柳州市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试
数学
一、单选题：本题共8小翘，母小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在的展开式中，含项的系数为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】利用二项式定理计算即可.
【详解】易知的展开式中含项为，即含项的系数为6.
故选：B
2. 已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的性质得出，求出值，即可得到抛物线的准线方程.
【详解】由题可得，解得：，所以抛物线的准线方程为
故选：A
3. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正态分布曲线的对称性计算即可.
【详解】由题意可知该正态分布的对称轴为，
所以.
故选：C
4. 小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式求解.
【详解】小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是,
故选：A
5. 某中学运动会期间，甲、乙、丙、丁、戊、戌六名志愿者站成一排拍照留念，其中甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排列方式共有（ ）
A. 180种 B. 190种 C. 192种 D. 240种
【答案】C
【解析】
【分析】六个位置先排甲，考虑左右两端再排乙，之后再排丙，余下全排列计算即可.
【详解】若甲位于两端时，乙与之相邻只有一个位置可选，丙与甲不相邻有余下四个位置可选，
故有种方法；
若甲不位于两端时，乙与之相邻有两个位置可选，丙与甲不相邻有三个位置可选，
故有种方法；
综上不同的排列方式有192种.
故选：C
6. 2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕．某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E，F共6名成员组成，现从这6名成员中随机抽选3名参加学校决赛，在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出事件，利用条件概率求解公式计算.
【详解】记事件A：学生A被抽到，事件B：学生B被抽到，
所以，，
所以．
故选：B.
7. 已知单调递增的等差数列满足，且是和的等比中项，令，则数列的前100项和（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用等比中项的性质结合等差数列通项公式列式求出公差，得到等差数列的通项公式，从而得到，利用裂项相消即可求得.
【详解】在单调递增的等差数列中，设公差，
因为，且是和的等比中项，所以，
即，解得或(舍去)，
所以等差数列的通项公式为：，
则，
所以，
故选：D
8. 高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个．高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如．若函数有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据高斯函数的定义分区间讨论结合对数函数的图象判定即可.
【详解】易知函数零点即的交点，
对于函数，
显然，所以要符合题意需，如下图所示，
四个交点应在区间，即.
故选：D
【点睛】思路点睛：对于高斯函数相关的函数可以分区间讨论其函数形式，然后利用方程转化为两函数交点问题，数形结合计算即可.
二、多选题：本题共3小题，每小顺6分，进18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若复数z满足，则下列命题正确的有（ ）
A. z的虚部是 B.
C. D. 复数z在复平面内对应的点位于第三象限
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用复数的四则运算求出，利用复数有关定义依次判断选项.
【详解】由，得，
所以的虚部是，故A正确；，故B正确；
则，故C正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为在第四象限，故D错误；
故选：ABC
10. 下列结论正确是（ ）
A. 若，则
B. 直线：与，则“”是“”的充分不必要条件
C. 直线被圆截得的最短弦长为
D. 若函数在上单调递减，则
【答案】CD
【解析】
【分析】A选项可用负数进行排除；B选项结合两直线平行关系求出a的值，注意验证重合的情况即可得答案；C选项只需确定直线过定点且弦与定点与圆心的连线垂直时，弦长最短即可得到答案；D选项先求，再结合正弦函数的单调区间构成不等式组，求解不等式组可得答案.
【详解】对于A，当时，无意义，故A错误；
对于B，因为，，
当时，有，解得或，
经检验当时，，
当时，，是重合的，故舍去，
因此“”是“”的充要条件，故B错误；
对于C，由题意知的圆心为，半径为5，
直线可转化为，
恒过定点，当弦与定点与圆心的连线垂直时，弦长最短，
如下图：
故最短弦长为，故C正确；
对于D，当时，，
又函数在上单调递减，
故，则，
对k赋值，结合可得，故D正确，
故选：CD.
11. 已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ）
A. 在上为增函数 B. 是的极小值点
C. 当时，不等式恒成立 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合题意求出函数的单调区间以及函数的极值，从而判断结论即可.
【详解】由，可得，
当时，由，得，即，故函数在上为增函数，A正确；
当时，由，得，即，故函数在上单调递减，故是函数的极小值点，则B正确；
由于函数在上单调递减，则在上单调递减，由于，所以当时，，即不等式恒成立，故C错误；
由于函数在上单调递增，所以，即，则，故D正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12 设向量，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量垂直的坐标表示计算可得m，再利用模长公式计算即可.
【详解】由题意可知，所以.
故答案为：
13. 已知，则_________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用赋值法计算即可.
【详解】令，
令，所以.
故答案为：1
14. 如图，在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则此四面体的外接球表面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知结合二面角及三棱锥的性质先定出球心的位置，然后结合球的性质求出球的半径，进而求得答案.
【详解】过球心分别作平面、平面的垂线，垂足分别为，，则，分别为与的外心，
取的中点，连接，，因为与均是边长为的等边三角形
所以为二面角的平面角，即，
在中，，，
所以，在中，，
故外接球的半径，所以外接球的表面积为
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）证明：为等腰三角形．
（2）若D是边BC的中点，，求的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理的推论进行计算可得，证明等腰三角形；（2）利用余弦定理推论求得三角形的各个边长，再计算三角形的面积；
【小问1详解】
证明：因为由正弦定理得
因为，由余弦定理得，
代入化简可得
所以为等腰三角形。
【小问2详解】
由题可知因为D是边BC的中点，，
在和中，利用余弦定理的推论得
代入，可得
由得
则的面积
16. 第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”．
（1）求a的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从分数在，内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
【答案】（1），，
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图的特征、百分位数、平均数的计算公式计算即可；
（2）根据分层抽样的法则先确定两组抽取到的人数，再由离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可.
【小问1详解】
由频率分布直方图知，
设第70百分位数为x，前两组所占频率为，
前三组所占频率为，则x位于第三组数据中，
所以，
平均数
；
【小问2详解】
由（1）知分数在，内的两组学生分别有
人，
所以各自抽取的人数分别为人，
显然“特优选手”有4人，
故X可取，，
，
所以其分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
.
17. 如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，M，N分别为，AD的中点．
（1）证明：平面BDM．
（2）求平面BDM与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，以D为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证明平面，从而得证.
（2）利用向量法求解即可.
【小问1详解】
连接，由四边形是菱形，，
∴是等边三角形，又E是的中点，则，故，
在直四棱柱中，平面，
而平面，平面，
所以，
所以两两互相垂直，
以D为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，则，
所以，令，则，即，
而，
又平面，
∴平面．
【小问2详解】
由（1）知平面的一个法向量 ，
结合图形可知平面的一个法向量可以为，
设平面与平面所成角为，
则
∴平面与平面所成角的余弦值为．
18. 若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“k类函数”．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）若为上的“3类函数”，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）增区间为，减区间为
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）结合（1）的结论，由导数的正负即可判断函数的单调区间；
（3）根据题意分析可知，均恒成立，根据函数单调性结合导数可知在内恒成立，利用参变分类结合恒成立问题分析求解.
【小问1详解】
因为，所以，，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
【小问2详解】
由（1）知，且，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
综上：的增区间为，减区间为.
【小问3详解】
由题意得
因为为上的“3类函数”，
对于任意不同的，不妨设，
则恒成立，
可得，
即，均恒成立，
构建，，则，
由可知在内单调递增，
可知在内恒成立，即在内恒成立；
同理可得：在内恒成立；
即在内恒成立，
又因为，即，
整理得，可得，
即在内恒成立，
令，
因为在内单调递增，则在内单调递增，
当，；当，，则，
可得在内恒成立，
构建，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
构建，则在内恒成立，
可知在内单调递减，则；
可得，所以实数a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为4，离心率为，点C在椭圆E上且异于两点，分别为直线上的点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求的值；
（3）设直线与椭圆E的另一个交点为D，证明：直线过定点．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的定义与性质计算即可；
（2）设点C坐标，表示直线方程，并，结合点在椭圆上消元计算即可；
（3）利用点C坐标表示M，表示直线方程，利用韦达定理再表示D坐标，分类讨论直线斜率是否存在，化简计算即可.
【小问1详解】
因椭圆长轴长为4，离心率为，所以，
则椭圆方程为；
【小问2详解】
易知，设，
则，所以，
又C在椭圆上，即，
故；
【小问3详解】
由上知，则，
与椭圆方程联立，
由韦达定理知，，
①若直线斜率不存在，
即
，
即，
解之得，过定点；
②若直线斜率存在，
则，
整理得，
过定点
综上所述恒过定点.
【点睛】思路点睛：第三问利用点C坐标表示M，表示直线方程，利用韦达定理再表示D坐标，分类讨论直线斜率是否存在，化简计算即可.柳州市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试
数学
一、单选题：本题共8小翘，母小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在的展开式中，含项的系数为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 24
2. 已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 某中学运动会期间，甲、乙、丙、丁、戊、戌六名志愿者站成一排拍照留念，其中甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排列方式共有（ ）
A. 180种 B. 190种 C. 192种 D. 240种
6. 2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕．某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E，F共6名成员组成，现从这6名成员中随机抽选3名参加学校决赛，在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知单调递增等差数列满足，且是和的等比中项，令，则数列的前100项和（ ）
A. B. C. D.
8. 高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个．高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如．若函数有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小顺6分，进18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若复数z满足，则下列命题正确的有（ ）
A. z的虚部是 B.
C. D. 复数z在复平面内对应点位于第三象限
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 直线：与，则“”是“”的充分不必要条件
C. 直线被圆截得的最短弦长为
D. 若函数在上单调递减，则
11. 已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ）
A. 在上为增函数 B. 是的极小值点
C. 当时，不等式恒成立 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设向量，若，则________．
13 已知，则_________．
14. 如图，在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则此四面体的外接球表面积为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）证明：等腰三角形．
（2）若D是边BC的中点，，求的面积．
16. 第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”．
（1）求a的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样方式从分数在，内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
17. 如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，M，N分别为，AD的中点．
（1）证明：平面BDM．
（2）求平面BDM与平面夹角的余弦值．
18. 若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“k类函数”．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）若为上的“3类函数”，求实数a的取值范围．
19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为4，离心率为，点C在椭圆E上且异于两点，分别为直线上的点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求的值；
（3）设直线与椭圆E的另一个交点为D，证明：直线过定点．
