武威市凉州区2023-2024学年高二下学期期中质量检测
数学
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
0 1
1．随机变量的分布列如表格所示，其中，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．设函数在点处的切线方程为，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
4．若向量，且与的夹角的余弦值为，则（ ）
A．2 B． C．2或 D． 或
如图，在直三棱柱中， ，，则
向量与的夹角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．下列求导计算中正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．空间内有三点，，，则点到的中点的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，设，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
9．已知事件，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．如果，那么
C．如果与互斥，那么
D．如果与相互独立，那么
10．下列命题中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线的方向向量分别是，，则
B．直线l的方向向量，平面的法向是，则
C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D．直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为
11．对于定义在R上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（ ）
A．使的一定是函数的极值点
B．在R上单调递增是在R上恒成立的充要条件
C．若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大
D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
12．已知随机变量的分布列为，那么实数 .
13．若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ．
14．我国近代数学家苏步青主要从事微分几何学和计算几何学等方面的研究，在仿射微分几何学和射影微分几何学等研究方面取得了出色成果．他的主要成就之一是发现了四次代数锥面：对于空间中的点P（x，y，z），若其坐标满足关于x，y， z的四次代数方程式，称点P的轨迹为四次代数曲面．若点K（1，k，0）是四次曲面：上的一点，则k＝ ．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最值．
16．（本小题满分15分）已知，，.
(1)求；
(2)求在上投影的数量.
（本小题满分15分）作为上海市副中心之一，徐汇区的建设不仅是上海市发展战略的关键节点，也肩负着医治上海市“大城市病”的历史重任，因此，徐汇区的发展备受瞩目．2017年发布的《上海市徐汇区统计年鉴（2017）》显示：2016年徐汇区全区完成全社会固定资产投资939.9亿元，比上年增长，下面给出的是徐汇区2011~2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一．又根据徐汇区统计局2018年1月25日发布：2017年徐汇区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长．
(1)在图二中画出2017年徐汇区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图；
(2)通过计算2011~2017这7年的平均增长率约为，现从2011~2017这7年中随机选取2个年份，记X为“选取的2个年份中，增长率高于的年份的个数”，求X的分布列及数学期望.
18．（本小题满分17分）如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点．
(1)证明：直线直线;
(2)求直线与平面所成的角的大小．
19．（本小题满分17分）对于三次函数．定义：①的导数为，的导数为，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称．
(1)已知，求函数的“拐点”的坐标；
(2)检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称.
答案第1页，共2页答案
第I卷（选择题）
一、单选题
1．随机变量的分布列如表格所示，其中，则等于（ C ）
0 1
A． B． C． D．
2．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（ B ）
A． B． C． D．
3．设函数在点处的切线方程为，则（C ）
A．4 B．2 C．1 D．
4．若向量，且与的夹角的余弦值为，则（D ）
A．2 B． C．2或 D． 或
5．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（ C ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．下列求导计算中正确的有（ D ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．空间内有三点，，，则点到的中点的距离为（ A ）
A． B． C． D．
8．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，设，则不等式的解集为（ B ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知事件，满足，，则下列结论正确的是（ BCD ）
A． B．如果，那么
C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么
10．下列命题中，正确的是（ AC ）
A．两条不重合直线的方向向量分别是，，则
B．直线l的方向向量，平面的法向是，则
C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D．直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为
11．对于定义在R上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（ ABC ）
A．使的一定是函数的极值点
B．在R上单调递增是在R上恒成立的充要条件
C．若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大
D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调
第II卷（非选择题）
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三、填空题
12．已知随机变量的分布列为，那么实数 3 .
13．若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ．
14．我国近代数学家苏步青主要从事微分几何学和计算几何学等方面的研究，在仿射微分几何学和射影微分几何学等研究方面取得了出色成果．他的主要成就之一是发现了四次代数锥面：对于空间中的点P（x，y，z），若其坐标满足关于x，y， z的四次代数方程式，称点P的轨迹为四次代数曲面．若点K（1，k，0）是四次曲面：上的一点，则k＝ 2 ．
四、解答题
15．（本小题满分13分）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最值．
【详解】（1）对函数求导，，，
所求得的切线方程为，即； -------------------------------6分
（2）由（1）有，令，解得：或，
故函数在递增，在递减，故函数在取最大值，
，，故函数在的最大值为4，最小值为0．
16．（本小题满分15分）已知，，.
(1)求；
(2)求在上投影的数量.
【详解】（1）因为，，，所以，.
因为，，，所以，
故. ------------------------------7分
因为，，所以.因为，
所以在上投影的数量为.
17．（本小题满分15分）作为上海市副中心之一，徐汇区的建设不仅是上海市发展战略的关键节点，也肩负着医治上海市“大城市病”的历史重任，因此，徐汇区的发展备受瞩目．2017年发布的《上海市徐汇区统计年鉴（2017）》显示：2016年徐汇区全区完成全社会固定资产投资939.9亿元，比上年增长，下面给出的是徐汇区2011~2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一．又根据徐汇区统计局2018年1月25日发布：2017年徐汇区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长．
(1)在图二中画出2017年徐汇区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图；
(2)通过计算2011~2017这7年的平均增长率约为，现从2011~2017这7年中随机选取2个年份，记X为“选取的2个年份中，增长率高于的年份的个数”，求X的分布列及数学期望.
解析：（1）
-------------------------------5分
（2）依题意，的可能取值为
； ； -------------------------------10分
的分布列为：
的数学期望 -------------------------------15分
18．（本小题满分17分）如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点．
(1)证明：直线直线;
(2)求直线与平面所成的角的大小．
【详解】（1）不妨设，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，
,.
,因为，所以.-------------------------------7分
（2），,
易知平面的一个法向量为,
设直线与平面所成的角为，则，
所以，即直线与平面所成的角的大小为.
19．（本小题满分17分）对于三次函数．定义：①的导数为，的导数为，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称．
(1)已知，求函数的“拐点”的坐标；
(2)检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称.
【详解】（1）由，则，则，
当时，解得，
又，所以的“拐点”的坐标是．-------------------------------7分
（2）由（1）知“拐点”坐标是，
又，
由定义②知的图象关于“拐点”对称
