课件28张PPT。 直角三角形的边角关系 2.2 300,450,600角的三角比在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,
邻边和斜边之间的比值也随之确定.锐角三角比定义sinA和cosB,cosA和sinB有什么关系?
tanA和tanB呢？
sinA=cosB, cosA＝sinB ， tanA·tanB=1sinA=cosA=tanA=sinB=cosB=tanB=发现新知！.如图,河岸AD,BC互相平行,桥AB垂直于两岸.桥长AB=12m,在C处看桥两端A,B, 夹角∠BCA=600.
求B,C间的距离.
(你是怎样做的?)交流探索:若知道tan∠BCA （ 即tan60°） 的值,根据上述条件能否直接求出B,C间的距离?300,450,600角的三角比课 题:学习目标
掌握300,450,600角的三角比的值，
能够利用300,450,600角的三角比的值熟练地进行运算
能够根据300,450,600角的三角比的值求出角的度数
利用300,450,600角的三角比的值解决实际问题
掌握互为余角的三角比之间的关系相信你一定知道！如图,观察一副三角板:
其中有几个锐角?分别是多少度?
自主探究自学课本41页—43页实验与探究（1）、（2）、（3），完成
后面的观察与思考，时间6分钟。
有疑问的地方同桌之间讨论解决。老师相信你们一定行!(1)sin30°等于多少?(2)cos30°等于多少?(3)tan30°等于多少?请与同伴交流你是怎么想的?
又是怎么做的?（４）类似地sin60°、cos60°、tan60°又 各等于多少?探究点一实验与探究1（1）sin30°,cos30 °,tan30 °的值分别是多少？
△ABC是怎样的三角形？为什么？
因为∠A= ∠B=60 °， 所以△ABC 是等边三角形，且CD是AB边上的高，AD=BD.
在Rt△ADC中，∠ADC=90°， ∠A=30°
设AC=1，那么AD= AB= ，°=cos30°=（ ） tan30°=（ ）1实验与探究（2）利用下图，你会求出60°的正弦、余弦、正切的值吗？知识在于积累(5)sin45°等于多少? cos45°等于多少? tan45°等于多少?实验与探究（3）sin45°,cos45 °,tan45 °的值分别是多少？在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=45° ．
设AC=1，那么BC=AC=1，所以11洞察力与内秀特殊角的三角比的值表要能记住有多好锐角α三角函数观察与思考1从填写的表格中，你发现了哪些规律？sin 30° = cos 60°sin 60° = cos 30°tan 30°· tan 60°=1 sin 45° = cos 45°如果∠A ＋ ∠B=90 ° ，那么sin A = cosB , cos A = sinB ．tanA·tanB=1
探究点二自学课本43页例1，注意计算
的正确性，时间3分钟例题欣赏例1 计算:
(1)sin300+cos450;
(2) sin2600+cos2600-tan450.老师提示:
Sin2600表示(sin600)2,
cos2600表示(cos600)2,其余类推.知识的巩固运用(1)sin600-tan450; (2)cos600+tan600;怎样做？ 计算:老师期望:
只要勇敢地走向黑板来展示自己,就是英雄!探究点三小组合作探究课本43页例2，并
独立完成44页习题3题，
时间3分钟例题讲解例１求下列各式的值：
（1）sin30°·cos45° （2）tan45 °－cos60°.当A,B都是锐角时,如果sinA=sinB或cosA=cosB或tanA=tanB,那么A=B真知在实践中诞生例2 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果保留根号).咋办老师提示:将实际问题数学化.探究点四知识的巩固运用如图,河岸AD,BC互相平行,桥AB垂直于两岸.桥长AB=12m,在C处看桥两端A,B, 夹角∠BCA=600.
求B,C间的距离.学以致用知识的升华3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c.
求证:sin2A+cos2A=1 如图，作边长为1 的正方形ABCD ．延长边CB 到D ′ ，使B D ′＝ B D，连接D D ′ ．你能利用这个图形求出22 . 5°角的正切的值吗？试一试．（1）sin30°－cos30°=________; （2） ·tan60 °=_____.（1）sin30°＋cos60°; （2）tan30 °· tan60 °;
（3） 2sin60°－ tan30 °;（4） sin45°· cos45°＋ tan45 °．2.求下列各式的值：１.求下列各式的值：（1）1;（2）1;达标检测3、、在Rt△ABC中，∠C=90°, 已知AB=2，∠A=45°, 解这个直角三角形。（先画图，后计算）
3、在Rt△ABC中，∠C=90°, 已知AB=2，∠A=45°,求AC的值 。（先画图，后计算）
4、某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为7m，扶梯的长度是多少？
5、海船以30海里/时的速度向正北方向航行，
在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，
发现此时灯塔Q与海船的距离最短，
求（1）从A处到B处的距离
（2）灯塔Q到B处的距离。
（画出图形后计算，用根号表示）达标检测1415回味无穷直角三角形中的边角关系
知识梳理:直角三角形三边的关系直角三角形两锐角的关系.直角三角形边与角之间的关系.特殊角30°,45°,60°角的三角比值.
互余两角之间的三角函数关系
知识的升华必做题 ：P44 习题2.2 1,2,3
选做题(任选一题)
1、甲、乙两楼相距50米，从乙楼底望甲楼顶仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30°，求两楼的高度，要求画出正确图形。
2、某型号飞机的机翼形状如图所示，
AB∥CD，根据数据计算AC、BD和CD
的长度(精确到0.1米， ≈1.414， ≈1.732).
结束寄语 在数学领域中,提出问题的艺术比解答的艺术更为重要.
——康托尔再见
2、2 30°,45°,60°角的三角比 教 学 设 计
学习目标
1、掌握30°,45°,60°角的三角比的值，
能够利用30°,45°,60°角的三角比的值熟练地进行运算
2、能够根据30°,45°,60°角的三角比的值求出角的度数
3、利用30°,45°,60°角的三角比的值解决实际问题
4、掌握互为余角的三角比之间的关系，同一个角的正弦与余弦的平方和等于1
教学重点：
1、 掌握30°,45°,60°角的三角比的值，
能够利用30°,45°,60°角的三角比的值熟练地进行运算
能够根据30°,45°,60°角的三角比的值求出角的度数
3、利用30°,45°,60°角的三角比的值解决实际问题
4、掌握互为余角的三角比之间的关系，同一个角的正弦与余弦的平方和等于1
难点：
1、能够利用30°,45°,60°角的三角比的值熟练地进行运算
2、利用30°,45°,60°角的三角比的值解决实际问题
教学模式：
自主学习，合作探究，精讲点拨，有效训练
学前准备: 课前学生预习
1.直角三角形中30度角所对的直角边等于 。
2.锐角三角比：
3.[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺．请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度．
我设计的方案如下：
我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，想想能有更简单的设计吗？
你能求出30°角的三个三角函数值吗？
设计意图：数学知识是环环相扣的，课前预习能让学生为接下来的学习作很好的铺垫和自然的过渡。带着他们的疑问来学习本节内容，去探索30°,45°,60°角的三角比的值，激发了他们研究的兴趣和探究的激情。
教学过程
温故知新，储备知识
师：问
1、锐角三角比定义：
在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,
邻边和斜边之间的比值也随之确定.
2、根据图形写出下列三角比 sinA= cosA= tanA=
sinB= cosB= tanB=
3、sinA和cosB,cosA和sinB有什么关系? tanA和tanB呢？
生：答
设计意图：让学生回顾这些知识，为探究新知打下基础。
发现新知，导入新课
师：展示问题 问题：
如图,河岸AD,BC互相平行,桥AB垂直于两岸.桥长AB=12m,在C处看桥两端A,B, 夹角∠BCA=60°.
求B,C间的距离.
（你是怎样做的?)
生：交流探索:若知道tan∠BCA （ 即tan60°） 的值,根据上述条件能否直接求出B,C间的距离?导入新课
设计意图：从实际问题中发现新知，导入新课，让学生理解数学来源于生活。
（三）自主探究，尝试知识
1、师：提问
如图,观察一副三角板:
其中有几个锐角?分别是多少度?
生：自主探究
自学课本41页—43页实验与探究（1）、（2）、（3），完成后面的观察与思考，时间6分钟。有疑问的地方同桌之间讨论解决。
探究点一
（1)sin30°等于多少?
(2)cos30°等于多少?
(3)tan30°等于多少?
请与同伴交流你是怎么想的?
又是怎么做的?
（４）类似地sin60°、cos60°、tan60°又 各等于多少?
(5)sin45°等于多少?
cos45°等于多少?
tan45°等于多少?
设计意图：让学生自己动手探究，运算推理，再通过师生互动，总结归纳出知识点，培养学生探索新知识的意识，在探索实践中证明科学定理，避免让学生死记硬背。
生：填写下表
特殊角的三角比的值表
锐角α
三角比
30 °
45 °．
60 °
正弦sinα
?
?
?
余弦cosα
?
?
?
正切tanα
?
?
?
师：从填写的表格中，你发现了哪些规律？互为余角的三角比之间有什么关系？
生：答
师:点拨
设计意图：通过让学生熟记30°,45°,60°角的三角比的值，让学生自己去发现规律，不但理解了互为余角的三角比之间的关系，而且提高了学生发现问题、分析问题和解决问题的能力
探究点二
1、生：自学课本43页例1，注意计算的正确性，时间3分钟
2、师：点拨
例1 计算:
(1)sin30°+cos45 °．;
(2) sin260 °+cos260 °-tan45 °．
老师提示:
Sin260 °表示(sin60 °)2,
cos260 °表示(cos60 °)2,其余类推.
设计意图：让学生初步体会利用30°,45°,60°角的三角比的值进行计算的步骤及解题过程。通过展示他们的解题步骤及解题过程，让他们更好的体会解题步骤及解题过程的规范性和准确性，便于发现解题中存在的问题，及时进行解决。
（四）合作探究，深化知识
探究点三
1、生: 小组合作探究课本43页例2，并独立完成44页习题3题，时间3分钟
2、 师: 检查学生对例2与习题3题的掌握情况。
设计意图：通过让学生合作探究例2，并独立完成44页习题3题，提高学生分析问题独立解决问题的能力，通过检查，及时发现学生存在的问题，及时解决问题。
探究点四
例2 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果保留根号).老师提示: 将实际问题数学化.
生：讨论解题方案，写出解题过程
师: 倾听方案是否正确，解题过程是否合理
设计意图：利用30°,45°,60°角的三角比的值解决实际问题，既可以使新知识变得生动，又可以引导学生注意观察生活中的实际问题，学会在生活中思考问题。
（五）有效训练，巩固知识
1、计算:
(1)sin60 °-tan45 °．; (2)cos60 °+tan60 °
2、如图,河岸AD,BC互相平行,桥AB垂直于两岸.桥长AB=12m,在C处看桥两端A,B, 夹角∠BCA=600.
求B,C间的距离.
生：独立完成练习
师：检查练习情况，并点拨
设计意图：通过练习使学生巩固利用30°,45°,60°角的三角比的值进行计算，利用有关知识解决实际问题，考察建立数学模型的能力，体现转化的数学思想在学习中的应用，提高学生分析问题、解决问题的能力，以及在学习中还存在哪些问题，及时反馈矫正。
（六）拓展延伸，升华知识
1、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c.
求证:sin2A+cos2A=1
师：点拨
生：写出证明过程，小组之间互相检查证明过程是否正确
2、如图，作边长为1 的正方形ABCD ．延长边CB 到D ′ ，使B D ′＝ B D，连接D D ′ ．你能利用这个图形求出22 . 5°角的正切的值吗？试一试．
设计意图：拓展延伸，升华知识 ，让学生的学习又进入了一个新境界。
（七）达标检测，反馈知识
１.求下列各式的值：
（1）sin30°－cos30°=________; （2 cos60° ·tan60 °=_____.
2.求下列各式的值：
（1）sin30°＋cos60°; （2）tan30 °· tan60 °;
（3） 2sin60°－ tan30 °;（4） sin45°· cos45°＋ tan45 °．
3、、在Rt△ABC中，∠C=90°, 已知AB=2，∠A=45°, 解这个直角三角形。（先画图，后计算）
4、海船以30海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求（1）从A处到B处的距离（2）灯塔Q到B处的距离。
（画出图形后计算，用根号表示）
生：独立完成
师;检查并纠正错误
设计意图：通过达标检测，查缺补漏，及时的发现学生哪些知识已经掌握了，还存在着哪些问题，及时的进行了反馈，以便在下一节的习题课中加强练习与检查。
（八）小结与回顾
生：总结
师：补充
直角三角形中的边角关系
30°, 45°,60 °角的三角比
知识梳理:
写写这节课你的收获与困惑
设计意图：通过让学生回顾本堂课的收获与困惑，知识梳理体会理解本节课的知识点，便于掌握重难点，正确表达自己的所感所想。
（九）布置作业，课后延伸
P44 习题2.2 1,2,3题; 祝你成功！
设计意图：通过布置作业，课后延伸，让学生巩固知识，深化知识，防止遗忘。
（十）板书设计，梳理知识
直角三角形的边角关系 30°,45°，60 °角的三角比
知识点 例题 练习
设计意图：板书设计，便于学生梳理知识，使所学知识一目了然。
（十一）课堂学生学习效果评测工具和方法
本节课学生学习效果的测评工具是小组评价量表和总评价量表两种。评测包括对学习过程的评测和对达标检测的评价。方法是：小组评价量表是供小组使用的，上面有本小组成员的名字 ，要评价的各个项目。上课时，小组长根据本小组成员的上课表现对评价的每一项打一个合适的分数，下课后，把本小组成员由高到低排出名次，评出本小组成员的小组学习标兵，小组长再把本组成员的学习效果评价量表交给课代表。另一种是课代表用的全班同学的总评价量表，课代表在课后把全班同学的学习效果评价量表进行汇总，由高到低排出名次，评出本节课的班级学习标兵。一周结束后，课代表把本周全班同学 的总评价量表交给任课老师，任课老师根据课代表的汇总情况进行反馈，以便查漏补缺。
设计意图：采用小组评价量表和总评价量表，目的是 为了了解全班同学的学习情况，激发学生的学习动机，发现学生存在的问题，及时查漏补缺。
（十二）教学反思，专业提高
本节课，在教学设计上，我采用锐角三角比的定义，通过学生的自主学习与合作探究，使学生学习了特殊角的三角比，讨论了互为余角的三角比之间的关系，拓展研究了同一个角的正弦与余弦的平方和等于1，配合练习进行了针对性的训练，通过达标检测，反馈了知识，为下一节课的学习做好了铺垫。但在一些环节上安排欠妥，在以后的教学中要进一步改进。
设计意图：通过反思自己的课堂教学设计，发现值得发扬的地方和存在的问题，在以后的授课中逐步改进和提高。
评 测 练 习
基础题
1、.求下列各式的值：
（1）sin30°－cos30°=________; （2 ） cos60° ·tan60 °=_____.
2.求下列各式的值：
（1）sin30°＋cos60°; （2）tan30 °· tan60 °;
（3） 2sin60°－ tan30 °;（4） sin45°· cos45°＋ tan45 °．
3、在Rt△ABC中，∠C=90°, 已知AB=2，∠A=45°,求AC的值 。（先画图，后计算）
4、某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为7m，扶梯的长度是多少？
5、海船以30海里/时的速度向正北方向航行，
在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，
发现此时灯塔Q与海船的距离最短，
求（1）从A处到B处的距离
（2）灯塔Q到B处的距离。
（画出图形后计算，用根号表示）
拔高题
一、填空题
1、如图：P是∠的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），
则sin（900 - ）＝_____________.
2、可用锐角的余弦表示成__________.
3、在△ABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于D，若AC＝4，BD＝7，
则sinA＝ ， tanB＝ .
4、若为锐角，tan＝，则sin＝ ，cos＝ .
5、当x＝ 时，无意义.（00＜x＜900 ）
6、求值： .
7、如图：一棵大树的一段BC被风吹断，顶端着地与地面成300角，顶端着地处C与大树底端相距4米，则原来大树高为_________米.
8、已知直角三角形的两直角边的比为3:7，则最小角的正弦值为_______.
9、如图：有一个直角梯形零件ABCD、AD∥BC，斜腰DC的长为10cm，∠D＝120°，-则该零件另一腰AB的长是__________cm.
二、选择题
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，a＝1，c＝4,则sinA的值是（ ）
A. B. C. D.
2、已知△ABC中，∠C=90°，tanA·tan 50°＝1，那么∠A的度数是（ ）
A. 50° B. 40° C. ()° D. ()°
3、已知∠A+∠B=90°,且cosA=，则cosB的值为( )
A. B. C. D.
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a和A，则下列关系式中正确的是（ ）
A. c＝α·sinA B. c＝ C. c＝α·cosB D. c＝
5、如果α是锐角，且cosα＝，那么sinα的值是（ ）
A. B. C. D.
6、1米长的标杆直立在水平的地面上，它在阳光下的影长为0.8米；在同一时刻，若某电视塔的影长为100米，则此电视塔的高度应是( )
A．80米 B. 85米 C. 120米 D. 125米
7、化简－的结果为( )
A. tan50°－sin50° B. sin50°－tan50°
C. 2－sin50°－tan50° D. －sin50°－tan50°
8、在Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=3，AC等于10，则S△ABC等于( )
A. 3 B. 300 C. D. 150
答题（本大题共4个小题，每小题7分，共28分）
计算＋2sin60°
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，∠BAC的平分线交BC于D，
AD＝cm,求∠B，AB，BC.
3、甲、乙两楼相距50米，从乙楼底望甲楼顶仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30°，求两楼的高度，要求画出正确图形。
4、某型号飞机的机翼形状如图所示，AB∥CD，根据数据计算AC、BD和CD的长度(精确到0.1米，≈1.414，≈1.732).
5、某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30o,又航行了半小时到D处，望灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离。（结果不取近似值）
拔高题 参考答案
一、1、，2、sin60°，3、，4、 ,5、45°, 6、 ，7、，8、，9、
二、CBCB CACD
三、1、解：原式＝＋2（）＝＋＝2
2、解：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，AD为∠A的平分线，
设∠DAC=α
∴α=30°,
∠BAC=60°，∠B=90°－60°=30°
从而AB=5×2=10(cm)
BC＝AC·tan60°＝5 （cm）
3、解：如图，CD＝50m, ∠BCD＝60°
BD＝CD·tan∠BCD
＝50·tan60°
＝50×＝50 (m)
BE＝AE·tan∠BAE
＝50·tan30°
＝50×＝(m)
AC＝BD－BE＝50－＝(m)
答：略.
4、解：如图，过C作CE⊥BA交BA延长线于E，
过B作BF⊥CD交CD延长线线于F．
在Rt△CAE中，∠DBF＝30°，
∴ DF＝FB·tan30°＝5×≈5×0.577
≈2.89（m）．
∴ BD＝2DF≈2×2.89≈5.8（m）.
∴ CD＝1.3＋5－DF≈6.3－2.89≈3.4（m）
答：AC约为7.1米，BD约为5.8米，CD约为3.4米．
5、解：作CH⊥AD于H，△ACD是等腰直角三角形，CH＝2AD
设CH＝x，则DH＝x 而在Rt△CBH中，∠BCH=30o,
∴＝tan30° BH＝x
∴BD＝x－x＝×20
∴x＝15＋5 ∴2x＝30＋10
答：A、D两点间的距离为（30＋10 ）海里。
