2024届高三数学冲刺训练卷（一）参考答案
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1．C【详解】因为，
，因此，．故选：C．
2．A【详解】因为幂函数在上是增函数，
所以，解得.故选：A
3、D【详解】对于选项A，个数据从小到大排列，所以下四分位数即第25百分位数，，所以应该是第二个与第三个的平均数，故A不正确；
对于选项B， 因为，则，则，故B不正确；
对于选项C， 随机变量满足，则，故C不正确；
对于选项D，若，则，独立，，独立，，
故D正确.故选：D．
4. B【详解】 由可得，，，
，，
，即则使成立的最大正整数的值为18.故选：B．
5. B【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆，设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底的分别切于点，，
设球的半径为，圆台上下底面的半径为，.注意到与均为角平分线，因此，
从而，故.设台体体积为，球体体积为，则
.
故选：B
6．C【详解】依次一个一个地往外取球（不放回）的试验，基本事件总数是，它们等可能，
对于A，表示第1次、第2次取出的球都是黑球，，A正确；
对于B， ，，B正确；
对于C，，所以，C错误.
对于D，，D正确，故选：C
7．D【详解】因为为锐角，所以，，
又，所以，
而，所以，，因此.故选：D．
8．D【详解】 ，令，
则，则在上单调递增，
由，为奇函数，得，则，
，
所以所以，不等式的解集为，故选
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9. 【答案】AD
【详解】对于A，设对应的向量分别为，则由向量三角不等式得，
所以恒成立，故 A正确；
对于B，取，但，故B错误；
对于C，当时，，而，故C错误；
对于D， ，故D正确；
故选 AD.
10.【答案】ABD
【详解】对于A，由及，得，所以，A正确．
对于B，由及，得，所以．同理可得．
又，所以，所以，B正确．
对于C，由及，得，所以，得，
所以，得，C错误．
对于D，由，得，所以．
因为，，所以，所以，D正确．
故选：ABD．
11．【答案】ABD
对于A，若，显然平面PAC截正方体所得截面为，所以，截面面积为，所以A正确；
对于B，因为，若与AB所成的角为，则N点在以为旋转轴的圆锥（无底）的表面上，而，所以则N点的轨迹为双曲线，所以B正确；
对于C，若，则P在以A、C为焦点的椭球上且
，，所以，又因为点P为四边形内，该椭球被平面截得的在四边形内的部分为半圆，且半径为，所以点的轨迹长度为，所以C错误，
对于D，，且为正三角形，若正方体绕旋转后与其自身重合，只需要旋转后能和自身重合即可，所以D正确。故答案为ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．【答案】
【详解】在上的投影为，，则，即
又，平方得，则
即．故答案为：．
13．【答案】
【详解】由题意得， ，由此类推，，，，，，，，，，…，
观察规律，三角形会有1个相等的角，并且角的度数恰好是其内角的度数，正方形有2个，正五边形有3个，正六边形有4个，…， 所以正多边形有个．
令，解得，所以的最小值为，即满足条件的角至少要在正61边形中，所以，即的最小值为
14．【答案】
【详解】，，
，所以，即
而，，即，
在中，设，则，所以
所以
因为，所以，所以，，所以
所以，，而的面积为，所以，
所以，故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 【详解】（1）解：因为， ...........2分
当时，可得， ...........3分
当，即时，取得最小值， ...........5分
因为时，恒成立，所以，
即实数的取值范围为. ...........6分
解：由题意，函数， ...........8分
因为，所以， ...........9分
又因为函数有且仅有5个零点，则满足， .........12分
解得， 所以实数的取值范围 ...........13分
16. 【详解】（1）①②③,
连接相交于，连接，由于底面是正方形，所以，
又，平面，
故平面，平面,故,
由于，故,
因此,平面，
故平面，（可得四棱锥是正四棱锥）
平面，故,
又平面,故平面． ...........7分
②③①,
连接相交于，连接, 由于底面是正方形，所以，
又，平面，
故平面，平面，故,
又平面，平面，故,
平面,故平面,
结合底面是正方形，是正方形的中心，
所以四棱锥是正四棱锥，故， ...........7分
①③②,
连接相交于，连接,平面，平面，故,
由于故,又,故,
故,
因此，平面，故平面,
故四棱锥是正四棱锥，
由于，又，平面，
故平面，平面,故， ...........7分
（2）无论选择哪两个条件，都可以推出四棱锥是正四棱锥，
设四棱锥的底边边长为，则四，
所以，
故，
由于，当且仅当，即时取等号，故当四棱锥的底边边长为时，四棱棱锥体积的最大值为.
（法一）因为底面，由点向作垂线，垂足为，连接，
又因为底面，,所以为二面角的平面角，
,，，
即二面角的余弦值为. ...........15分
（法二）以点为坐标原点建立如图空间直角坐标系，
则，所以,,
设面的法向量为，
则即，不妨取，则，所以，
易得平面的法向量，
设二面角的平面角为，
即二面角的余弦值为. ...........15分
17.解：设，， ..................3分
故求动点的轨迹方程.为． ..................4分
， ..................5分
，即， .................6分
设直线的方程为，，，，，
联立，得，，， ..................8分
且 ..................9分
∴， .................10分
代入可得∴， ..................12分
∴直线方程为，即直线过定点 ..................13分
此时，
∴． ..................15分
18．【详解】（1）；
第一种情况：，概率为； ..................1分
第二种情况：，概率为； ..................2分
第三种情况：，概率为； ..................3分
第四种情况：甲→甲→乙→甲，概率为 .................4分
所以三次投掷骰子后球在甲手中的概率为. ..................5分
（2）由于投掷次骰子后球不在乙手中的概率为，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙，故有． ..................7分
变形为．
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． ..............9分
所以． ..............10分
所以数列的通项公式． ............11分
（3）由（2）可得， ....12分
则
..13分
当是奇数时，
....15分
当是偶数时，
....16分
综上， ....17分
19.解：（1） 的全部非空子集为 ,
, 其中好子集有 ,
, 共有 11个. 所以 . ....4分
（2）将 的元素从小到大排列, 即 , 其中 .首先对任意的 , 若 和 奇偶性相同, 则 , 所以 ,而 , 矛盾!
所以对任意的 和 奇偶性相反.
因此, 对任意的 和 奇偶性相同, 于是 , 所以 ,而 且 , 所以 .
即对任意的 , , 即 . 由 的任意性知, 是一个等差数列. ...10分
（3）记 . 首先证明 中包含 1 的好子集个数为 .
的好子集分为两类: 包含 1 的和不包含 1 的.
因为 中不包含 1 的好子集每个元素均减去 1 即为 的好子集,
的每个好子集每个元素均加上 1 即为 的好子集, 所以 的不包含 1 的好子集与 的好
子集一一对应, 其个数为 . 故 包含 1 的好子集个数为 .
同理可证: 中包含 1 的好子集个数为 , 这也恰是 中包含 1 但不包含
的好子集个数.
于是 中包含 1 且包含 的好子集的个数为
故题目所求的 为 的包含 1, 2024 的所有好子集的个数.
显然, 是好子集.
若好子集 中除了 1,2024 外至少还有一个元素, 则由 (2) 可知,
中元素从小到大排列可以构成一个等差数列, 设为 .
设公差为 , 因为 , 而 , 所以 为 的小于
的正约数, 故 .
而每一个 都唯一对应一个 的包含 1,2024 的好子集，这样的子集有 5 个.
因此 . ...17分
答案第2页，共2页
数学答案 第8页（共10页）2024年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（一）
数 学
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则
A． B． C． D．
2. 若幂函数在上单调递增，则实数的值为
A． B． C． D．
3. 下列说法正确的是
A．数据的下四分位数是7
B． 已知随机变量，若，则
C． 若随机变量满足，则
D． 若随机事件,满足，则
4. 记为等差数列的前项和，若，则使成立的最大正整数的值为
A． B． C． D．
5. 已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径分别为，且，则圆台的体积与球的体积之比为
A． B． C． D．
6．一个盒子里装有3个黑球，2个白球，它们除颜色外完全相同. 现每次从袋中不放回地随机取出一个球，记事件表示“第次取出的球是黑球”，，则下列结论不正确的是
A． B．
C． D．
7．已知为锐角，，，则
A． B． C． D．
8．已知定义在R上的函数的导函数为，且.对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，下列结论正确的有
A． B．若，则
C．若，则 D．若，，则为纯虚数
10．已知，且，则下列结论成立的是
A． B．
C．存在使得 D．
11． 在棱长为1的正方体中，若点P为四边形内（包括边界）的动点，N为平面ABCD内的动点，则下列说法正确的是
A．若，则平面PAC截正方体所得截面的面积为
B．若直线与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线
C． 若，则点的轨迹长度为
D．若正方体以直线为轴，旋转后与其自身重合，则的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若向量在向量上的投影向量为，且，则________.
13．如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形，不画第四边；接着画正五边形，对这个正五边形，不画第五边；接着画正六边形，，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线．设线段与线段所夹的角为，则_______，
满足的最小值为 ．
在△中，是边上一点，，若，且△的面积
为，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 13分
已知函数．
(1) 若时，恒成立，求实数的取值范围；
(2) 将函数的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位，得到函数的图象．若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围．
16.（15分）
已知四棱锥的底面是正方形，给出下列三个条件：①；②；③平面．
(1) 从①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立；
(2) 在(1) 的条件下，若，当四棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．
17.（15分）
已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1.
(1) 求动点的轨迹的方程.
(2) 过点的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且.试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．
18.（17分）
甲 乙 丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留继续投掷骰子；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中．
(1) 求三次投掷骰子后球在甲手中的概率；
(2) 投掷次骰子后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式；
(3) 设，求证：
19. (17分)
若集合的非空子集满足: 对任意给定的, 若, 有 , 则称子集是的“好子集”. 记 为的好子集的个数. 例如： 的7个非空子集中只有不是好子集，即. 记 表示集合 的元素个数.
（1）求 的值;
（2）若是的好子集, 且 . 证明: 中元素可以排成一个等差数列;
（3）求的值.
答案第2页，共2页
数学试卷 第4页（共4页）
