锥的形状判断即可.
图表示圆柱，图表示球，图表示圆锥，图表示四棱柱.故选：C.
5.D 【解析】利用不等式的性质逐项判断作答.
对于，若，则A是真命题；对于B，若，则是真命题；对于C，若，则，C是真命题；对于D，取，满足，而，D是假命题.故选：D.
6.A 【解析】由三角函数的定义即可得出答案.
由三角函数的定义可知，为第一象限角.故选：A.
7.C 【解析】根据图象观察即可.
根据图象观察知，，，故选：C.
8.C 【解析】利用角度与弧度的互化可得结果.
.故选：C.
9.B 【解析】根据指数和对数函数单调性，结合临界值0，1即可判断出大小关系.
.故选：B.
10.B 【解析】代入解析式计算.，故选：B.
11.A 【解析】根据充分条件和必要条件的定义以及向量的定义进行判断即可.
两个向量相等指的是大小相等且方向相同，所以是的充分不必要条件.故选：A.
12.A 【解析】根据图象变换：左加右减，判断出正确选项.
由变换成，根据“左加右减”可知，应向左平移个单位长度.故选A.
13.A 【解析】根据相等向量的定义即可得答案.
解：因为相等向量是指长度相等且方向相同的向量，为正六边形的中心，所以与模相等求且方向相同，所以是相等向量，故A正确；与只是模相等的向量，故B错误；与只是模相等的向量，故C错误；与只是模相等的向量，故D错误.故选：A.
14.C 【解析】根据题意，利用基本不等式，即可求解.
因为，所以，当且仅当时，
即时，等号成立，所以的最小值为2.故选：C.
15.C 【解析】把平移到，连接构成等边三角形，异面直线与所成角即为.
连接，如下图：
在正方体中，且四边形为平行四边形，则
又在正方体中，为等边三角形，就是异面直线与所成角，异面直线与所成角的大小为.故选：C.
16.B 【解析】A选项，画出函数图象，得到A正确；B选项，根据函数解析式直接得到函数单调性；
C，D选项，在处无意义，C，D错误.
A选项，的图象如下：
故在上单调递增，A错误；B选项，在上单调递减，B正确；C选项，定义域为，在处无意义，错误；选项，定义域为，在处无意义，D错误.故选：B.
17.C 【解析】根据频率分布直方图，利用频率 频数与样本容量的关系进行解答即可.
由题知，课外阅读时间落在区间内的频率为，则课外阅读时间落在区间内的人数为.故选：C.
18.D 【解析】利用正弦定理，代入数据计算即可得答案.
在中有，故选：D.
19.3 【解析】根据正弦函数的图象与性质，得到，即可求解.
由正弦函数的图象与性质，可得，所以函数的最大值为3.故答案为.
20. 【解析】由两向量平行的充要条件结合坐标运算即可得解.
设，则.所以由题意可得，即，解得.故答案为：.
21.12 【解析】根据分层抽样计算规则计算可得.
依题意男生应抽取人.
故答案为：12
22. 【解析】利用余弦定理可求得的值.
因为，由余弦定理可得.故答案为：.
23.（1）
（2）
【解析】（1）利用平面向量线性运算的坐标表示可求得向量的坐标；
（2）利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.
（1）解：因为向量，则.
（2）解：因为向量，则
.
24.（1）这6件样品中来自各车间产品的数量分别为（2）
【解析】（1）求出三个不同车间生产同一产品的数量之比，从而求出这6件样品中来自各车间产品的数量；
（2）利用列举法求出古典概型的概率.
（1）因为三个不同车间生产同一产品的数量之比为，
故这6件样品中来自车间的产品数量为，来自车间产品的数量为，
来自车间产品的数量为，
故这6件样品中来自各车间产品的数量分别为.
（2）来自车间的产品设为，来自车间的产品设为，来自车间产品设为，在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测，有以下情况：
，
，共15种情况，
其中这2件产品来自相同车间的情况有，共4种情况，
故这2件产品来自相同车间的概率为.
25.（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】（1）根据长方体的性质得到四边形为平行四边形，则，即可得证；
（2）依题意可得，再由线面垂直的性质得到，即可得证.
（1）在长方体中，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，所以平面.
（2）因为底面是正方形，所以，又，所以，
又平面平面，所以，
又平面，所以平面.